(完整版)專(zhuān)題一：集合中的題型歸類(lèi)解析

1、教學(xué)心得：理解概念，運(yùn)用性質(zhì)；掌握題型，舉一反三集合單元的精典題型集合問(wèn)題為每年必考題型之一，特別是近幾年高考試卷中出現(xiàn)了一些以集合為背景的 試題，這些試題涉及的知識(shí)面廣，靈活性較強(qiáng).實(shí)際上，這方面問(wèn)題的本質(zhì)是以集合為載體， 將一些數(shù)學(xué)問(wèn)題的已知條件“嵌入”集合之中，只不過(guò)是在語(yǔ)言形式方面做了些變通罷了， 而解決問(wèn)題的理論依據(jù)、方法等仍類(lèi)似于其他問(wèn)題的求解因此，在集合題型上應(yīng)引起我們 的足夠重視.題型一：集合元素的性質(zhì)2 2例1.已知集合A a 2,（a 1），a 3a 3，若1 A，求a的值。分析：集合元素的確定性和互異性是集合的兩個(gè)重要性質(zhì)，是本單元一個(gè)重要考點(diǎn)，確定性是入 手點(diǎn)，互異性是

2、檢驗(yàn)結(jié)論的工具。解：1 A根據(jù)集合元素的確定性，得：a 2 1,或（a 11,或a3a 3 1若a+ 2 = 1，得:a 1，但此時(shí)a2 3a 3 1 a 2，不符合集合元素的互異性。若（a 1）得：a 0,或-2。但a2時(shí)，a 3a 3 1 （a 1），不符合集合元素的互異性。若 a 3a 31,得：a 1,或一2。但a -1時(shí),a 2 1； a -2時(shí)，（a 1）2 1，都不符合集合元素的互異性。綜上可得，a = 0?！拘〗Y(jié)】集合元素的確定性和互異性是解決問(wèn)題的理論依據(jù)。確定性是入手點(diǎn)，互異性是檢驗(yàn)結(jié)論的工具。練習(xí)一、1.集合 P x|x 2k,kZ，Qx|x 2k1,k Z，Rx|x 4

3、k 1,k Z，且a P,b Q，則有()Aa b PBab QC a b RDab不屬于P、Q R中的任意.個(gè)2.已知集合A 2 , 3, a2+4a+2 , B=0,7,2a +4a-2,2- a，且 An B=3,7,求 a值.題型二：集合相等問(wèn)題集合相等問(wèn)題，主要是利用集合中元素的互異性，集合中元素的互異性是集合的重要 屬性，在解題中集合中元素的互異性常常被我們忽略，從而導(dǎo)致解題的失敗，所以在解題 中應(yīng)引起足夠的重視.例 2，已知集合 A a,a b,a 2b， B a,ac,ac2，若 A B，求 c 的值分析：要解決c的求值問(wèn)題，關(guān)鍵是要有方程的數(shù)學(xué)思想，此題應(yīng)根據(jù)相等的兩個(gè)集 合

4、的元素完全相同，及集合中元素的確定性、互異性、無(wú)序性建立關(guān)系式解：根據(jù)題意，分兩種情況進(jìn)行討論：(1) 若 a b ac, 2，消去 b，得 d ac2 2ac 0a 2b ac ,當(dāng)a 0時(shí)，集合B中的三個(gè)元素均為零，與元素的互異性相矛盾，故a 0二c2 2c 10，即c 1，此時(shí)B中的三個(gè)元素又相同， c 1此時(shí)無(wú)解.b2(2) 若 a ac ,消去 b，得 2ac2 ac a 0a 2b ac, a 0， 2c c 1 0，即(c 1)(2c 1) 0又 c 1， c -2評(píng)注：(1)解決集合相等的問(wèn)題易產(chǎn)生與互異性相矛盾的增解，這需要解題后進(jìn)行檢 驗(yàn)和修正.(2)有些數(shù)學(xué)問(wèn)題很難從整體

5、著手解決，需從分解入手，把整體科學(xué)合理地劃分為 若干個(gè)局部獨(dú)立的問(wèn)題，通過(guò)逐一判斷來(lái)解決這些問(wèn)題，從而達(dá)到整體問(wèn)題的解決，這種 重要的數(shù)學(xué)方法就是分類(lèi)討論的方法，要學(xué)會(huì)這種思維方法練習(xí)二1. 下列各集合中相等的兩個(gè)集合是()A= x| y=2x+1 I ,B= x| x 1 I ,C= x| y=x2+1 I ,D= y| y=x2+1 I ,E= x| y=2x+1 I ,F= ( x,y )| y=2x+1 I。2. 設(shè) x、y R, A= 3，x +xy+y I， B= 1， x +xy+x-3 I，且 A=B,求 x、y 的值。3. 已知 M=2, a，b，N=2a, 2，b2且 M=

6、N 求 a，b 的值.題型三：證明、判斷兩集合的關(guān)系集合與集合之間的關(guān)系問(wèn)題，是我們解答數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程中經(jīng)常遇到，并且必須解決的 問(wèn)題，因此要予以重視。反映集合與集合關(guān)系的一系列概念，都是用元素與集合的關(guān)系來(lái) 定義的。因此，在證明(判斷)兩集合的關(guān)系時(shí)，應(yīng)回到元素與集合的關(guān)系中去.例3設(shè)集合A a|a 3n 2,n Z，集合B b|b 3k 1,k Z，試判斷集合A、B的 關(guān)系。分析：先判斷元素與集合的關(guān)系，再判斷集合與集合的關(guān)系解：任設(shè) a A，則 a 3n 2 3(n 1) 1,n Z，tn Z， n 1 乙 a B .故 A B .又任設(shè)b B，則b 3k 13(k 1) 2,k乙 k Z

7、,.k 1 乙二 b A故 B A.綜上可知A B.評(píng)注：在說(shuō)明a B，或b A的過(guò)程中，關(guān)鍵是先要變(或湊)出形式，然后再推理 練習(xí)三1 .設(shè) A= x| x=2k+1, k Z I ,B= x| x=4k 1,k Z I ,試判斷集合 A、B 的關(guān)系。2. 設(shè) A= x | x=2 n, n ZI ,B= x | x=2 n-2,n ZI ,試問(wèn) A、B 是否相等？若相等請(qǐng) 說(shuō)明理由.題型四：集合中的參數(shù)問(wèn)題所謂集合中的參數(shù)問(wèn)題，是指集合P|P適合的條件中“ p適合的條件”里面含有參 數(shù)的問(wèn)題，解答這類(lèi)問(wèn)題類(lèi)似于其他含有參數(shù)的問(wèn)題，靈活性極強(qiáng)，難度也很大 因此，解 決此類(lèi)問(wèn)題要注意思維的嚴(yán)

8、謹(jǐn)性.例 4.已知集合 A x| 2 x 5，B x|m 1 x 2m 1，滿足 B A，則實(shí)數(shù) m的取值范圍為解：(1)當(dāng) b時(shí)，m1 2m 1,得 m 2，滿足 B Am 12m 1,當(dāng)b時(shí)，m 12,解得 2 m 3.2m 15.綜合(1)、(2)得m的取值范圍是m 3.評(píng)注：有關(guān)子集問(wèn)題討論中不要忽視了對(duì)空集的討論，特別不能認(rèn)為子集是由原來(lái)集合中的部分元素所組成的集合在B A中，含有B這種可能，應(yīng)注意.在集合單元中含有豐富的分類(lèi)討論內(nèi)容，所以要注意增強(qiáng)運(yùn)用分類(lèi)討論的思想和方法解決問(wèn)題的意識(shí)，掌 握分類(lèi)方法，培養(yǎng)周密的思維品質(zhì)練習(xí)四21已知集合M = x R|ax 2x 10中只含有一個(gè)

9、元素，求 a的值。2. 已知集合 A x| 2 v x 5，B= x | x v a!,且AH Bm ?,求a的取值范圍。舉一反三、已知集合A x| 2 v x aI且AH Bm ?,求a的取值范圍。(2).已知集合 A x| 2 v x al且AH Bm ?,求a的取值范圍。.已知集合A x| 2 v x 5，B= x | x al ,且AH B ?,求a的取值范圍。3. 已知集合 A 1,1 ，B= x x 2ax b 0，若B ，且ABA求實(shí)數(shù)a，b的值。舉一反三已知集合A 1,1 , B= x XC(AI B) x| x 1，或 x 2;店(AUB)評(píng)注：有關(guān)用不等式表示的集合的并、交

10、、補(bǔ)運(yùn)算，常常借助于數(shù)軸的幾何直觀來(lái)幫 助思考.練習(xí)五 2ax b 0，若B ，且An B=A求實(shí)數(shù)a, b 的值。.？.？4 .設(shè)全集 U= 2,3, a2 2a 3 , A= 2,b , CU A= 5，則 a =, b =。5. 已知集合 A=x| x 1. 集合 A x| x3或x 3，B x|x 1 或x 4，求 AI B及 AUB2.50名學(xué)生做的物理、化學(xué)兩種實(shí)驗(yàn)，已知物理實(shí)驗(yàn)做得正確得有40人，化學(xué)實(shí)驗(yàn)做得正確得有31人，兩種實(shí)驗(yàn)都做錯(cuò)得有4人，則這兩種實(shí)驗(yàn)都做對(duì)的有 人.+2x-8=0, B=x| x3.設(shè)集合 A x| x2 x 0, B x |x2 x 0，則集合 AI

11、B ()A. 0 B.0 C. D.1,0,1-5x+6=0, C=x| x 題型六：開(kāi)放型、定義新運(yùn)算問(wèn)題-mx+m19=0,若 Bn C工，An C迤，求m的值。6. 已知集合A x|x 4x p 0, B x|x x 2 0且AB,求實(shí)數(shù)p的范圍。2 2 27. 已知A x|x ax a 190, b x|x 5x 近幾年在高考試題的幫助帶動(dòng)下，一大批以集合為背景的開(kāi)放型試題不斷出現(xiàn).在用描述法表示的集合中，集合的形式被表示為 x|x所適合的條件，其中的代表元素“ x的任0，且a , B滿足下列三個(gè)條件：A B ABB丁 A B，求實(shí)數(shù)a的值。8已知集合 A x|x x 60, B x|

12、ax 10,且 b 匚 |a，求 a 的值。題型五：利用韋恩圖或數(shù)軸求交集、并集、補(bǔ)集有的集合問(wèn)題比較抽象，解題時(shí)若借助韋恩圖進(jìn)行數(shù)形分析或利用數(shù)軸、圖象，采用 數(shù)形結(jié)合思想方法，往往可使問(wèn)題直觀化、形象化，進(jìn)而能使問(wèn)題簡(jiǎn)捷、準(zhǔn)確地獲解.例 5.設(shè)全集 U R,A x|x 1 I(1) 求 AI B 及 AU B ; (2)求詁(AI B)及 h(AUB).解：(1)如圖，利用數(shù)軸可直觀地得到結(jié)果：一。12xAn B= x| 1vx 2 ； AUB R.意性”和“ X所適合的條件的靈活性”決定了這類(lèi)題目具有涉及的知識(shí)面廣、靈活性強(qiáng)等 特點(diǎn)例 6.設(shè) A 123,4,5,6，B 1,2,7,8,

13、定義 A與 B 的差集為 A B x|x A，且x B，貝U A (A B)解：由所給的新定義：差集 A B x|x A，且x B，得A B 3,4,5,6，從而A (A B) 1,2.評(píng)注：差集中的“差”與我們平時(shí)所接觸的“差”的意義是不同的.我們可能會(huì)犯這樣的錯(cuò)誤：A (A B) A A B B 1,2,7,8.例 7.已知 A ( x, y) |x n, y an b,n Z， B ( x, y) |x m, y 3m 15, m ZC ( x, y)| x2 y2 14，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)a,b，使得(1) AI B ，(2) (a,b) C同時(shí)成立.分析：假設(shè)存在a,b使得成立，得到a與

14、b的關(guān)系后與x2y2 0 a2 12b 180，又 a2 b2 14由相加，得 b2 12b 36，即(b 6)2 108，再將b 6代入得a2 /3x 9 0，解得x .3乙所以不存在實(shí)數(shù)a,b，使得(1),同時(shí)成立.評(píng)注：對(duì)于存在性探索性問(wèn)題，首先要假設(shè)這樣的問(wèn)題存在，以此出發(fā)，依據(jù)已知條 件、公理、定理進(jìn)行推理論證，推出一個(gè)較為明顯的結(jié)論，最后根據(jù)這樣的結(jié)論有無(wú)矛盾， 得出問(wèn)題的結(jié)論.練習(xí)六1. 定義集合A與B的運(yùn)算：AOB= x|x A,或x B,且x AH B，已知集合A= 1，2, 3, 4，B= 3，4, 5, 6, 7，則(AO B) O B 為()(A) 1 , 2, 3,

15、4, 5, 6, 7 (B) 1, 2, 3, 4 (C) 1, 2 (D) 3, 4, 5, 6, 72. M P是兩非空集合，定義 M與P的差集為M- P=x|x M且x F，則M- ( M- P)= ()(A) P (B)MP P (C)MU P (D) M3. 設(shè)I二1 , 2, 3, 4 , A與B是I的子集，若A B=1 , 3，則稱(A B)為一個(gè)“理想配集” 那么符合此條件的“理想配集”的個(gè)數(shù)是(規(guī)定(A、B)與(B、A)是兩個(gè)不同的“理想配集”)()A. 4B. 8C. 9D. 164. 定義集合A,B的一種運(yùn)算：A*B= x|x=人 + X2,其中X1A,X2B，若 A=

16、1 , 2,3 , B=1 , 2，則A*B中的所有元素之和為()(A) 9(B) 14(C) 18(D) 215. 設(shè)M, P是兩個(gè)非空集合,定義M與P的差集為M- P=x|x M且x P 已知A=1 ,3 , 5 , 7 , B= 2, 3 , 5,則集合A- B的子集個(gè)數(shù)為()(A) 1(B) 2(C) 3(D) 46. 全集 S 1,3,x3 3x2 2x , A 1,2x 1| ,如果 C$A 0 ,則這樣的 實(shí)數(shù)x是否存在？若存在，求出x ;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。7. 【試一試】【2012北京海淀區(qū)期末】若集合 A具有以下性質(zhì)： 0 A , 1 A ;1 若x, y A ,則x y

17、 A ,且x 0時(shí)，一 A.x則稱集合A是“好集”.(I)分別判斷集合B= - 1,0,1,有理數(shù)集Q是否是“好集”，并說(shuō)明理由；(U)設(shè)集合A是“好集”,求證：若x, y A ,則x y A ;高三文科數(shù)學(xué)（集合）A組1 . （2007年高考廣東文科卷）已知集合 M=x1 x 0 , N=0，則MN（）A. x 1 x 1 B. xx 1C. x 1 x 1 D. xx 12. （2008年高考廣東文科卷）第二十九屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)將于 2008年8月8日在北京舉行，若集合A 參加北京奧運(yùn)會(huì)比賽的運(yùn)動(dòng)員,集合B 加北京奧運(yùn)會(huì)比賽的男運(yùn)動(dòng)員，集合C加北京奧運(yùn)會(huì)比賽的女運(yùn)動(dòng)員,則下列關(guān)系正確的

18、是（A. A B3 .已知集合（ ）A. 1)B.1,1 , BC. BUC Ax | mx 1,且 AD. AI B,則m的值為C. 1 或一1D.1或一1或04. （2009年高考廣東文科卷）已知全集 U=R，則正確表示集合M= 1, 0, 1和N= x x2 1 0 關(guān)系的韋恩（Venn）圖是（）&95 .如圖，U是全集，M、P、S是U的3個(gè)子集，則陰影部分所表示的集合是 （ ）A、M I PISB、M I PUSC、M I PICuSD、MI PUCuS6.已知集合A=1 , 2, 3, 4，那么A的真子集的個(gè)數(shù)是 7.已知全集 U= 2 , 3 , a2 2a 3，若 A= b , 2 , Cd A 5，求實(shí)數(shù)的 a ,b值 答案(1)-(5) DBCDA(6)2(7) 1, , 2,4一、集合部分1 準(zhǔn)確理解集合元素的兩個(gè)性質(zhì)集合是一個(gè)原始的，不定義的概念，集合中的元素具有確定性和互異性.確 定性是對(duì)某一集合來(lái)說(shuō)，任一對(duì)象或者是該集合的元素，或者不是該集合的元素， 二者必居其一；互異性是指集合中的元素互不相同.在進(jìn)行