油罐標尺刻度的設計9頁

1、數學建模論文油罐標尺刻度的設計 班級： 姓名： 學號： 電話： QQ： 油罐標尺刻度的設計摘要通過對油罐的理想化處理，本文將問題分成兩個步驟，在步驟一中，建立了兩個模型：解析模型和數值解法模型；在步驟二中，建立了兩個模型：插值模型和二分逼近模型。在步驟一中，本文通過數據說明了數值解法對于復雜問題的精確逼近，可以替代解析方法。在步驟二中，比較兩個模型三種方法，找出了它們的不同適用條件。關鍵詞：插值法 二分逼近法 標尺設計 解析法 數值精度一、 問題重述為了貯存汽油、柴油，經常使用大量的儲油罐。油罐由中間的一個圓柱體和兩邊兩個圓錐體拼接而成，上端有一注油孔（如圖所示）。由于經常注油和取油，有時很難

2、知道油罐中剩油的數量，這就給儲油量的統計帶來很大困難。顯然將剩油取出計量是不現實的。希望設計一個精細的標尺：工人們只需將該標尺垂直插入使尺端至油罐的最底部，就可以根據標尺上的油痕位置的刻度獲知剩油量的多少。二、 問題分析本題中，要求設計出一個精細的標尺。通常，刻度尺用來測量比較簡單的幾何體的某一維度。這里要測量油罐的剩油量，其實就是測量復雜幾何體的容積問題。同時要求把幾何體的容積轉化成一維上的刻度。在本文中，我采取兩種步驟：在步驟一，求出復雜幾何體在高度成等差數列時下的對應體積；在步驟二，利用已經求出的刻度處的油量，通過插值或二分逼近法求標尺上對應的剩油量體積。三、 模型假設在實際情況中，油罐

3、的外形并不一定十分地完美，圓錐體和圓柱體的結合處也不一定十分光滑。在此，為了便于計算和分析，特作如下假設：1、 油罐的外形由理想的圓錐體和圓柱體組合而成；2、 油罐的圓柱部分和圓柱部分的結合處無縫隙、十分平滑；3、 油罐處在水平面上；4、 測量油量時，標尺粘帶的油量對總油量的影響忽略不計；四、 符號說明R：圓柱底面半徑和圓錐底面半徑L：圓柱長度A：圓錐高H：標尺被油浸濕位置的高度V：油罐內的油量Vc(H)：圓柱中的儲油量Vb(H)：圓錐中的儲油量S(H)：圓柱截面中儲油部分對應的弓形區(qū)域面積：弓形對應的圓心角一般（圖7.2）r ：該弓形的半徑h ：該弓形的高Q(H,x):：圓錐體底面平行且距底

4、面x處截面上表示儲油部分的弓形區(qū)域面積（圖7.3）H：將區(qū)間0,R作n等分，一份大小Hi：將區(qū)間0,R作n等分，相應的第i個剖分點，i=0,1,2，nVi：Vb(H)在Hi處的值五、 模型建立通過對問題的分析，在模型的假設成立的條件下，為了解決該問題，我們將問題分為兩步解決。步驟一：將0,R區(qū)間，依精度需要分成n等份，得到剖分點=iH，i=1,2,3，n；其中H=.算出刻度位置處相應的油量，（i=1,2,3，n）分別利用解析法和數值解法求得刻度位置處的相應油量。步驟二：根據所需的各油量讀數在上一步驟中某一油量區(qū)間，通過插值或二分逼近法獲得相應的刻度位置值。并比較兩種方法的優(yōu)劣。模型1.1（解析

5、方法）由立體幾何知識知剩油量由兩部分組成：總儲油量等于相應圓柱的儲油量加兩倍的圓錐的儲油量?？捎洠?先求圓柱的儲油量。 圖1見圖1，可得，利用三角函數表達式可得推出：再求兩側圓錐體的儲油量。 圖2見圖2，可得推出和推出：進而：借助數學軟件可進一步求得：最后將（2）（3）帶入（1）得公式：模型1.2（模型1.1改進，數值方法）由于上述模型中積分難以計算，故而使用數值方法。將上面求方法改動，用數值法求。 可得和推出平面與圓錐面相交的截面面積為而，求導：且為了進行數值計算，將0,R區(qū)間等分成n份，得到剖分點=iH，（i=1,2,3，n）；其中H=.在處相應的油量，（i=1,2,3，n）由導數的定義，

6、在處，用差商代替微商，即：此后問題既可轉換成代數方程組，由數學軟件解決。由于，要由油量函數的解析表達式（3）來反求反函數H的顯示表示是不可能的。為此我建立模型2.1和模型2.2。模型2.1（插值法）將0,R區(qū)間，依精度需要分成n等份，得到剖分點=iH，i=1,2,3，n；其中H=.算出刻度位置處相應的油量，（i=1,2,3，n），現在要解決的是：當油量給出時，如何確定相應的標尺刻度位置H.這是在求V(H)=V*的根。可以采用如下兩種插值方法。線性插值設，在此區(qū)間上用線性函數近似H(V),則有利用matlab編程求得對應點的標尺刻度位置見表1二次插值缺點：插值點需要三個在邊界處，取不到足夠點。利

7、用matlab編程求得對應點的標尺刻度位置見表1模型2.2（二分逼近法）對于給定的，從函數在等分點的值，先估計的范圍。假設，取。由第一步求得，與比較。若則，反之。依次重復上述步驟，直至。此時可取求出對應的標尺刻度值如下表：表1vH(線性插值法）H(二次插值法）H(二分逼近法）000012.973002596869132e-01 2.302023822139394e-01 2.281250000000000e-012 3.890764026732845e-01 3.609183341904665e-01 3.611328125000000e-013 4.808525456596553e-01 4

8、.714724916159404e-01 4.703125000000000e-014 5.726286886460265e-01 5.714536843480886e-01 5.716796874999999e-015 6.644048316323974e-01 6.649064230022632e-01 6.652343749999999e-016 7.561809746187683e-017.540370335678355e-01 7.541015625000000e-017 8.479571176051395e-01 8.402706570914312e-01 8.4082031250

9、00000e-018 9.397332605915101e-0193220793888950495e-01 9.246826171874998e-018.9012 9.993399184008047e-01 119 1.008001312799149 1.009838111190761 1.009287109375000101.088326016805105 1.091794250219317 1.09162597656250011 1.175991952011015 1.176575823906903 1.17578125000000012 1.263657887216925e+0 1.26

10、3311661782924e+00 1.262890625000000e+0013 1.351323822422835e+01.353186187053666e+00 1.351562500000000e+0014 1.438989757628745e+0 1.447737923017295e+00 1.447607421875000e+0015 1.526655692834655e+01.549408508187343e+00 1.548828125000000e+0016 1.614321628040566e+0 1.662809762485798e+0 1.662695312500000

11、e+017 1.701987563246475e+01.799722898514539e+0 1.799609375000000e+018（v18=17.8024)2.00000000000002.0000000000002.000000000000六、 模型分析為了根據復合幾何體設計測量剩油量的標尺，分為如下步驟：把區(qū)間0,R依精度需要分成n等份，得到剖分點Ho=0,Hi=i*H，i=1,2,3,n,其中，H=R/H,利用求體積公式分別運用解析法和數值解法求出刻度位處的對應油量。根據所需的各油量讀數所在上一步驟中的某一油量區(qū)間，通過線性插值法、二次插值法以及二分法求解獲得相應的刻度位置值。對

12、于步驟一，解析法和數值解法給出的結果相差不大，見表2表2線性插值法二次插值法二分逼近法hh0123457.478789498561727e-017.482524186764148e-010.7000.7000.725 00.737 50.743 80.746 90.8000.750 00.750 00.750 00.750 00.750 00.7500.725 00.737 50.743 80.746 90.748 45.952 85.668 85.810 45.881 55.917 15.934 90.018 80.265 20.123 60.052 50.016 99.3750e-04但是

13、數值解法可以避免較為復雜的公式推導和積分運算，適合推廣。對于步驟二，我采用v=5.934(m3)來比較線性插值法、二次插值法和二分逼近法的優(yōu)劣。通過觀察表2，可以看出線性插值法較之另外的兩種方法具有算法簡單，易于實現的優(yōu)點，但誤差也相對較大，在表1也有體現，當運算數據較少、對數據精度沒有過分要求時，采用此算法較為省時；通過對表和表的分析，可以看出，二次插值法，相對于二分逼近法迭代次數少，相對于線性插值法逼近結果效果好，但對點的要求會多一個，當在邊界時，無法直接用此法求出對應值，還應尋找其他方法來求邊界的解。通過對表和表的分析，可以看出，二分逼近法在犧牲算法復雜性換取逼近精度，雖然運行次數較多，也只是七八次。而且，二分逼近法根據誤差要求，可以在理論上實現無限逼近，使得精度可以達到足夠高。七、 模型推廣在實際問題中，油罐可能由一圓柱側面兩端拼接相同球冠組成。那么就可以采用模型1.2中的分析處理方法，來處理球冠中剩油量的問題。八、 結論通過解決油罐標尺刻度設