北京市通州區(qū)2020屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題Word版含解析

1、通州區(qū)2019- 2020學(xué)年第一學(xué)期高三年級期末考試數(shù)學(xué)試卷第一部分（選擇題共40分）一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個選項(xiàng)中，只 有一項(xiàng)是符合題目要求的.1已知集合 A x2x1,B x1x3,則 AUB （）A. x 2 x 3B. x 1 x 1C. x 1 x 3D.x 2 x 1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)并集運(yùn)算法則求解即可.【詳解】由題：集合 A x 2 X 1 , B x 1 x 3 ,則 AU B x 2 x 3 .故選：A【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)描述法表示的集合，并求兩個集合的并集1 i2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（其中i是虛數(shù)單位）對應(yīng)的點(diǎn)位于（

2、）iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】A【解析】【分析】化簡復(fù)數(shù)，得出其在復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)，即可判定位置【詳解】由題：復(fù)數(shù)1 i i1 1 i，i i1在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為1,1 ，位于第一象限.故選：A【點(diǎn)睛】此題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算和復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的辨析，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確計算，熟 練掌握幾何意義3.已知點(diǎn)A( 2, a)為拋物線y 4x圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，則AF等于()A. 4B. 3D. 2【答案】B【解析】【分析】寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離公式即可求解【詳解】由題：點(diǎn) A(2,a)為拋物線y24x圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，所以F 1,0，

3、InIny ,所以D正確.【詳解】由題:y 0 ,根據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì)3?y ,tanX tany，所以B錯;若Xy0 ,根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)（2）x（2）y所以C錯；若Xy0 ,根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)In XIn y ,所以D正確故選：D【點(diǎn)睛】此題考查不等式的基本性質(zhì)，結(jié)合不等關(guān)系和函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行判斷，也可考慮特值 法推翻命題.5.某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐最長棱的長度為 （）止視團(tuán)側(cè)視圖冊視圖A. 2、7B. 4 2C. 2.11D. 4、3【答案】C【解析】【分析】 根據(jù)三視圖還原幾何體，即可求解【詳解】根據(jù)三視圖還原幾何體如圖所示：其中AB AC , PC 平面ABC ,由圖可得：CP

4、 AC 4, AB 2,3 ,所以 BC 2、,7, AP 4、2 2：J，BP . PC2 BC2.44 2.11 4 2，所以最長的棱長2,11.故選：C【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)三視圖還原幾何體，計算幾何體中的棱長，關(guān)鍵在于正確認(rèn)識三視圖，準(zhǔn)確還原6甲？乙?丙?丁四名同學(xué)和一名老師站成一排合影留念若老師站在正中間，甲同學(xué)不與老師相鄰,乙同學(xué)與老師相鄰，則不同站法種數(shù)為（）A. 24B. 12C. 8D. 6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)特殊元素優(yōu)先考慮原則，先排乙，再排甲，結(jié)合左右對稱原則求解【詳解】由題：老師站中間，第一步：排乙，乙與老師相鄰，2種排法；第二步：排甲，此時甲有兩個位置可以站，

5、2種排法；第三步：排剩下兩位同學(xué)，2種排法，所以共8種.故選：C【點(diǎn)睛】此題考查計數(shù)原理，關(guān)鍵在于弄清計數(shù)方法，根據(jù)分步和分類計數(shù)原理解決實(shí)際問7對于向量a , b ,”是“0 ”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則:rr raa b”不能推出“0”能夠推出rr rraa b”是“b0”的必要不充分條件rr raa barrrrrr【詳解】當(dāng)b2a0時，滿足aabrrrrrrr若b0，則aba ,所以aab5所以“,不能推出故選：B【點(diǎn)睛】此題考查充分條件與必要條件的關(guān)系判斷，關(guān)鍵在于弄清向量間的關(guān)系，正確辨

6、析 即可2X 18關(guān)于函數(shù)f （x） X ax 1 e有以下三個判斷 函數(shù)恒有兩個零點(diǎn)且兩個零點(diǎn)之積為-1 ； 函數(shù)恒有兩個極值點(diǎn)且兩個極值點(diǎn)之積為-1 ； 若X2是函數(shù)的一個極值點(diǎn)，則函數(shù)極小值為-1.其中正確判斷的個數(shù)有（）A. 0個B. 1個C. 2個D. 3個【答案】C【解析】【分析】函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)即 X2 ax 1 0的根的個數(shù)，利用判別式求解；對函數(shù)求導(dǎo)討論導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)問題即可得極值關(guān)系【詳解】因?yàn)閑x1 0 ,方程X2 ax 1 0， =a2 4 0，所以關(guān)于X的方程x2 ax 1 0一定有兩個實(shí)根，且兩根之積為 -1,所以f () (X ax 1)ex恒有兩個零點(diǎn)且兩個零點(diǎn)之

7、積為-1,即正確；f x x2 a 2 x a 1 ex 1 ， ex 1 0 ，對于 x2 a 2 x a 1 0，2 2 2a 24 a 1 a2 8 0 ,所以 x a 2 x a 1 0 恒有兩個不等實(shí)根, 且導(dǎo)函數(shù)在這兩個實(shí)根附近左右異號,兩根之積為 a 1,函數(shù)恒有兩個極值點(diǎn)且兩個極值點(diǎn)之積 為a 1 ,所以錯誤；若 x 2是函數(shù)的一個極值點(diǎn) , f 2 4 2a 4 a 1 0,則 a 1,2x1f x x x 1 e ,2x1x1f x x x 2 e x 2 x 1 e ,x , 2 U 1, , f x 0, x 2,1 ,f x 0,所以函數(shù)的增區(qū)間為2 , 1, ,減區(qū)

8、間為 2,1 ,所以函數(shù)的極小值為11 ,所以正確故選：C【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)零點(diǎn)問題,利用導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)論單調(diào)性和極值問題,綜合性比較強(qiáng)第二部分(非選擇題 共110分)二?填空題:本大題共 6小題,每小題 5分,共30分.a若m19.已知向量 a【答案】 5【解析】【分析】根據(jù)向量垂直,數(shù)量積為 0 列方程求解即可詳解】由題：a (a b),所以 a (a b)20，a a b 0所以 9 43 2m 0 ，解得： m 5.故答案為： 5【點(diǎn)睛】此題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，根據(jù)兩個向量垂直， 數(shù)量積為O建立方程計算求解10.在公差不為零的等差數(shù)列 an中，a=2,且a1,a3, a7依次成等比數(shù)

9、列,那么數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn等于.1 3【答案】n2n2 2【解析】【分析】根據(jù)a,a3,a7依次成等比數(shù)列，求出公差，即可求解.【詳解】在公差不為零的等差數(shù)列an中,a=2,設(shè)公差為d,d Ort2且a, a3, a7依次成等比數(shù)列，即2 2d 2 2 6d ，d2 d O，d 0,所以 d 1，n n 113所以數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn 2n1- n2- n.2 22故答案為：1 n23 n2 2【點(diǎn)睛】此題考查等差數(shù)列基本量的計算，根據(jù)等比中項(xiàng)的關(guān)系列出方程解出公差，根據(jù)公式進(jìn)行數(shù)列求和.11.已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為C-2, 0),且兩條漸近線互相垂直，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

10、為.【答案】2 y21【解析】【分析】根據(jù)兩條漸近線互相垂直得出漸近線方程，即求出b的值，結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)即可求解 .a2 2【詳解】由題雙曲線焦點(diǎn)在X軸，設(shè)雙曲線方程 篤每 1, a 0,b 0，a b 兩條漸近線互相垂直，即1 ,得a b，a a又因?yàn)橛医裹c(diǎn)坐標(biāo)為 (2, 0),所以a2 b22，解得a b 1 ,所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：X2 y2 1.故答案為：2 y21【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)漸近線的關(guān)系結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)求雙曲線的基本量，進(jìn)而得出雙曲線的標(biāo) 準(zhǔn)方程，考查通式通法和基本計算12在 ABC 中,a 3, b 2.6, B 2 A,則 COSB .1【答案】-3【解析】【分析】根據(jù)正弦定

11、理建立等量關(guān)系求解即可【詳解】在 ABC中,由正弦定理得：- SnE，a Sin A2 .6 sin 2A3 Sin A2、. 6 2sin AcosA C A2cos A3 Sin A所以cos A 32 6 1cosB cos2A 2cos A 121.931故答案為：-3【點(diǎn)睛】此題考查正弦定理的應(yīng)用，結(jié)合三角恒等變換二倍角公式，求三角函數(shù)值，關(guān)鍵在 于準(zhǔn)確掌握基本計算方法正確求解13.已知a,b,a m均為大于0的實(shí)數(shù)，給出下列五個論,余下的論斷:a b,a b,m 0,m 0,-m -.以其中的兩個論斷為條件a m a斷中選擇一個為結(jié)論，請你寫出一個正確的命題 .【答案】推出（答案不

12、唯一還可以推出等）【解析】【分析】 選擇兩個條件根據(jù)不等式性質(zhì)推出第三個條件即可，答案不唯一【詳解】已知a,b,a m均為大于O的實(shí)數(shù)，選擇推出.a b ,m O ,b m b ab am ab bm am bm a b m則O,a m aa a ma a m a a mb m b所以a m a故答案為：推出【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)不等式的性質(zhì)比較大小，在已知條件中選擇兩個條件推出第三個條件，屬于開放性試題，對思維能力要求比較高14.如圖，某城市中心花園的邊界是圓心為O,直徑為1千米的圓，花園一側(cè)有一條直線型公路 I,花園中間有一條公路 AB（AB是圓O的直徑）,規(guī)劃在公路I上選兩個點(diǎn)P,Q,并修

13、建兩段直線型 道路PB, QA.規(guī)劃要求：道路PB, QA不穿過花園.已知OC I , BD l（ C?D為垂足）,測得 OC=0.9, BD=1.2（單位:千米）.已知修建道路費(fèi)用為 m元/千米.在規(guī)劃要求下，修建道路總費(fèi) 用的最小值為元.【答案】2.1m【解析】【分析】根據(jù)幾何關(guān)系考慮道路不穿過花園，求解最小距離，即可得到最小費(fèi)用尸D2C C【詳解】 L.Bi-*i* I J；* - 一 K如圖：過點(diǎn) B作直線BP AB交I于P ,取BD與圓的交點(diǎn) M，連接 MA, MB ,貝U MA MB , 過點(diǎn)A作直線AQ AB交I于Q ,過點(diǎn)A作直線AC I交I于C ,根據(jù)圖象關(guān)系可得，直線上，點(diǎn)

14、P左側(cè)的點(diǎn)與B連成線段不經(jīng)過圓內(nèi)部,點(diǎn)Q右側(cè)的點(diǎn)與A連成的線段不經(jīng)過圓的內(nèi)部，最短距離之和即 PB AC，3 根據(jù)幾何關(guān)系： PBD BAM QAC，Sin BAM -，5所以 GQS PBD GQS BAMGQS QAC45，所以BP1.5，BDAC2OC ,所以AC0.6，最小距離為2.1千米.修建道路總費(fèi)用的最小值為2.1m元故答案為：2.1m【點(diǎn)睛】此題考查與圓相關(guān)的幾何性質(zhì)，根據(jù)幾何性質(zhì)解決實(shí)際問題，需要注意合理地將實(shí) 際問題抽象成純幾何問題求解 .三?解答題：本大題共6小題,共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程15.已知函數(shù)f(X)2cos(x )Sin X .(1)求

15、f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在區(qū)間0,才上的最大值和最小值【答案】(1)；(2)最小值0;最大值-32【解析】【分析】(1)對函數(shù)進(jìn)行三角恒等變換得即可得最小正周期;2 整體考慮2X 3孑的取值范圍，求出最大值和最小值【詳解】解：1f (x) 2cos(x 3)SinX 2(空COSX品i in 2X)Sin X1Sin 2x23(1 cos2x) sin(2x )23(1) f(x)最小正周期T=；2(2)因?yàn)閄0,所以 2x所以當(dāng)23,即X當(dāng)2x 3f(0)0 ；0時,f()取得最小值1 ,2所以f(x)在區(qū)間0,【點(diǎn)睛】此題考查利刃區(qū)間上的值域，關(guān)鍵在于利用公式準(zhǔn)確16為了解某

16、地區(qū)初中交學(xué)生的體質(zhì)健康數(shù)據(jù)，按總分評定等級為優(yōu)秀，表2,即X過40 %的學(xué)校為先進(jìn)校.各1 .512(X)取得最大值f上的最小值角恒等變換對的體質(zhì)健康情子,及格,不求最小正周期,統(tǒng)計了該.良好及其以上的比例之和比例學(xué)校等級學(xué)校A學(xué)校B學(xué)校C學(xué)校D學(xué)校F學(xué)校G學(xué)校H學(xué)校E優(yōu)秀8%3%2%9%1%22%2%3%良好37%50%23%30%45%46%37%35%及格22%30%33%26%22%17%23%38%不及格33%17%42%35%32%15%38%24%等級學(xué)生人數(shù)占該校學(xué)(1)從8所學(xué)校中隨機(jī)選出一所學(xué)校 ，求該校為先進(jìn)校的概率;(2) 從8所學(xué)校中隨機(jī)選出兩所學(xué)校，記這兩所學(xué)校中

17、不及格比例低于30%勺學(xué)校個數(shù)為X,求X的分布列；(3) 設(shè)8所學(xué)校優(yōu)秀比例的方差為 Si2,良好及其以下比例之和的方差為S22,比較Si2與S22的大小.(只寫出結(jié)果)1【答案】(1)； (2)見解析；(3) S2=S222【解析】【分析】(1) 統(tǒng)計出健康測試成績達(dá)到良好及其以上的學(xué)校個數(shù)，即可得到先進(jìn)校的概率；(2) 根據(jù)表格可得：學(xué)生不及格率低于30%勺學(xué)校有學(xué)校B?F?H三所，所以X的取值為0, 1,2, 分別計算出概率即可得到分布列；(3) 考慮優(yōu)秀的比例為隨機(jī)變量Y,則良好及以下的比例之和為Z=1-Y,根據(jù)方差關(guān)系可得兩個方差相等【詳解】解：(1)8所學(xué)校中有 ABEF四所學(xué)校學(xué)

18、生的體質(zhì)健康測試成績達(dá)到良好及其以上的比例超過40% ,1所以從8所學(xué)校中隨機(jī)取出一所學(xué)校，該校為先進(jìn)校的概率為 1 ；28所學(xué)校中，學(xué)生不及格率低于 30%勺學(xué)校有學(xué)校B?F?H三所，所以X的取值為0, 1, 2.P(X0)P(X1)P(X2)C525Cf14c；c315C8228C33Cf28所以隨機(jī)變量X的分布列為:X0125153P142828(3)設(shè)優(yōu)秀的比例為隨機(jī)變量Y,則良好及以下的比例之和為Z=1-Y,所以：Si2=S22【點(diǎn)睛】此題考查簡單幾何概率模型求概率，求分布列，以及方差關(guān)系的辨析，關(guān)鍵在于熟練掌握分布列的求法和方差關(guān)系17如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為直

19、角梯形，AD/ BC, SAD1.(1)求證:AB 平面SAD;(2)求平面SCD與平面(3)點(diǎn)E, F分別為線段【答案】(1)見解析;【解析】分析】(1)通過證明ABSAB所成的EF的體積.BC, SB 上的/平面SCD)1D得線面垂直;SA, AB(2)匹；13面棱錐= DAB =90 , SA=3, SB=5, AB 4, BC 2, AD(2)結(jié)合第一問結(jié)論，建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個平面的法向量，即可得二面角的余弦值;(3)根據(jù)面面平行關(guān)系得出點(diǎn)F的位置，即可得到體積所以AB SA.因?yàn)镾AI AD【詳解】(1)證明A 3,AB 4,SB 5,又因?yàn)?DAB =90所以AB AD

20、,所以AB 平面(2)解：因?yàn)镾AA, AB AD，建立如圖直角坐標(biāo)系則 A(0,0, 0) B(O,4, O),所以有C(2,4,0), D(1, O, O), S( O, O, 3).平面SAB的法向量為 AD (1,O,O).設(shè)平面SDC的法向量為m (X) y, Z)r UiiV mCD O r Uiy m SD O即 X 4y Ox 3z Or11所以平面SDC的法向量為 m (1,)4 3r UUU所以CoSmgSD 12禍?zhǔn)?3)因?yàn)槠矫鍭EF/平面SCD,平面 AEF I平面 ABCD=AE,平面SCDI平面 ABCD=CD,所以AE PCD ,平面AEF I平面SBC=EF,

21、平面SCDI平面SBC=SC,所以FE Il SC由 AE P CD , AD/ BC得四邊形AEDC為平行四邊形所以E為BC中點(diǎn).又 FE H SC,所以F為SB中點(diǎn).3所以F到平面ABE的距離為一，2 ABE的面積為2,所以VB AEFVF ABE1【點(diǎn)睛】此題考查立體幾何中的線面垂直的證明和求二面角的大小，根據(jù)面面平行的性質(zhì)確 定點(diǎn)的位置求錐體體積2 218.已知橢圓C:篤爲(wèi)a b1 （a0)的長軸長為4,離心率為點(diǎn)P在橢圓C上.(1) 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 已知點(diǎn)M (4, 0),點(diǎn)N(0, n),若以PM為直徑的圓恰好經(jīng)過線段PN的中點(diǎn)，求n的取值范圍2 2【答案】(I)-1

22、； ( 2)2.5 n 2.54 2【解析】【分析】(1) 根據(jù)長軸長和離心率求出標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 取PN的中點(diǎn)為Q,以PM為直徑的圓恰好經(jīng)過線段PN的中點(diǎn)，所以 MQ丄NP,根據(jù)垂直關(guān)系建立等量關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)P的坐標(biāo)取值范圍，即可得解【詳解】解:(1)由橢圓的長軸長 2a=4,得a=2又離心率e C 遼，所以G Qa 2所以b22 2 a G 2.22所以橢圓C的方程為：H 1422 2法一：設(shè)點(diǎn)P(0, y。)，則況止14 2所以PN的中點(diǎn)Q（生，上）2 2UUUV XCVCn UuyMQ （寸 4,1）, NP （Xo，Vo n），因?yàn)橐訮M為直徑的圓恰好經(jīng)過線段 PN的中點(diǎn)IUIiy U

23、ay所以MQ丄NP,則MQNP 0 ,即(x0 4)xo (y0 n)(yo n) 0, 2 22 2 2又因?yàn)?所以型8xo 2 n20,4 222所以 n2 冬 8xo 2,Xo 2,2,22函數(shù) f(x0) x 8x0 2 ,x0 2,2的值域?yàn)?2,20 2所以0 n220所以 2-、5 n 252 2法二：設(shè)點(diǎn)P(X0 , y。)，則旦旦1.42設(shè)PN的中點(diǎn)為Q因?yàn)橐訮M為直徑的圓恰好經(jīng)過線段PN的中點(diǎn)所以MQ是線段PN的垂直平分線，所以MP MN即,(x0 4)2 y。216 n22所以 n28x0 2 ,22函數(shù) f(x) d 8X0 2 ,x0 2,2的值域?yàn)?2,202所以0

24、 n220,所以 2 .5 n 2,5【點(diǎn)睛】此題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)垂直關(guān)系建立等量關(guān)系，結(jié)合橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出取值范圍19.已知函數(shù) f (x) XSinX cosx.(1)求曲線y f (x)在點(diǎn)(0, f (0)處的切線方程;1(2)求函數(shù)g() f()丄2零點(diǎn)的個數(shù).4【答案】(1) y 1； (2)零點(diǎn)的個數(shù)為2.【解析】【分析】(1) 求出導(dǎo)函數(shù)，得出f (O)0 ,f(0)1即可得到切線方程；1 2(2) 根據(jù)g() f() X為偶函數(shù)，只需討論在 X (0,)的零點(diǎn)個數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)分析4單調(diào)性即可討論【詳解】解：(1)因?yàn)閒(X)XCOSX,所以f (0)0，又因

25、為f(0)1，所以曲線y f ()在點(diǎn)(0，f(0)處的切線方程為y 1 ；1 2因?yàn)間() f() X為偶函數(shù),g(O)14所以要求g()在X R上零點(diǎn)個數(shù)，只需求g()在X (0,)上零點(diǎn)個數(shù)即可g () cos X (cosX), X 02 25令 g (X)0,得 X 2k -, X 2k - ，k N33所以g()在(0,)單調(diào)遞增，在(一,乞)單調(diào)遞減，在(,)單調(diào)遞增，3 3 333在(2k-,2k)單調(diào)遞減，在(2k-,2k-)單調(diào)遞增k N3333列表得:X0(0,)33(T，5F)-K3(3，3)73711(O，)33113g()0+0-0+0-0g()1/極大值極小值/極大值極小值由上表可以看出g(x)在X 2k -(kN )處取得極大值,在X 2k5 ( k N)處取得極小值,g(S)-g(5T)16 25.3636120；25 2360.當(dāng)k N*且k3 1時31g(2k-) (2k-)33 22-(2k43)2-(2k41(或 g(x) X 1 1X2, g(2k4-)(2k3E)11 -(2k4所以g(x)在X (0,)上只有-個零點(diǎn)1函數(shù)g(x) f (x)X2(X R)零點(diǎn)的個數(shù)為2.2S) O)【點(diǎn)睛】此題考查求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程，求函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)，根據(jù)奇偶性分類討論,結(jié)合單調(diào)