2009年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題

1、京才教育 中國教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)“數(shù)學(xué)周報(bào)杯”2009年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分. 以下每道小題均給出了代號(hào)為a，b，c，d的四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的. 請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里，不填、多填或錯(cuò)填都得0分）1已知非零實(shí)數(shù)a，b 滿足 ，則等于（ ）（a）1 （b）0 （c）1 （d）2 【答】c解：由題設(shè)知a3，所以，題設(shè)的等式為，于是，從而1 2如圖，菱形abcd的邊長為a，點(diǎn)o是對(duì)角線ac上的一點(diǎn)，且oaa，obocod1，則a等于（ ）（第2題）（a） （b） （c

2、）1 （d）2【答】a 解：因?yàn)閎oc abc，所以，即 ，所以， 由，解得3將一枚六個(gè)面編號(hào)分別為1，2，3，4，5，6的質(zhì)地均勻的正方體骰子先后投擲兩次，記第一次擲出的點(diǎn)數(shù)為，第二次擲出的點(diǎn)數(shù)為，則使關(guān)于x，y的方程組 只有正數(shù)解的概率為（ ） （a） （b） （c） （d） 【答】d解：當(dāng)時(shí)，方程組無解當(dāng)時(shí)，方程組的解為由已知，得即或由，的實(shí)際意義為1，2，3，4，5，6，可得共有 5210種情況；或共3種情況又?jǐn)S兩次骰子出現(xiàn)的基本事件共6636種情況，故所求的概率為4如圖1所示，在直角梯形abcd中，abdc，. 動(dòng)點(diǎn)p從點(diǎn)b出發(fā)，沿梯形的邊由bcda運(yùn)動(dòng). 設(shè)點(diǎn)p運(yùn)動(dòng)的路程為x，ab

3、p的面積為y. 把y看作x的函數(shù)，函數(shù)的圖象如圖2所示，則abc的面積為（ ）（a）10 （b）16 （c）18 （d）32（第4題）圖2圖1 【答】b解：根據(jù)圖像可得bc4，cd5，da5，進(jìn)而求得ab8，故sabc8416.5關(guān)于x，y的方程的整數(shù)解（x，y）的組數(shù)為（ ）（a）2組 （b）3組 （c）4組 （d）無窮多組 【答】c解：可將原方程視為關(guān)于的二次方程，將其變形為 由于該方程有整數(shù)根，則判別式，且是完全平方數(shù)由 ，解得 于是01491611610988534顯然，只有時(shí)，是完全平方數(shù)，符合要求當(dāng)時(shí)，原方程為，此時(shí)；當(dāng)y4時(shí)，原方程為，此時(shí)所以，原方程的整數(shù)解為 二、填空題（共5

4、小題，每小題7分，共35分）6一個(gè)自行車輪胎，若把它安裝在前輪，則自行車行駛5000 km后報(bào)廢；若把它安裝在后輪，則自行車行駛 3000 km后報(bào)廢，行駛一定路程后可以交換前、后輪胎如果交換前、后輪胎，要使一輛自行車的一對(duì)新輪胎同時(shí)報(bào)廢，那么這輛車將能行駛 km 【答】3750解：設(shè)每個(gè)新輪胎報(bào)廢時(shí)的總磨損量為k,則安裝在前輪的輪胎每行駛1 km磨損量為,安裝在后輪的輪胎每行駛1km的磨損量為.又設(shè)一對(duì)新輪胎交換位置前走了x km，交換位置后走了y km.分別以一個(gè)輪胎的總磨損量為等量關(guān)系列方程,有 兩式相加，得 ，則 7已知線段ab的中點(diǎn)為c，以點(diǎn)a為圓心，ab的長為半徑作圓，在線段ab的

5、延長線上取點(diǎn)d，使得bdac；再以點(diǎn)d為圓心，da的長為半徑作圓，與a分別相交于f，g兩點(diǎn)，連接fg交ab于點(diǎn)h，則的值為 解：如圖，延長ad與d交于點(diǎn)e，連接af，ef 由題設(shè)知，在fha和efa中，所以 rtfhartefa， .（第7題）而，所以.8已知是滿足條件的五個(gè)不同的整數(shù)，若是關(guān)于x的方程的整數(shù)根，則的值為 【答】 10解：因?yàn)?，且是五個(gè)不同的整數(shù)，所有也是五個(gè)不同的整數(shù)又因?yàn)?，所以由，可?如圖，在abc中，cd是高，ce為的平分線若ac15，bc20，cd12，則ce的長等于 【答】解：如圖，由勾股定理知ad9，bd16，所以abadbd25 故由勾股定理逆定理知acb為直角

6、三角形，且作efbc，垂足為f設(shè)efx，由，得cfx，于是bf20x由于efac，所以 ，（第9題）即 ，解得所以（第10題）1010個(gè)人圍成一個(gè)圓圈做游戲游戲的規(guī)則是：每個(gè)人心里都想好一個(gè)數(shù)，并把自己想好的數(shù)如實(shí)地告訴他兩旁的兩個(gè)人，然后每個(gè)人將他兩旁的兩個(gè)人告訴他的數(shù)的平均數(shù)報(bào)出來若報(bào)出來的數(shù)如圖所示，則報(bào)3的人心里想的數(shù)是 【答】 解：設(shè)報(bào)3的人心里想的數(shù)是，則報(bào)5的人心里想的數(shù)應(yīng)是于是報(bào)7的人心里想的數(shù)是 ，報(bào)9的人心里想的數(shù)是 ，報(bào)1的人心里想的數(shù)是 ，報(bào)3的人心里想的數(shù)是所以 ，解得三、解答題（共4題，每題20分，共80分）11函數(shù)的圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)是否都在直線的右側(cè)？若是，請(qǐng)說

7、明理由；若不一定是，請(qǐng)求出兩個(gè)交點(diǎn)都在直線的右側(cè)時(shí)k的取值范圍解：不一定，例如，當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)為（0，0）和（1，0），不都在直線的右側(cè) 5分設(shè)函數(shù)與x軸的兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，當(dāng)且僅當(dāng)滿足如下條件 10分時(shí)，拋物線與軸的兩交點(diǎn)都在直線的右側(cè)由 解之，得 15分所以當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的兩交點(diǎn)在直線的右側(cè) 20分12在平面直角坐標(biāo)系中，我們把橫坐標(biāo)為整數(shù)、縱坐標(biāo)為完全平方數(shù)的點(diǎn)稱為“好點(diǎn)”，求二次函數(shù)的圖象上所有“好點(diǎn)”的坐標(biāo) 解：設(shè)，m，k都是非負(fù)整數(shù)，則，即 10分則有 解得 所以 故“好點(diǎn)”共有4個(gè)，它們的坐標(biāo)是： 20分 13如圖，給定銳角三角形abc，ad，be是它的兩條高，過點(diǎn)作abc的外接圓的切線，過點(diǎn)d，e分別作的垂線，垂足分別為f，g試比較線段df和eg的大小，并證明你的結(jié)論解法1：結(jié)論是下面給出證明 5分因?yàn)?，所以rtfcd rteab于是可得同理可得 （第13題） 10分又因?yàn)?，所以有，于是可?20分解法2：結(jié)論是下面給出證明 5分（第13題）連接de，因?yàn)?，所以a，b，d，e四點(diǎn)共圓，故 10分又l是o的過點(diǎn)c的切線，所以 15分所以，于是defg，故dfeg 20分14n個(gè)正整數(shù)滿足如下條件：；且中任意n1個(gè)不同的數(shù)的算術(shù)平均數(shù)都是正整數(shù)求n的最大值解：設(shè)中