三角形中的最值問題

1、第42課三角形中的最值問題考占提要P八、J人匚二1掌握三角形的概念與基本性質(zhì).2能運(yùn)用正弦定理、余弦定理建立目標(biāo)函數(shù)，解決三角形中的最值問題.基礎(chǔ)自測(cè)1. (1 ) ABC 中，cosA f 打- 3sinA，則 A 的值為 30。或 90；TTB +C3(2) ABC中，當(dāng)A=時(shí)，cos A 2 cos取得最大值_ 2 2_2_12. 在 ABC 中，sin A: sin B:sinC =m: (m 1): 2m，則 m 的取值范圍是 _m _.-2-解 由 si nA: si n B : si n C = a : b : c = m : (m 1): 2m ,1 令 a 二 mk,b =

2、(m 1)k,c 二 2mk，由 a b c,a c b，得 m23 .銳角三角形 ABC中，若A=2B，貝U B的取值范圍是30ov B V 45o .4. 設(shè)R, r分別為直角三角形的外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑，則的最大值為2 - 1 .R25. 在 ABC中，內(nèi)角A , B, C所對(duì)邊的邊長分別是 a,b,c，若b =3ac，則B的取值范圍是0旦w 120 .6. 在 ABC中，若AB，則下列不等式中，正確的為. sin AsinB ； cos Asin2B ； cos2AB ：= ab ：= 2RsinA2RsinB：= sinAsin B，故正確；jincosAvcosBu si n(A

3、) B，故正確(或由余弦函22數(shù)在(0,二)上的單調(diào)性知正確)；2 2由 cos2Acos2B = 1 -2sin A sin BAB，故正確.知識(shí)梳理1. 直角 ABC中，內(nèi)角A , B, C所對(duì)邊的邊長分別是 a,b, c , C=90若內(nèi)切圓的半a b -C徑為r，則r ：22. 在三角形中，勾股定理、正弦定理、余弦定理是基礎(chǔ)，起到工具性的作用.它們?cè)谔?理三角形中的三角函數(shù)的求值、化簡、證明、判定三角形的形狀及解三角形等問題中有著廣泛的應(yīng)用.例題解析例1已知直角三角形的周長為 1,求其面積的最大值.5.解析方法一設(shè)直角三角形的三邊長為心扒 c.c 為斜邊，則 ac * sioA fb

4、c * cosA.又 abJt-c= 1,:、sinA 4 cos A+1） 1 -， 彳1* * C si nA 4 cosjA 4- 1T三甫形面積S =寺應(yīng)仃=匸卻哮藝 siMgsA（sitiA+cosA+D2令 片 jiinA + giA=V5in （ A +手） 則 sinAcos-A = Z -.T ?! W （ 0 號(hào)）故A十于E （手，羽衣（1工 3尸J_上一 1 =丄門_ 2 ）4（7+1 瀘 4（H D 41 廣+1 八故當(dāng)尸雄時(shí).面積弘嚴(yán)+（1花倉）二上晉爲(wèi) 注三設(shè)直角三角形的三邊長為s札G ,為 斜邊*則a +辦+ f 1，即a十0-F丿左+ / 1 * : l = c

5、i + b+、J/ 十 /+ /2ab.解之得g3-嚴(yán)* 故三角形面積朋尋空-*“Z4當(dāng)且儀當(dāng)a = b時(shí)等號(hào)成立.點(diǎn)評(píng)例 2 已知 ABC 中，a=1,b=2 .c的取值范圍.（1 ）求最小內(nèi)角的最大值；（2）若厶ABC是銳角三角形，求第三邊S+2c,解（1）由三角形三邊關(guān)系得第三邊c滿足2 c 1,解得1 . c : 3，故最小內(nèi)角為A.1 C 2,又 cosA 二b2 c2 -ac2 312bc4c 4-4(c 3) 4 c 4（當(dāng)且僅當(dāng)14C = J3時(shí)等號(hào)成立），所以A W 30即最小內(nèi)角的最大值為30（2）因?yàn)?ABC是銳角三角形，即A , B, C三個(gè)角均為銳角，又因?yàn)?av b

6、,所以 A v B,故只需說明B , C為銳角即可.1, - _ 解得、,3 ： c ”5 .1,1+c2-49cosB1,0 2c由B, C為銳角得即2c0cosC 1,b二 1+4_c2I 4點(diǎn)評(píng) 在銳角三角形中研究問題的時(shí)候，一定要注意其三個(gè)角都為銳角這個(gè)條件.另外 要注意變形的等價(jià)性，如“內(nèi)角A為銳角=0 cosAc1 ”.例3 （2008江蘇）求滿足條件 AB = 2, AC二.2BC的厶ABC的面積的最大值. 解設(shè) BC = X，則 AC = 2x .根據(jù)面積公式得 S.abc =1 AB BC sin B = x、. 1 - cos2 B ,根據(jù)余弦定理得AB2+BC2-AC24

7、 + x2 -2x24-X2cosB =2AB5C4x4x代入上式得128-(x2 -12)216由三角形三邊關(guān)系有x 2x x 2,x 2、2x,解得 2 2-2 x 22 ,故當(dāng)x2 =12,x=23時(shí)S abc取最大值點(diǎn)評(píng)例4 如圖，已知/ A=30 , P, Q分別在/ A的兩邊上, 時(shí)， APQ的面積最大？并求出 APQ的最大面積.PQ=2.當(dāng)P, Q處于什么位置點(diǎn)評(píng)表示三角形的面積可米用兩邊及夾角的表示法，本題解法一運(yùn)用了余弦定理和基本不等式，解法二運(yùn)用了正弦定理和基本不等式建立目標(biāo)函數(shù).例5已知 ABC的周長為6, |BC|,|CA|,|AB|成等比數(shù)列，求:（1） ABC的面積

8、的最大值；解 設(shè)| BC|,|CA|,| AB|依次為a c 6 -b由 b = ac 2(2) BA BC的取值范圍.a, b, c,貝U a+b+c=6,b 2 = ac.又由余弦定理得cos B得0 : b 2 (當(dāng)且僅當(dāng)2a2 c-b2a2 c2 -ac2aca=c時(shí)，等號(hào)成立），故有0 ： B 31 2222aca=c時(shí)，等號(hào)成立），2ac - ac 1(當(dāng)且僅當(dāng)22ac11 2(1) S acsin B b sin B 22a=b= c時(shí)，等號(hào)成立)；siy,即 Smax=-一3 （當(dāng)且僅當(dāng)a2 c2(2) BA BC =accosB =-b2(a c)2 -2ac -b222 2

9、(6 -b) -3b22-(b 3)27 .2, 2 BA BC 18.點(diǎn)評(píng) 本題運(yùn)用均值定理進(jìn)行放縮，再運(yùn)用不等式的性質(zhì)求解. 為函數(shù)問題.（1）為不等式問題，（2）方法總結(jié)1三角形中角的最值（范圍）問題，一般運(yùn)用余弦定理，通過求該角余弦的范圍，根據(jù) 余弦函數(shù)的單調(diào)性處理要注意三角形三邊關(guān)系和內(nèi)角范圍的隱含條件，尤其要注意 銳角三角形的角的關(guān)系.2三角形中邊的最值（范圍）問題，主要由有三角形三邊關(guān)系決定.3三角形中面積的最值（范圍）問題，可以角為自變量，也可以邊為自變量建立目標(biāo)函 數(shù)，要注意自變量的范圍.練習(xí)42三角形的最值問題班級(jí)姓名學(xué)號(hào)1. 若直角三角形斜邊的長 m （定值），則它的周長

10、的最大值是（丘 + mAR2在銳角 ABC中，若C亠，則-的取值范圍是（_2，仝）AB _ sinC _ sin 2BAC sin B sin B=2coS3 ,AC3. 在 ABC中，若b = .2,a =1，則A的取值范圍是Oo Bw 45o4若2、3、x分別是銳角三角形的三邊長，則x的取值范圍是C.5八13）_.5若三角形兩邊之和為 16 cm，其夾角為60o則該三角形面積的最大值是 _16 3_ , 周長的最小值是246.已知 ABC 中，A = 60 ； BC = 4，則 AB + AC 的最大值為 _ 8/3_ 7. 鈍角三角形的三邊為a,a+1,a +2，其中最大角不超過 120

11、則a的取值范圍是解 由題意鈍角三角形中，a 2為最大邊且最大角不超過120，因此得a （a 1） a 2 ，a2 （a 1）2 ： （a 2）2 ，cosAa2 (a 1)2 -(a 2)22a(a+1),33由得a 1，得-1 ：a 卄/遷產(chǎn)十以必W12卡Qarc=2b,故7、亡成等差數(shù)列. 理+_（寺培 cqsB =2ac3(a2) 2ac-ac 2ac _ 1ButSac當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)+等號(hào)成立.FL y=co胃工在（0兀）內(nèi)是減函數(shù)*0B11.如圖，正方形 ABCD的邊長為a, E、F分別是邊 BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，/ EAF=30求厶AEF面積的最小值.解 設(shè)厶 AEF 的面積為 S,/

12、BAE=二（15oW rw 45o）,則由/ EAF=30 得/ DAF= 60 日.正方形ABCD的邊長為a,在 Rt BAE 中,AB acos cos在 RtA DAF 中,AFADar =cos(60)cos(60”)1 S AE AF sin EAF221aaasin30 =2 cos cos(60、)4cosrcos(60)、1、罷、2cos2 v 2 3sin vcosv4cos)(cos sin2 222aacos2r. 3sin2二 112(2cos2sin 2 1222aa22aacos2 J一 3sin2v 12(lcos2v3s 巾 2R 12 22sin (2 30)

13、 12sin(2 30 30) 24ac2由于 ABC面積_ 1acsin B ,又ac w1 / 2-(ac2) =4,sinB w,222當(dāng)a =c時(shí)，兩個(gè)不等式中等號(hào)同時(shí)成立，所以 ABC面積的最大值為備用題1直角 ABC的斜邊AB=2，內(nèi)切圓的半徑為r，則r的最大值為 _ .2 -122232. 在 ABC 中，已知 sin A + sin B = 5sin C,求證：sinC 0, C為銳角，而5c = a +b 2ab,22故 4c =2abcosC 5c cosC.4 cosC ,53 sinCw5點(diǎn)評(píng) 從外形的聯(lián)想，到方法的選擇，這樣的直覺思維隨時(shí)隨地都會(huì)出現(xiàn)在解題過 程中.3.已知 ABC 的內(nèi)角滿足 sin B sin C 二 sin A(cos B - cosC).(1)求A ;(2)若厶ABC的面積為4，求 ABC周長的最小值.解 (1) T sin B + sin C = sin A(cos B + cos C)t 由正、余蘢定理可得 i 4-c = 卜牝簡得聲+搶占一臚即 = A 90： V A = 90 A寺AB X胚=4AB X AC二乳二三角形周長L = AB +AC