相似三角形輔助線(教師版)

1、精品文檔9歡迎下載相似三角形（輔助線的做法）在添加輔助線時，所添加的輔助線往往能夠構造出一組或多組相似三角形，或得到 成比例的線段或出等角，等邊，從而為證明三角形相似或進行相關的計算找到等量關系 主要的輔助線有以下幾種：作平行線解法一：過點D作CA的平行線交BF于點P,則PEDEd BPBD1, 2 ,FEAEPFDC PE=EF BP=2PF=4E所以 BE=5EF： BE EF=5:1.解法二：過點D作BF的平行線交AC于點Q,則BF BCBE - BF - EF=3=3DQ _EF =6EF - EF =5EF ,1.DQ DC BE EF=5解法三：過點E作BC的平行線交AC于點S,解

2、法四：過點BE BT .EF _TC ?E作AC的平行線交BC于點 BD=2DC 二5BT = DC,2T，貝U DT 二 CT =DC, BE EF=5: 12練習:中占I 八、JD是厶ABC的 BC邊上的點,如圖，連結(jié)BE并延長交AC于 F,DQ _ DA2 ,EF EABD DC=2 1，E 是 AD的 求AF: CF的值.（答案2 : 3）解法一 解法二 解法三 解法四過點 過點 過點 過點D作CA的平行線交 D作BF的平行線交 E作BC的平行線交 E作AC的平行線交BF于點 AC于點 AC于點BC于點P,Qs,T，例1:如圖，D是厶ABC的BC邊上的點，BD DC=2 1，E是AD的

3、 中點，求：BE EF的值.例2:如圖，在 ABC的AB邊和AC邊上各取一點 D和E,且使AD-AE, DE延長線與BC延長線相交于F,求證： BF BD（證明：過點C作CG/FD交AB于G CF CE（該題關鍵在于 AD- AE這個條件怎樣使用.由這道題還可以增加一種證 明線段相等的方法：相似、成比例.） 例 3:如圖， ABC中, ABvAC 在 AB AC上分別截取 BD=CE DE BC的 延長線相交于點F,證明：AB- DF=AC EF.方法一：過E作EM/AB,交BC于點M則厶EMOAAB（兩角對應相等，兩三角形相似） 方法二：過D作DN/EC交BC于 N.分析：證明等積式問題常常

4、化為比例式，再通過相似三角形對應邊成比例來證明。不相 似，因而要通過兩組三角形相似，運用中間比代換得到，為構造相似三角形，需添加平 行線。.DG AD 剛 DG BC即二BC AC AD AC段B例4:在厶ABC中, D為AC上的一點，E為CB延長線上的一點,BE=AD DE交 AB于 F。求證：EFX BC=AC（ DF證明：過D作DG/ BC交AB于6則厶DFGffiA EFB相似,DGBE由 DG/ BC可得 ADGffiA ACB相似, EFX BC- ACX DF.例5:已知點D是BC的中點，過D點的直線交AC于 E,交BA的延長線于F,求證:AF = AE_BF EC分析：利用比例

5、式夠造平行線，通過中間比得結(jié)論 .（或利用中點”倍長中線”的思想平移線段EC,使得所得四條線 分別構成兩個三角形.）例6:已知：在等腰三角形 ABC中，AB=AC BD是高，求證： BC2=2AC CD分析：本題的重點在于如何解決“2”倍的問題；讓它歸屬一條 段，找到這一線段2倍是哪一線段.例7:已知：從直角三角形ABC的 直角頂點A向斜邊BC引垂線， 垂足為D,邊AC的中點為E,直線ED與邊AB的延長線交于F,求 證：AB:AC=DF:AF分析：利用前兩題的 思想方法，借助中點構造中位線，利用平行 與2倍關系的 結(jié)論，證明所得結(jié)論. 找到后以比例式所在三角 形與哪個三角形相似A例& 如圖，

6、ABC中, AD是BC邊上中線，E是AC上一點，連接ED且 交AB的延長線于F點.求證：AE EC=AF BF.分析：注意觀察圖形的 特殊性，有些像全等中，旋轉(zhuǎn)的基本圖形，因 此可以沒有相互關系的成比例的四條線段轉(zhuǎn)化為成比例的四條線段（通過全等找相等的線段）關鍵是要把成比例線段放在兩個三角形中例9:如圖，平行四邊形ABCD中 E為AB邊中點，點F在AD邊上，且 AF: FD=1: 2，EF交 AC于 G,求 AG GC的值（構造線段相等轉(zhuǎn)化比例式）例 10 :在？ABC中，AB=AC,AD1 中線，P是 AD上一點，過 C作 CF/ AB, 延長BP交AC于E,交CF于F,求證：BP2=PE-

7、 PF分析：在同一直線上的三條線段成比例，可以通過中間比轉(zhuǎn)化，也可以 通過線段相等，把共線的線段轉(zhuǎn)化為兩個三角形中的線段，通過相似證明.另外在證明等積式時要先轉(zhuǎn)化為比例式觀察相似關系，有利于證明例11:如圖，梯形 ABCD中, AD/ BC, AC BD交于0點，長線交于E點，連結(jié)E0并延長分別交 AD BC于 N M求證：BM=CMAN AO AD EA ANMC OC BC E BM（證明線段相等的又一方法）BA CD的延例13: ?ABC中，AC=BC P是AB上一點，Q是PC上一點（不是中點），MN過Q且MNLCP,交AC BC于M N,求證:PA: PB 二 CM :CN證明：過P作

8、PEL AC于 E, PF丄CB于 F,貝U CEPF為矩形 PF /EC : / A=Z B=45 二 Rt AEP=R1A PFBCP AP:PB 二 PE: PF t EC=PF在厶 ECPPA CNM中 CPL MNT Q Rt A PE(S Rt A MCN /EPEC即EPCM(2)由(1)( 2)得 PA _CMCM_CNEC-CNPBCNPA _ PE _ PE ( 1)PB=EC/ QCNQNC=90 又 v / QCN QCM=9 /-Z MCQ/CNQ作延長線例14.如圖，在梯形ABC沖，AD/ BC,若Z BCD勺平分線CHLAB于點H, BH=3AH且四邊形AHCD勺

9、面積為21,求厶HBC勺面積。分析：因為問題涉及四邊形 AHC D所以可構造相似三角形。把問題轉(zhuǎn)化 為相似三角形的面積比而加以解決。解：延長BA CD交于點P v CHL AB, CD平分Z BCD/ CB=CP 且 BH=PH v BH=3AH / PA AB=1 2/ PA PB=1: 3v AD/ BC PADA PBC Sa pad： Sa pbc -1:9 SA PCHSA PAD = 6 pbc - - Sa pad - S四邊形 ahcd = 2 ：7Sa pbc = 54Sa hbc = Sa pbc S四邊形AHCD = 21=27A又 Rt A AE3 Rt A BAC 又

10、 v EC=1AC2 =CE BC =BC(2)例15.如圖，RtABC中, CD為斜邊AB上的高，E為CD的中點，AE的延長線交 BC于 F, FGABT G,求證：FG=CF BF分析：欲證式即亙亙由“三點定形” ,A BFG與 A CF蟄相似嗎？ 顯然不可能。BF FG （因為A BFG為RtA）,但由E為CD的中點，.可設法構造一個與A BFG相似的三角形來求解。不妨延長GF與AC的延長線交于H,貝U affg 巴邑又 ED=EC / FG=FH又易證 Rt A CFHh FAtA gFB EC ed ec互=竺 / FG- FH=CF BF v FG=FH / FG2=CF BFFG BF作中線例 16：女口圖，中, AB丄ACAEXBC于 E, D在 AC邊上，若 BD=DC=EC=1 求AC.解：取 BC的中點 M,連 AM v AB丄AC / AM=CM：Z 1=Z C 又 BD=DC /Z DBCZ DCB /Z CAMZ C=Z DBC /A MACA DBC/ 虬二生 又 DC=1 MC= J