平面向量的概念及線性運(yùn)算

1、平面向量的概念及線性運(yùn)算基礎(chǔ)梳理1向量的有關(guān)概念向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模.(2)零向量：長度等于0的向量，其方向是任意的.單位向量：長度等于1個(gè)單位的向量.(4) 平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定:0與任一向量共線.(5) 相等向量：長度相等且方向相同的向量.相反向量：長度相等且方向相反的向量.2. 向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律求兩個(gè)向量和的運(yùn)(1)交換律：da+ b= b+ a.加法算三角形法則(2)結(jié)合律：(a+ b) + c= a+a平行四邊形法則(b+ c)求a與b的相反向減法量一b的和的運(yùn)算7 a b= a+

2、 ( b)叫做a與b的差三角形法則3. 向量的數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義(1) 定義：實(shí)數(shù)入與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫向量的數(shù)乘，記作2a,它的長度與方向規(guī)定如下： “匸|桐； 當(dāng)2 0時(shí)，2a與a的方向相同；當(dāng) X 0時(shí)，2a與a的方向相反；當(dāng) 入=0時(shí)，2 = 0.(2) 運(yùn)算律：設(shè)2卩是兩個(gè)實(shí)數(shù)，則 2囘=(2)(a:(Ha=2+0: 2a+ b)=2+b4. 共線向量定理向量a（a 0）與b共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)入使得b= a雙基自測1. （固基升華）判斷下列結(jié)論的正誤.（正確的打“V”，錯(cuò)誤的打“x”）（1）向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量（）（2）若

3、 a / b, b II c，貝U a / c（ ）（3）a / b是a=入b（入 R）的充要條件（） 若0是厶ABC的重心，則 g OB OC= 0（）【解析】（1）中，“向量”和“有向線段”不同，向量只有兩個(gè)要素：大小、方 向；而有向線段有三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長度.（1）不正確.（2）當(dāng)b = 0, a與c 不一定平行，（2）錯(cuò).（3）當(dāng) a 0， b= 0 時(shí)，a/ bD? /a=入 b，但 a=入 b? a I b， a/ b是a=入b（ X R）的必要不充分條件.（3）錯(cuò)誤. 根據(jù)平行四邊形法則， 正確.【答案】（1） x （2） x （3） x V2. 判斷下列四個(gè)命題：若a/

4、b,則a= b；若|a|= |b|，貝U a= b；若|a匸|b|，則a/ b；若a= b,則 |a|= |b|.正確的個(gè)數(shù)是（）.A. 1 B. 2 C. 3 D. 4解析只有正確.答案A3. （人教a版教材習(xí)題改編）化簡OP- QP Ma QM的結(jié)果為（）a.oMib.sMc.psd.oS8【解析】OP- QP 嗆 QMk (SK pQ + (Qmp南=OU Qs= OS【答案】 d4. （2014 廣州質(zhì)檢）設(shè)a、b都是非零向量，下列四個(gè)條件中，使|a|b|成立的充分條件是（)A. a= bB.a / bC. a= 2bD.a / b 且 | a| = | b|【解析】ab|a|表示與a

5、同向的單位向量, |b|表示與b同向的單位向量，只要aa b與b同向，就有，觀察選擇項(xiàng)易知C滿足題意.【答案】CI al 丨 b|5.（人教A版教材習(xí)題改編）D是厶ABC的邊AB上的中點(diǎn)，貝U向量CD等于（）.A . 一 BC + iBAB. BC 2ba1 OC.BC 2BAD.BC + 1BA解析如圖，cA4 D B1 OCD = CB+ BD = CB + qBA=-Bc+ 1BA.答案 a6、若O, E, F是不共線的任意二點(diǎn)，貝U以下各式中成立的是 ().A.EF = OF + OE B.EF = OF OEC.EF = -OF + OE D.EF= OF OE解析 ef=5+ oF

6、= ofoE.答案 b7、？如圖，BED，E，F(xiàn)分別是 ABC的邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，貝U ().A.AD + BE+ CF = 0b.Bd CF + DF = 0C.AD + CE CF = 0d.Bd BE FC = 0解析 .AB+ BC+ CA= 0，/2Ad+ 2BE + 2CF = 0，即 AD + BE+ CF = 0.答案 A8 在厶 ABC 中，AB = c, AC= b,若點(diǎn) D 滿足 bD = 2DC，則 AD =3Ad=2AC + ABA 21A.|b+ |CB.fc |b2 1C.|b- |c1 2D.|b+ |c解析 -.BD = 2DC , /Ad AB =

7、2(AC AD),/Ad = |aC+3ab= |b+ 3c.答案 a9、（2013 廣東高考）設(shè)a是已知的平面向量且a0.關(guān)于向量a的分解，有如下 四個(gè)命題： 給定向量b，總存在向量c，使a= b+ c； 給定向量b和c，總存在實(shí)數(shù)入和卩，使a=入b+卩c； 給定單位向量b和正數(shù)卩，總存在單位向量c和實(shí)數(shù)入，使a=入b+卩c； 給定正數(shù) 入和卩，總存在單位向量b和單位向量c，使a=入b+卩c.上述命題中的向量b,c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，則真命題的個(gè)數(shù)是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】顯然命題，是正確.對(duì)于，給定向量 b,則入b可以確定方向，不妨設(shè)如圖所示，作AB丄入b,

8、B為垂足.當(dāng)正數(shù) 卩v|AB = |a|sin a, b時(shí)， 不存在單位向量c,使a=入b+卩c,因此錯(cuò).對(duì)于，根據(jù)向量的三角形法則， 必有 | 入 b| +1 卩 c| =入 + y|a|.若 入=卩=1, |a| 2 時(shí)，與 | a| = | b+ c| | b| + |c|= 2矛盾，則不正確.【答案】B10、（2011蘭州模擬）已知a, b是不共線的向量，AB= 2a+ b, AC= a+ Q（人 氏R），那么A,B, C三點(diǎn)共線的充要條件是（)A .入+尸2B.入一尸1C.入話一1D.入尹1解析 由AB=也+ b, aC = a+ 2(人 兇R)及 A, B, C三點(diǎn)共線得：AB =

9、 t AC,社t,所以:a+ b= t(a+ Q) = ta +1 b,即可得S所以入尹1.故選D.答案 DJ=t ,11、設(shè)a與b是兩個(gè)不共線向量，且向量 a+ 1b與2a b共線，則 Ak = 2k, 解析 由題意知：a+?b= k(2a b),則有：11=一 k,k71 1k=2，i= 2.答案 12如圖4 1 1,在平行四邊形ABCD中, E為DC邊的中點(diǎn)，且AB- a, AD= b,則歸圖 4111 1 1 1【解析】歸 BA+ AD+ 2血 a+ b+ 2a- b a.【答案】 bqa13、(2013 四川高考)在平行四邊形ABC沖，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O, AB+ Adi aO

10、 貝 u i -.【解析】由向量加法的平行四邊形法則，得 AB+ AD-AC又 0是 AC的中點(diǎn)， AC-2AO AC- 2AO AB+ AD 2A0又AB+ AD 1 AO, 1 2.【答案】214、設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線.(1) 若AB-a+ b, BC-2a + 8b, CD-3(a b).求證：A, B, D三點(diǎn)共線；(2) 試確定實(shí)數(shù)k,使ka+ b和a+ kb共線.審題視點(diǎn)(1)先證明AB, BD共線，再說明它們有一個(gè)公共點(diǎn)；(2)利用共線向量定 理列出方程組求k.(1)證明/a+ b, BC = 2a+ 8b, CD= 3(a b).二 BD = BC+ CD = 2a + 8b+ 3(a b) = 5(a+ b) = 5AB. AB, BD共線，又它們有公共點(diǎn)， A, B, D三點(diǎn)共線.解 t