(完整word版)三角高程測量原理

1、圖 5-35 5.9三角高程測量 三角高程測量的基本思想是根據(jù)由測站向照準(zhǔn)點(diǎn)所觀測的垂直角（或天頂距）和它 們之間的水平距離，計(jì)算測站點(diǎn)與照準(zhǔn)點(diǎn)之間的高差。這種方法簡便靈活， 受地形條件 的限制較少，故適用于測定三角點(diǎn)的高程。 三角點(diǎn)的高程主要是作為各種比例尺測圖的 高程控制的一部分。一般都是在一定密度的水準(zhǔn)網(wǎng)控制下，用三角高程測量的方法測定 三角點(diǎn)的高程。 5.9.1三角高程測量的基本公式 1. 基本公式 關(guān)于三角高程測量的基本原理和計(jì)算高差的基 本公式，在測量學(xué)中已有過討論，但公式的推導(dǎo)是 以水平面作為依據(jù)的。在控制測量中，由于距離較 長，所以必須以橢球面為依據(jù)來推導(dǎo)三角高程測量 的基本公

2、式。 如圖5-35所示。設(shè)so為A、B兩點(diǎn)間的實(shí)測水 平距離。儀器置于 A點(diǎn)，儀器高度為i1。 B為照準(zhǔn) 點(diǎn)，硯標(biāo)高度為 v2， R為參考橢球面上 AB的曲率 半徑。PE AF分別為過P點(diǎn)和A點(diǎn)的水準(zhǔn)面。PC 是PE在P點(diǎn)的切線，PN為光程曲線。當(dāng)位于 P點(diǎn) 的望遠(yuǎn)鏡指向與PN相切的PM方向時，由于大氣折 光的影響，由N點(diǎn)出射的光線正好落在望遠(yuǎn)鏡的橫 絲上。這就是說，儀器置于A點(diǎn)測得P、M間的垂 直角為ai,2。 由圖5-35可明顯地看出，A、B兩地面點(diǎn)間的高差為 9 g,2 BF MC CE EF MN NB (5-54) 式中，EF為儀器高 影響。由 i1; NB為照準(zhǔn)點(diǎn)的覘標(biāo)高度 V2

3、;而CE和MN分別為地球曲率和折光 MN s2 2R 式中R為光程曲線 PN在N點(diǎn)的曲率半徑。設(shè) K,則 MN 丄.RS2 2R R K稱為大氣垂直折光系數(shù)。 由于A、B兩點(diǎn)之間的水平距離 So與曲率半徑R之比值很?。ó?dāng)So 10km時,s0所 對的圓心角僅 5多一點(diǎn)），故可認(rèn)為 PC近似垂直于 OM，即認(rèn)為PCM 90 ,這樣 PCM可視為直角三角形。則（5-54 ）式中的MC為 MC So tan 1,2 將各項(xiàng)代入（5-54 ）式，貝U A、B兩地面點(diǎn)的高差為 hi,2 so tan 1,2 K 2 2RSo 1 K 2 S0 S0 tan 1,2 2R i1 令式中 竺 C,C 一般稱

4、為球氣差系數(shù)，則上式可寫成 2R 02 S0 tan 1,2 (5-55 ) （5-55 ）式就是單向觀測計(jì)算高差的基本公式。式中垂直 角a ,儀器高i和硯標(biāo)高v,均可由外業(yè)觀測得到。s0為實(shí) 測的水平距離，一般要化為高斯平面上的長度d。 2.距離的歸算 在圖5-36中，Ha、Hb分別為A、B兩點(diǎn)的高程（此 處已忽略了參考橢球面與大地水準(zhǔn)面之間的差距，其平 1 均高程為Hm -（Ha Hb）, mM為平均高程水準(zhǔn)面。由于 2 實(shí)測距離S0 一般不大（工程測量中一般在10km以內(nèi)），所 以可以將S0視為在平均高程水準(zhǔn)面上的距離。 由圖5-36有下列關(guān)系閔 圖 5-36 S0 S R Hm R S

5、0s(1 立) R (5-56 ) 這就是表達(dá)實(shí)測距離 S0與參考橢球面上的距離 S之間的關(guān)系式。 參考橢球面上的距離s和投影在高斯投影平面上的距離 d之間有下列關(guān)系 2 s d（1 禮）（5-57 ） 2R 式中ym為A、B兩點(diǎn)在高斯投影平面上投影點(diǎn)的橫坐標(biāo)的平均值。關(guān)系式（5-57 ）的推 導(dǎo)將在第八章中討論。 將（5-57 ）式代入（5-56 ）式中，并略去微小項(xiàng)后得 H mym S0d（1- 三）（5-58） R 2R 式中 4. 式中 3.用橢球面上的邊長計(jì)算單向觀測高差的公式 將（5-56 ）式代入（5-55 ）式，得 h,2 sta n 1,2（1 Hjm） Cs2ii v R

6、2 Cs項(xiàng)的數(shù)值很小，故未顧及 so與s之間的差異。 用高斯平面上的邊長計(jì)算單向觀測高差的公式 將（5-57 ）式代入（5-59 ）式，舍去微小項(xiàng)后得 h.2 d tan i,2 Cd2 ii V2 d tan d tan i,2 Cd2 ii V2 h (土 R 2 (5-59 ) (5-60 ) h d tan 12。 Hm hi,2 h ( R 2 上、 2 ) 2R (5-6i ) 則（5-60）式為 (5-62 ) 0,2d tan i,2 Cd2ii v2hi,2 （5-6i ）式中的Hm與R相比較是一個微小的數(shù)值，只有在高山地區(qū)當(dāng)Hm甚大而 Hh 高差也較大時，才有必要顧及一m這

7、一項(xiàng)。例如當(dāng)Hm i000m,h i00m時，一m帶這一 Rm，r 項(xiàng)對高差的影響還不到0.02m，一般情況下，這一項(xiàng)可以略去。此外，當(dāng) 2 ym 300km, h i00m時，-這項(xiàng)對高差的影響約為0.11m。如果要求高差計(jì)算正確 2R 2 到0.lm ,貝U只有-ym- h項(xiàng)小于0.04m時才可略去不計(jì)，因此，（5-62 ）式中最后一項(xiàng)h 2 2R2， 只有當(dāng)Hm, h或ym較大時才有必要顧及。 5.對向觀測計(jì)算高差的公式 般要求三角高程測量進(jìn)行對向觀測，也就是在測站 A上向B點(diǎn)觀測垂直角 而在測站B上也向A點(diǎn)觀測垂直角 2,i，按（5-62 ）式有下列兩個計(jì)算高差的式子。 由測站A觀測B

8、點(diǎn) hi,2d tan i,2 ii V2Ci ,2dh ,2 則測站B觀測A點(diǎn) 2 h2,i d tan 2,i i2viC2,idh2,i 式中，ii、V1和i2、V2分別為A、B點(diǎn)的儀器和覘標(biāo)高度；Ci,2和C2,1為由A觀測B和B 觀測A時的球氣差系數(shù)。如果觀測是在同樣情況下進(jìn)行的，特別是在同一時間作對向 觀測，則可以近似地假定折光系數(shù)K值對于對向觀測是相同的，因此Cl,2 C2,1。在上 d tan ( 1,2 2 面兩個式子中,hi,2與h2,i的大小相等而正負(fù)號相反。 1 h1,2(對向)d ta門2(1,2 2,1 ) 1(i1 1 . V1 )(i 2 V2)h1,2 2 （

9、5-63） 式中 h1,2 (Hm (R 2 ym 2 2R )h 從以上兩個式子可得對向觀測計(jì)算高差的基本公式 h 2,1) 6.電磁波測距三角高程測量的高差計(jì)算公式 由于電磁波測距儀的發(fā)展異常迅速，不但其測距精度高，而且使用十分方便，可以 同時測定邊長和垂直角，提高了作業(yè)效率，因此，利用電磁波測距儀作三角高程測量已 相當(dāng)普遍。根據(jù)實(shí)測試驗(yàn)表明，當(dāng)垂直角觀測精度 ma 2.0,邊長在2km范圍內(nèi)，電磁 波測距三角高程測量完全可以替代四等水準(zhǔn)測量，如果縮短邊長或提高垂直角的測定精 度，還可以進(jìn)一步提高測定高差的精度。如ma1,5 ,邊長在3.5km范圍內(nèi)可達(dá)到四 等水準(zhǔn)測量的精度；邊長在1.2

10、km范圍內(nèi)可達(dá)到三等水準(zhǔn)測量的精度。 電磁波測距三角高程測量可按斜距由下列公式計(jì)算高差 D22 h Dsin （1 K） cos i Z（ 5-64） 2R 式中，h為測站與鏡站之間的高差；為垂直角；D為經(jīng)氣象改正后的斜距；K為大氣 折光系數(shù)；i為經(jīng)緯儀水平軸到地面點(diǎn)的高度；Z為反光鏡瞄準(zhǔn)中心到地面點(diǎn)的高度。 5.9.2垂直角的觀測方法 垂直角的觀測方法有中絲法和三絲法兩種。 1. 中絲法 中絲法也稱單絲法，就是以望遠(yuǎn)鏡十字絲的水平中絲照準(zhǔn)目標(biāo)，構(gòu)成一個測回的觀 測程序?yàn)椋?在盤左位置，用水平中絲照準(zhǔn)目標(biāo)一次，如圖5-37（a）所示，使指標(biāo)水準(zhǔn)器氣泡 精密符合，讀取垂直度讀數(shù)，得盤左讀數(shù)L。

11、在盤右位置，按盤左時的方法進(jìn)行照準(zhǔn)和讀數(shù)，得盤右讀數(shù)R。照準(zhǔn)目標(biāo)如圖5-37 （b） 所示。 2. 三絲法 三絲法就是以上、中、下3條水平橫絲依次照準(zhǔn)目標(biāo)。 構(gòu)成一個測回的觀測程序?yàn)? 在盤左位置，按上、中、下3條水平橫絲依次照準(zhǔn)同一目標(biāo)各一次，如圖5-38（a） 所示，使指標(biāo)水準(zhǔn)器氣泡精密符合，分別進(jìn)行垂直度盤讀數(shù)，得盤左讀數(shù)L。 圖 5-38 在盤右位置，再按上、中、下3條水平橫絲依次照準(zhǔn)同一目標(biāo)各一次，如圖5-38 （b）所示，使指標(biāo)水準(zhǔn)器氣泡精密符合分別進(jìn)行垂直度盤讀數(shù)，得盤右讀數(shù)R。 在一個測站上觀測時，一般將觀測方向分成若干組，每組包括24個方向，分別 進(jìn)行觀測，如通視條件不好，也

12、可以分別對每個方向進(jìn)行連續(xù)照準(zhǔn)觀測。 根據(jù)具體情況，在實(shí)際作業(yè)時可靈活采用上述兩種方法，如T3光學(xué)經(jīng)緯儀僅有一 條水平橫絲，在觀測時只能采用中絲法。 按垂直度盤讀數(shù)計(jì)算垂直角和指標(biāo)差的公式列于表5-10。 表 5-10 儀器類型 計(jì)算公式 各測回互差限值 垂直角 指標(biāo)差 垂直角 指標(biāo)差 J1 (T3) L R i (L R) 180 10 10 J2 (T2, 010) 1 -(R L) 180 2 1 i -(L R) 360 2 15 15 5.9.3球氣差系數(shù)C值和大氣折光系數(shù)K值的確定 是隨地區(qū)、氣候、季節(jié)、地面覆蓋物和視線超出地面高度等 大氣垂直折光系數(shù)K 圖 5-39 條件不同而變

13、化的，要精確測定它的 數(shù)值，目前尚不可能。通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)， K值在一天內(nèi)的變化，大致在中午前 后數(shù)值最小，也較穩(wěn)定；日出、日落 時數(shù)值最大，變化也快。因而垂直角 的觀測時間最好在地方時10時至16 時之間，此時K值約在0.080.14之 間，如圖5-39所示。不少單位對K值 進(jìn)行過大量的計(jì)算和統(tǒng)計(jì)工作，例如 某單位根據(jù)16個測區(qū)的資料統(tǒng)計(jì)，得 出 K 0.107。 在實(shí)際作業(yè)中，往往不是直接測定K值，而是設(shè)法確定 C值，因?yàn)镃 匚上。而 2R 平均曲率半徑R對一個小測區(qū)來說是一個常數(shù)，所以確定了C值，K值也就知道了。 由于K值是小于1的數(shù)值，故C值永為正。 下面介紹確定C值的兩種方法。 1. 根

14、據(jù)水準(zhǔn)測量的觀測成果確定C值 在已經(jīng)由水準(zhǔn)測量測得高差的兩點(diǎn)之間觀測垂直角，設(shè)由水準(zhǔn)測量測得的高差為h, 那么，根據(jù)垂直角的觀測值按（5-55 ）式計(jì)算兩點(diǎn)之間的高差，如果所取的C值正確 的話，也應(yīng)該得到相同的高差值，也就是 2 . h So ta n 1,2 Cso ii V2 在實(shí)際計(jì)算時，一般先假定一個近似值Co，代人上式可求得高差的近似值ho，即 2 , ho So ta n 1,2 CoSo h V2 即 h ho （C Co）sf 或 h h C Co F（ 5-65） So 令式中C CoC,則按（5-65 ）式求得的 C值加在近似值Co上，就可以得到正確 的C值。 2. 根據(jù)同

15、時對向觀測的垂直角計(jì)算C值 設(shè)兩點(diǎn)間的正確高差為h ,由同時對向觀測的成果算出的高差分別為h12和h21由于 是同時對向觀測，所以可以認(rèn)為C12 C21 Co,則 2 h h12 Cso 2 hh2,1Cso 由以上兩式可得 (5-66) h1,2 h2,1 C 從而可以按下式求出 C值 2so C CoC 無論用哪一種方法，都不能根據(jù)一兩次測定的結(jié)果確定一個地區(qū)的平均折光系數(shù), 而必須從大量的三角高程測量數(shù)據(jù)中推算出來，然后再取平均值才較為可靠。 5.9.4 三角高程測量的精度 1. 觀測高差中誤差 三角高程測量的精度受垂直角觀測誤差、 儀器高和覘標(biāo)高的量測誤差、 大氣折光誤 差和垂線偏差變

16、化等諸多因素的影響， 而大氣折光和垂線偏差的影響可能隨地區(qū)不同而 有較大的變化，尤其大氣折光的影響與觀測條件密切相關(guān)，如視線超出地面的高度等。 因此不可能從理論上推導(dǎo)出一個普遍適用的計(jì)算公式， 而只能根據(jù)大量實(shí)測資料， 進(jìn)行 統(tǒng)計(jì)分析，才有可能求出一個大體上足以代表三角高程測量平均精度的經(jīng)驗(yàn)公式。 根據(jù)各種不同地理?xiàng)l件的約 20 個測區(qū)的實(shí)測資料，對不同邊長的三角高程測量的 精度統(tǒng)計(jì)，得出下列經(jīng)驗(yàn)公式 M h P s（ 5-67 ） 式中，Mh為對向觀測高差中數(shù)的中誤差；s為邊長，以km為單位；P為每公里的高差 中誤差，以m/km為單位。 根據(jù)資料的統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明，P的數(shù)值在0.0130.022

17、之間變化，平均值為0.018, 一般取 P =0.02 ，因此（ 5-67 ）式為 M h 0.02s（5-68 ） （5-68）式可以作為三角高程測量平均精度與邊長的關(guān)系式。 考慮到三角高程測量的精度， 在不同類型的地區(qū)和不同的觀測條件下，可能有較大 的差異，現(xiàn)在從最不利的觀測條件來考慮，取 P =0.025 作為最不利條件下的系數(shù)，即 M h 0.025s（5-69 ） 公式（5-69 ）說明高差中誤差與邊長成正比例的關(guān)系，對短邊三角高程測量精度較 高，邊長愈長精度愈低，對于平均邊長為8km時，高差中誤差為士 0.20 m；平均邊長為 4.5km 時，高差中誤差約為 0.llm 。可見三角

18、高程測量用短邊傳遞高程較為有利。為了 控制地形測圖，要求高程控制點(diǎn)高程中誤差不超過測圖等高的1/10, 對等高距為 lm 的 測圖，則要求 M h 0.1m。 （5-69 ）式是作為規(guī)定限差的基本公式。 2. 對向觀測高差閉合差的限差 同一條觀測邊上對向觀測高差的絕對值應(yīng)相等，或者說對向觀測高差之和應(yīng)等于 零，但實(shí)際上由于各種誤差的影響不等于零， 而產(chǎn)生所謂對向觀測高差閉合差。 對向觀 測也稱往返測，所以對向觀測高差閉合差也稱為往返測高差閉合差，以W 表示 W h1,2 h2,1（ 5-70 ） 以mw表示閉合差 W的中誤差，以mh表示單向觀測高差h的中誤差，則由（5-70 ）式 2 mW 2mh2 取兩倍中誤差作為限差，則往返測觀測高差閉合差 W艮 2mw2 2mh0（5-71 ） 若以Wh表示對向觀測高差中誤差，則單向觀測高差中誤差可以寫為 m,、2Mh 顧及（5-69 ）式，則上式為 mh,0.025 2s 再將上式代入（5-71 ）式得 W限