有關(guān)二重積分的計(jì)算與應(yīng)用的本科畢業(yè)論文[共32頁]

1、學(xué)號(hào)：201021140309200222200X2XX40XXX. 本 科 生 畢 業(yè) 論 文論 文 題 目： 二重積分的計(jì)算與應(yīng)用研究 作 者： 甘 泉 院 系： 數(shù)理學(xué)院 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班 級(jí)： 201003 指 導(dǎo) 教 師： 劉 春 潮 2014 年 5 月 8 日IINO：2010211403092008200X2XX40XXX200X2XX40XXXHuanggang Normal UniversityThesis GraduatesTopic： Double Integral Calculation and Its Application Author： GAN Qu

2、an College： College of Mathematics and Physics Specialty： Mathematics and Applied Mathematics Class： 201003 Tutor： LIU Chunchao May 8th,2014I鄭重聲明本人所呈交的畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）是本人在指導(dǎo)教師 劉春潮 的指導(dǎo)下獨(dú)立研究并完成的 除了文中特別加以標(biāo)注引用的內(nèi)容外，沒有剽竊、抄襲、造假等違反學(xué)術(shù)道德、學(xué)術(shù)規(guī)范和侵權(quán)行為，本人完全意識(shí)到本聲明的法律后果由本人承擔(dān)特此鄭重聲明！指導(dǎo)老師（手寫簽名）：論文作者（手寫簽名）： 2014年5月8日摘 要二重積分在現(xiàn)實(shí)中

3、有著廣泛的應(yīng)用，二重積分可用于求解空間立體體積和曲面面積。在物理力學(xué)中，二重積分也有著不可代替的作用。本文給出二重積分的概念及基本性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上總結(jié)了二重積分的七種比較常見的計(jì)算方法與計(jì)算技巧：利用直接坐標(biāo)系計(jì)算、利用變量特?fù)Q法計(jì)算、利用極坐標(biāo)系計(jì)算、利用函數(shù)的奇偶性和區(qū)域?qū)ΨQ性計(jì)算、利用格林公式計(jì)算、利用輪換法計(jì)算、利用二重積分的幾何意義計(jì)算，還研究了一些二重積分在物理力學(xué)、計(jì)算空間立體體積、計(jì)算曲面面積、計(jì)算曲線積分和曲面積分等方面的應(yīng)用問題。關(guān)鍵詞：二重積分；計(jì)算方法；計(jì)算技巧；應(yīng)用 I Abstract The double integral is widely used in pr

4、actice, the double integral can be used to solve the three-dimensional volume and surface area. In mechanics, the double integral also has an irreplaceable role. This paper gives the concept and nature of the double integral, on the basis of summing up the seven common calculation method of double i

5、ntegral and calculation skills:using direct coordinate system to calculate, using variable replacement method to calculate, using the polar coordinate to calculate, using function and regional symmetry to calculate, using the parity of green formula to calculate, using the method of rotation to calc

6、ulate, using the geometric meaning of double integral to calculate, also studies on some practical problems about the double integral such as physical mechanics, calculation of three-dimensional volume, surface area calculation, the calculation of curvilinear integral and surface integral.Key words:

7、 double integral；computational methods；computational skills；application 目 錄第1章 緒論11.1選題背景11.2選題意義11.3研究現(xiàn)狀11.4研究思路2第2章 二重積分的基本計(jì)算方法32.1 二重積分的定義與性質(zhì)32.2利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分42.3利用變量替換法計(jì)算二重積分62.4利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分7第3章 特殊二重積分的計(jì)算技巧103.1利用函數(shù)奇偶性與區(qū)域?qū)ΨQ性計(jì)算103.2利用格林公式計(jì)算123.3利用輪換法計(jì)算123.4利用二重積分的幾何意義計(jì)算13第4章 二重積分的應(yīng)用144.1計(jì)算曲面的面積14

8、4.1.1曲面由顯函數(shù)給出的情形144.1.2曲面由參數(shù)方程給出的情形14 4.2計(jì)算平面薄片的重心154.3計(jì)算平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量164.4計(jì)算平面薄片對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力174.5計(jì)算空間立體體積174.6計(jì)算曲線積分184.7計(jì)算曲面積分18第5章 結(jié)束語20致 謝21參考文獻(xiàn)22III 黃岡師范學(xué)院本科學(xué)位論文第1章 緒論1.1選題背景 二重積分是數(shù)學(xué)分析中的重要內(nèi)容，它上承接著定積分，下引出三重積分和曲線積分、曲面積分.它在幾何、物理、經(jīng)濟(jì)學(xué)等多個(gè)科學(xué)都有極其廣泛的應(yīng)用.函數(shù)的二重積分是數(shù)學(xué)分析中的重要內(nèi)容，它涉及到多個(gè)科學(xué)領(lǐng)域，并起著至關(guān)重要的作用.然而在計(jì)算函數(shù)二重積分的過程中，由于計(jì)算

9、和函數(shù)比較繁瑣，因此按照二重積分的定義計(jì)算二重積分有很大的局限1.計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用，特別是MATLAB等數(shù)學(xué)計(jì)算軟件的迅猛普及為二重積分的發(fā)展和應(yīng)用開辟了廣闊的前景.然而計(jì)算函數(shù)二重積分往往比較復(fù)雜和繁瑣，因此，研究二重積分的計(jì)算不僅很有必要，而且不斷尋找簡(jiǎn)便的算法仍然是二重積計(jì)算方面的重要課題2.對(duì)于二重積分的應(yīng)用主要體現(xiàn)在求曲線積分，曲面積分，曲面面積和物理學(xué)中的一些平面薄板的重心坐標(biāo)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量以及對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力等問題，利用二重積分可以巧妙解決這些問題，因此二重積分的計(jì)算與應(yīng)用在物理學(xué)當(dāng)中，尤其是在數(shù)學(xué)分析里是一門不可缺少的重要知識(shí)3.1.2選題意義二重積分的計(jì)算和應(yīng)用研究在高等數(shù)學(xué)研究中具

10、有重要意義，對(duì)于二重積分的研究不僅僅體現(xiàn)在理論上，與其相關(guān)的幾何模型和物理模型也在被討論研究.二重積分的研究雖然以前也有不少人研究過，但多數(shù)人只是理論上研究，在實(shí)際應(yīng)用中的研究還比較少，比如在求物體的重心，以及引力等，甚至經(jīng)濟(jì)學(xué)中方面相關(guān)深入的研究比較狹窄4. 在有些應(yīng)用當(dāng)中，我們會(huì)遇到一些二重積分基本運(yùn)算問題，即在給定的被積函數(shù)和積分區(qū)域比較特殊時(shí)，計(jì)算二重積分，此時(shí)計(jì)算量就會(huì)很大.因此，不斷尋找簡(jiǎn)便的算法便成為二重積分運(yùn)算方面的重要課題.1.3研究現(xiàn)狀采用層進(jìn)式教學(xué)法可以由淺入深的讓學(xué)生輕松掌握這種積分的算法.是高等數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，計(jì)算較為繁瑣，有的二重積分需要一定的技巧才能求出，二

11、重積分的計(jì)算方法主要是在極坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系下將二重積分化為二次積分，進(jìn)而要利用兩次定積分計(jì)算此二重積分，但是某些二重積分化為二次積分后計(jì)算仍相當(dāng)困難，這時(shí)，我們就要采用特殊的算法計(jì)算5.文獻(xiàn)1介紹了二重積分的發(fā)展及其相關(guān)應(yīng)用；215主要介紹了二重積分的一些計(jì)算方法和相關(guān)性質(zhì)定理；1626主要介紹了一些二重積分在力學(xué)方面的一些應(yīng)用.鄭兆順探究了直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算；曹毅探究了利用變量替換與極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算；李娟探究了利用函數(shù)的奇偶性和積分區(qū)域的對(duì)稱性簡(jiǎn)化二重積分的計(jì)算；趙赫探究了利用格林公式來計(jì)算二重積分，本文在此基礎(chǔ)上還探究了一下利用輪換法，格林公式，二重積分的幾何意義來計(jì)算一

12、些特殊的二重積分913.1.4研究思路 通過查看圖書與學(xué)校電子閱覽室里的有關(guān)二重積分計(jì)算的資料，最終分析決定主要研究以下幾個(gè)方面： （1）二重積分的基本計(jì)算方法； （2）二重積分的特殊計(jì)算方法； （3）二重積分的應(yīng)用. 根據(jù)被積函數(shù)和積分區(qū)域的不同特征熟練采用不同的計(jì)算方法求二重積分.上述介紹的幾種方法不一定全是最簡(jiǎn)單的，也不是獨(dú)立存在的，有時(shí)還需要相互配合使用.總之，在二重積分計(jì)算過程中要充分運(yùn)用被積函數(shù)和積分區(qū)域的特征尋求最佳計(jì)算方法，這對(duì)于知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系及推廣思路，是大有裨益的，而能熟練選擇出最簡(jiǎn)單的計(jì)算方法的能力需要在實(shí)踐中逐步提高.本課題最終將達(dá)到的目標(biāo)：根據(jù)被積函數(shù)和積分區(qū)域的特點(diǎn)

13、選擇簡(jiǎn)便的計(jì)算方法；利用二重積分的一些性質(zhì)來解決實(shí)際問題. 第2章 二重積分的基本計(jì)算方法2.1二重積分的定義與性質(zhì)設(shè)是定義在可求面積的有界閉區(qū)域上的函數(shù)，是一個(gè)確定的數(shù)，若對(duì)任給的正數(shù)，總存在某個(gè)正數(shù)，使對(duì)于的任何分割，當(dāng)它的細(xì)度0)處的單位質(zhì)量的引力 解：由對(duì)稱性，引力必在軸方向上，因此 故(其中是引力常數(shù)）.4.5計(jì)算空間立體體積由二重積分的幾何意義知，當(dāng)時(shí)，表示以平面上的區(qū)域?yàn)榈祝詾轫數(shù)那斨w的體積，因此利用二重積分計(jì)算空間立體體積的關(guān)鍵在于找曲頂柱體的底與頂.例19 求兩個(gè)底面半徑相同的直交圓柱所圍立體的體積.解：設(shè)圓柱底面半徑為，兩個(gè)圓柱方程為與.利用對(duì)稱性，只求出在第一卦限部

14、分的體積，然后再乘以即得所求的體積.第一卦限的立體是以為曲頂，以四分之一圓域?yàn)榈椎那斨w，所以，于是.4.6計(jì)算曲線積分 對(duì)平面閉曲線上的對(duì)坐標(biāo)曲線的積分，當(dāng)比較簡(jiǎn)單時(shí)，常?？紤]通過格林公式化為二重積分來計(jì)算. 例20 計(jì)算曲線積分，其中是沿圓周，逆時(shí)針方向. 解：利用格林公式計(jì)算此積分，記所圍的區(qū)域?yàn)?，則有 .4.7計(jì)算曲面積分第一型曲面積分可化為二重積分來計(jì)算：定理7 設(shè)有光滑曲面，為上的連續(xù)函數(shù)，則.例21 計(jì)算第一型曲面積分，其中為平面在第一卦限里的部分.解：，則， .第二型曲面積分也可化為二重積分來計(jì)算：定理8 設(shè)是定義在光滑曲面上的連續(xù)函數(shù)，以的上側(cè)為正側(cè)（這時(shí)的法線方向與軸正向

15、成銳角），則有 .類似地，當(dāng)在光滑曲面上連續(xù)時(shí)，有，這里是以的法線方向與軸的正向成銳角的那一側(cè)為正側(cè).當(dāng)在光滑曲面上連續(xù)時(shí)，有，這里是以的法線方向與軸的正向成銳角的那一側(cè)為正側(cè).例22 計(jì)算第二型曲面積分，其中是由平面和所圍的四面體表面并取外側(cè)為正向.解：由對(duì)稱性知，原式 .第 19 頁 共 22 頁第5章 結(jié)束語本次的畢業(yè)論文是對(duì)大學(xué)四年學(xué)習(xí)的一個(gè)總結(jié).在歷時(shí)將近半年的時(shí)間里，在查找資料，準(zhǔn)備開題和論文設(shè)計(jì)過程中，遇到了許許多多的問題，在遇到問題，分析問題和解決問題的過程中，論文也慢慢地成型，雖然在某些細(xì)節(jié)上還是比較粗糙，但總體上還是達(dá)到了基本的研究要求，基本可以解決一些常見的二重積分的計(jì)算

16、這一問題，為二重積分的計(jì)算提供一個(gè)參照.當(dāng)然，在具體求解一個(gè)二重積分的計(jì)算時(shí)，根據(jù)被積函數(shù)和積分區(qū)域的特點(diǎn)采用不同的計(jì)算方法是求二重積分的關(guān)鍵.上述介紹的幾種方法不一定全是最簡(jiǎn)單的，也不是獨(dú)立存在的，有時(shí)還需要相互配合使用.總之，在二重積分的求解過程中要充分運(yùn)用已知條件選擇最佳計(jì)算方法，這對(duì)于溝通積分各部分內(nèi)容之間的聯(lián)系及推廣思路，是大有裨益的，而能熟練選擇出最簡(jiǎn)單的計(jì)算方法的能力需要在實(shí)踐中逐步提高. 第 I 頁 共 32 頁致 謝在這里首先要感謝我的指導(dǎo)老師劉春潮.在畢業(yè)論文的完成過程中，劉老師在百忙之中查閱和修改本論文，給予了很多悉心的指導(dǎo)，對(duì)論文的修改給予了很多細(xì)致的建議，給予了很多完

17、善論文的啟發(fā).劉老師這種嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的態(tài)度，讓我肅然起敬，同時(shí)深厚的理論水平也讓我受益匪淺.在指出論文中存在的問題和提供建設(shè)性修改意見的同時(shí)，也不忘鼓勵(lì)我發(fā)揚(yáng)長(zhǎng)處，不忘指導(dǎo)我將所學(xué)知識(shí)充分運(yùn)用，要不斷更新自己的知識(shí)體系，這些讓我很受欣慰和鼓舞，在這里，學(xué)生真誠(chéng)地對(duì)劉老師表示深深的感激與謝意.通過這一階段的學(xué)習(xí)和研究，終于解決一些問題，其中耗費(fèi)了很多精力和時(shí)間，但本次論文是大學(xué)對(duì)即將走進(jìn)社會(huì)的我們的一次知識(shí)和能力的綜合考驗(yàn)，這將是激勵(lì)我去創(chuàng)造的一個(gè)起點(diǎn)，會(huì)永遠(yuǎn)激勵(lì)著我前進(jìn).最后，還是要再次衷心地感謝這些日子以來給予我?guī)椭乃欣蠋?，朋友和同學(xué)們，謝謝你們！ 第 21 頁 共 22 頁參考文獻(xiàn)1 李林

18、曙，黎詣遠(yuǎn)微積分M北京：高等教育出版社，20052 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析(下)M北京：高等教育出版社，20013 劉玉璉，傅沛仁數(shù)學(xué)分析講義M北京：高等教育出版社，20014 郭運(yùn)瑞高等數(shù)學(xué)M成都：西南交通大學(xué)出版社，20105 甄海燕二重積分的計(jì)算方法J山東商業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，2012，12(5)：86886 韓振來數(shù)學(xué)分析同步輔導(dǎo)及習(xí)題精粹(下) M天津：天津科學(xué)技術(shù)出版社，20097 費(fèi)定暉，周學(xué)圣吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解(6)M濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社， 20038 李德新高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與解題指導(dǎo)M廈門：廈門大學(xué)出版社，20099 鄭兆順談二重積分的計(jì)算J河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2007，16(2)：71010 曹毅簡(jiǎn)化二重積分的方法J江蘇技術(shù)師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，17(10)：596111 李娟利用對(duì)稱性、奇偶性計(jì)算二重積分J天津職業(yè)院校聯(lián)合學(xué)報(bào)，2012，14(6)： 687012 趙赫幾種特殊類型二重積分的計(jì)算技巧J衡水學(xué)院學(xué)報(bào)，201113(4)：101213 薛凌霄二重積分計(jì)算方法的研究J宜春學(xué)院學(xué)報(bào)，201133(80)：313214 溫田丁考研數(shù)學(xué)中的二重積分的計(jì)算技巧J高等數(shù)學(xué)研究，2008，11(2)：636515 林承初二重積分的計(jì)算方法與技巧