山東省師范大學附屬中學高三數(shù)學第四次模擬試卷理(含解析)

1、山東師范大學附屬中學2019屆高三第四次模擬數(shù)學（理）試題一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分）1. 已知集合 - I J：.：,貝則“定一：A.- 門B. d）C. D. （ - :i. - I1 I【答案】A【解析】【分析】由A與B,求出兩集合的交集即可.【詳解】集合m：；,心+2；卜:Z + 宀）,，則I故選：A.【點睛】此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵.2. 設(shè)復數(shù)/- . 是虛數(shù)單位，則1 - z12. 1 2. 1 2.A.B.C.D.1厶【答案】B【解析】【分析】1 + Z把，代入，再由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案.【詳解】 I ,1-1 z 1

2、 - 1 + iii（2 I i）12.故選：B.【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，是基礎(chǔ)題.3. 命題 ：，._的否定是A.三：，止一 H 1B. 1C.三二三：；：，J 一1D.八 1 k , 1【分析】 根據(jù)全稱命題的否定為特稱命題，即可得到答案【詳解】全稱命題的否定為特稱命題，命題八 f -； - -I的否定是1:三：，.： -故選：C.【點睛】本題考查了命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.4. 在等差數(shù)列，：中則數(shù)列，：的前11項和I. 一()A. 8B.16C. 22D. 44【答案】C【解析】【分析】 / Tr+ n Jxt本道題利用 1 ,得到,再利用、,計算結(jié)果，即可得出答案【詳解

3、】利用等差數(shù)列滿足- -,代入. I.,得到+ 5.f-.T. + ； !,解得-_ -(a + 1)1 1,、,.,故選C.【點睛】本道題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，利用好- - L F和、.,即可得出n2答案5. 在 ：中，九上，I , AD為BC邊上的高，0為AD的中點，若則入+(1 1 2A. 1B.C.D.【答案】D【解析】【分析】1r通過解直角三角形得到丨；，利用向量的三角形法則及向量共線的充要條件表示出，利用向量共線的充要條件表示出，根據(jù)平面向量就不定理求出，-值.【詳解】在 I中，丨,.r I又:所以|;|T1 丄_L AD AB BD AB BC:為AD的中點* - = 1 - ,

4、 1 *A0 - AU _ AB 百甌V =A * + 廠AO AB BC1 I：入=鬪=石2A A + |1 =故選：D.【點睛】本題考查解三角形、向量的三角形法則、向量共線的充要條件、平面向量的基本定理.6. 如圖，一個四棱錐的底面為正方形，其三視圖如圖所示，則這個四棱錐的體積為（）【答案】C【解析】正住戒圖側(cè)蛙戒圖A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】由三視圖可知高為-,., i -：，應(yīng)選B7. 設(shè)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當，時，則：: | IA. 2B. 1C. :D.【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得；的值，結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得：!:的值，則有II： .I I： .

5、I：. .，結(jié)合函數(shù)的解析式計算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，當.，時叮一*廿；，則又由函數(shù)為奇函數(shù)，則:I ,：I I -I-1,故選：C.【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與函數(shù)值的計算，關(guān)鍵掌握函數(shù)奇偶性的定義，屬于基礎(chǔ)題.8. 定義運算：善；k厲一旳勺，將函數(shù)倫）=|半漂囂陰）的圖象向左平移孕個單位，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，貝U的最小值是（）1573A. B. C. D.【答案】B【解析】函數(shù)=屮:誥=低曲必一哥n=伽瑋恥+舟）（a0）,（工）的圖象向左平移y 個單位，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為 一廠胡.；.一.：| 門：，-；又函數(shù)為偶函數(shù),：:二“二解得i -三；當：時，.取得最小值是， 故

6、選B.9. 已知三棱錐 4汀:的底面是以為斜邊的等腰直角三角形，且:-,則該三棱錐的外接球的表面積為a4-J3416A.B. -:、C.D.；七【答案】D【解析】分析：說明S在底面上的射影是 AB的中點，也是底面外接圓的圓心，求出球的半徑，即可求出外接球的表面積.詳解：由題意，點 S在底面上的射影 D是AB的中點，是三角形 ABC的外心，B令球心為O如圖在直角三角形 ODC中，由于 AD=1, SD= l=.,則（.-R） 2+12=R2,解得R=，貝U S球=4 n R2=故選：A.點睛：設(shè)幾何體底面外接圓半徑為,常見的圖形有正三角形，直角三角形，矩形，它們的外心可用其幾何性質(zhì)求；而其它不規(guī)

7、則圖形的外心，可利用正弦定理來求若長方體長寬高分別為 則其體對角線長為長方體的外接球球心是其體對角線中點找?guī)缀误w外接球球心的一般方法：過幾何體各個面的外心分別做這個面的垂線，交點即為球心.三棱錐三條側(cè)棱兩兩垂直，且棱長分別為 ，則其外接球半徑公式為：: 0) 上一點，由定義易得|PF| = xo+ ;若過焦點的 弦AB的端點坐標為 A (xi, yi) , B( X2, y2),則弦長為|AB| = Xi + X2+ p, xi + X2可由根與系 數(shù)的關(guān)系整體求出；若遇到其他標準方程，則焦半徑或焦點弦長公式可由數(shù)形結(jié)合的方法類 似地得到.12. 已知直線-/ - .: -與圓 交于不同的兩點

8、 A, B, O是坐標原點，且有:;-八 那么k的取值范圍是A. ：,. IB. |:.2. :C.D.【答案】B.2-. :【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)圓心到直線-.：匚的距離為d ；由直線與圓相交的性質(zhì)可得-4=L- .-： ：.,則有一.；設(shè) 與，的夾角即二旳1，由數(shù)量積的計算公式可得:八，變形可得，則，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系分析可得；-I，解可得:，綜合可得答案.【詳解】根據(jù)題意，圓-的圓心為，半徑：，設(shè)圓心到直線-； .； 一 E-的距離為d;若直線. 式藥 + zjy T) = 12 ,當且僅當,：_ ； 時取等號，故!汽匕的最小值是12,故答案為：12【點睛】本題考查了基本不等式

9、及其應(yīng)用屬基礎(chǔ)題.16. 已知雙曲線C：二右支上非頂點的一點 A關(guān)于原點0的對稱點為B, F2 b為其右焦點，若F丄FR,設(shè)zABr = O,且0E (占，則雙曲線C離心率的取值范圍是 .【答案】.:【解析】【分析】設(shè)雙曲線的左焦點為.，連接 , ., , - II,可得四邊形為矩形，運用勾股定理和雙曲線的定義，結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性，計算可得所求范圍.【詳解】解：設(shè)雙曲線的左焦點為 ，連接 ，.,-、-11止，可得四邊形r為矩形，設(shè)崩II】，即有卩:孑|=|總.;=;且 I I r - 丨.，： I I -,m2 c2 4cshi2 4- j?112 .21 m nm t ein m由，可得：

10、.I - I . - I :,1則即有二，6 ! “故答案為：乂二: 【點睛】本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查離心率的范圍，注意運用勾股定理和對勾函數(shù)的單調(diào)性，考查運算能力，屬于中檔題.三、解答題（本大題共 7小題，共82.0分）17. 已知. . F ;:，設(shè)；：=口 .（1）求：的解析式及單調(diào)遞增區(qū)間；（2） 在宀中，角所對的邊分別為 ，且 -，求的面積.【答案】答案見解析；（2）.【解析】試題分析：（1）利用數(shù)量積的坐標運算可以得到；.I. , .，再逆用二倍角1nn jt八-.:-，最后令- /解出的范圍即為的單調(diào)遞增區(qū)間.（2）根據(jù):可以得到.：，再用余弦定理求出:， 故面積為

11、.解析：()因為. I. .I . -1 ，令-:解得所以：的單調(diào)遞增區(qū)間 為一洛+血兀咗+ /c?r(k E Z).tf1j1 ，應(yīng) /Ji 13?i(2)由；、可得、i,【，又所以，,.，解得.：.由余弦定理可知! c ：“一小：. .：宀，所以 i I：、，故 fl，所以1-J3:_ 嚴_ :.18. 數(shù)列二：的前項和為，已知成等比數(shù)列.(1 )求數(shù)列：的通項公式；(2)若數(shù)列：匚滿足 ：，求數(shù)列：二的前項和；.TE【答案】 汎=2n-1; (2) Tn=6+(2n-3) x.【解析】試題分析：(1)因為二 -匯亠:I亠匸，變形后為, - 一.一 -也即是 .廠所以二：是一個等差數(shù)列且公

12、差為2,再利用 :成等比數(shù)列可以得到匚- 1 ,所以:-:的通項為一沖一.(2)計算可得-: 二，它是等差數(shù)列和等比數(shù)列的乘積，用錯位相減法求其前項和.解析：(1)因為- ,所以S I i 一 J 廠兒一心-I,故數(shù)列是公差為 的等差數(shù)列；又 JW，成等比數(shù)列，所以- 1 -：-，解得門一 ，故口崔=1 + 2(n 1) = 27i- l(n e JV *).(2)由(1)可得：_ ： I -；.:，故.：；：”I 二二 二_.：_-_ : _ ,又_： _ - : J.- :_, 由錯位相減法得：一 ；-I -馳-2)卄1=2 + 2 x 1-2-(2n-l) -2_ - _:一.二-:J

13、-_,整理得：；_- :.19. 四邊形、，是菱形， 是矩形,I ll |/_- Tihi/;:-于一，- -是的中點B（I ）證明：工 襯工：（II ）求二面角三腫-打的余弦值【答案】（I ）略；（II）【解析】試題分析：（I）利用中點的性質(zhì)進行分析即可；（II ）以為原點，；所在直線為x軸，所在直線為Y軸，所在直線為Z軸建立空間直角坐標系，通過向量有關(guān)知識進行計算即可試題解析：（I ）證法一：設(shè)1 ;1 / -的中點為：，因為是：的中點，GH/EF（/ACtGH = AC = OC OCGH是平行四邊形 CG/OHCGiBDF,O!I c:半血FDFGG打平BDF證法二：因為是的中點，Il

14、liI2?6 = CB + CE =+ AF = DT :* CG/DF(II )設(shè)；的中點為、：，；：宀是矩形， ，千仁亠二_二亙，刁二二 d四邊形 ABCD 是菱形，E-HFB以為原點，討所在直線為x軸，所在直線為Y軸，二所在直線為Z軸 建立空間直角坐標系，鞏譏0)期0,點0)0他()上他屁)鞏700)麗二 I2Q0)：麗二|-1 廠 714 厲=(0廠2#0|平面的法向量為；. ;；：；，平面的法向量為- I .I . . I設(shè)二面角- J的大小為/考點：空間向量在立體幾何中的應(yīng)用【方法點睛】利用法向量求二面角時應(yīng)注意(1) 對于某些平面的法向量要注意題中隱含著，不用單獨求.(2) 注意

15、判斷二面角的平面角是銳角還是鈍角，可結(jié)合圖形進行，以防結(jié)論失誤.20. 如圖，設(shè)橢圓 ：廠_ u.、：i.i ,長軸的右端點與拋物線：丁的焦點 重a b合，且橢圓的離心率是(I)求橢圓 的標準方程；(n)過作直線交拋物線于二，兩點，過 且與直線垂直的直線交橢圓于另一點；，求面積的最小值，以及取到最小值時直線的方程.【答案】(I) . _ |；(n)】面積的最小值為9,.；二【解析】試題分析：(I)由已知求出拋物線的焦點坐標即得橢圓中的,再由離心率可求得，從而得值，得標準方程;-，設(shè)(n)本題考查圓錐曲線中的三角形面積問題，解題方法是設(shè)直線方程為，把直線方程代入拋物線方程，化為 y的一元二次方程

16、，由韋達定理得：| -，由弦長公式得|，同樣過：與直線垂直的直線方程為，一一*： ，同樣代入橢圓方程，禾U用韋達定理得；：】卜“心心，其中，是 點的橫坐標，于是可得一，這樣就可用.表示出的面積，* 一，接著可設(shè)，-;,用換元法把4m + I表示為的函數(shù)，利用導數(shù)的知識可求得最大值.試題解析：2 2(I)：橢圓：-， ：，長軸的右端點與拋物線：，.-：的焦點：重合,a b-,又橢圓 的離心率是-一 I ,橢圓 的標準方程為 . _ I (n)過點的直線的方程設(shè)為 n ，設(shè)圧九迸二，,、 x = my + 2,7聯(lián)立 _ ；, 得:-：；：- :!:- - :： H - I- A I-7 或Ov

17、kv時，k=h (x)有且只有一個根；(川)設(shè),因為在0 , 2 單調(diào)遞增，故原不等式等價于 |f (xi) -f (X2)| v g ( X2) -g (xi)在xi、X2 0 , 2，且xi vX2恒成立，當a -(ex+2x)恒成立時，a-1 ;當ae x-2x恒成立時，a 上, .-TJr V 十 1(2)當：上一-.時，關(guān)于，的方程為1I - 有且僅有一個實根，則一【有且僅/一工( 1(2x-l)e(xJx +lie1x +(x- l)Cx-2)有一個實根，設(shè)，則一-13因此：在-丨和上單調(diào)遞減，在|：上單調(diào)遞增，I 宀,如圖所e13示，實數(shù)的取值范圍是11 -(3) 不妨設(shè)則 /

18、:； ： . ： | : :-:- |-恒成立.,IXXXX因此1.恒成立，即 I - -:，恒成立,且.恒成立，因此 .和均在二斜上單調(diào)遞增，設(shè)；一，； 一 .， ， Y I T | 一，:; - -1 ,則 - _ .在上：r|上恒成立，因此一 ，.在：亠|上恒成立因此- 1,而-/-仝在戶上單調(diào)遞減,因此;時，：】，.由在f上恒成立,因此_./一,：在I：二上恒成立,因此: -?-： ,設(shè).I _ ,則.一 .當號$時， I ,因此.：在；I內(nèi)單調(diào)遞減，在I 內(nèi)單調(diào)遞增,因此d ,：一”L 二一 一= i：二- -.綜上述I .考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；根的存在性及根的個數(shù)判斷；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性22. 已知曲線C的極坐標方程是 p = 2,以極點為原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐(x = 1 + t標系,直線l的參數(shù)方程為:.:(t為參數(shù)).(1)寫出直線I的普通方程與曲線 C的直角坐標方程；Fix=x, 設(shè)曲線C經(jīng)過伸縮變換：.得到曲線,設(shè)Mx,y)為；上任意一點,求-占心十的最小值，并求相應(yīng)的點 M的坐標【答案】(1)-;( 2)當M為L 或時原式取得 最小值1.【解析】i x = 1 +