(完整word版)2015大二上學(xué)期期末復(fù)習(xí)(高等代數(shù))

1、 第六章1. 過度矩陣的求法(兩種)(特別地:單位向量組)e e e e例 1. 求有 4 維線性空間 的一組基 , , , 到基v1234h e -2e 4e ,h 3e -5e -8e ,h e 6e h 2e= + ， =+=1124223433444的過渡矩陣;eehh2到基= (x , x ), = (y , y ), = ( p , p ), = (q ,q ),例 2. 設(shè)1是向量空間1221211212 e eh h的， 的兩組基，則從基2p1212過渡矩陣2. 子空間的判定，維數(shù)和基的求法aa例 3. 設(shè) 是 3 維空間的一個(gè)行向量，判定 滿足什么條件時(shí)，( )( )v =

2、x , x , x x , x , x = 作成子空間a123123 a 0=a,b p例 4求的子空間w 的基和維數(shù)22 pb a 1 0 5a = 0 2 4例 5.設(shè)，求全體與 可交換的矩陣所成子空a0 0 3間的維數(shù)和一組基。a b例 6. 設(shè) v 是一 維歐氏空間， , 是 v 中正交向量組.n= x | (x,a) = (x, b) = 0, x v是 的一個(gè)子空間；1）證明：vv12）證明： 的維數(shù)等于 .vn-21 3. 齊次線性方程組的解空間的維數(shù)、基與ax = 0與維數(shù)公式，w1=是數(shù)域 p 上 9 元齊次線性方程組 ax 0例 7. 設(shè)w2,，9bx = 0的解空間, r

3、anka = 3 rankb = 4w +w = p12( )dim w w求125. 直和的充要條件(習(xí)題)及其直和分解例 8. 證明：每個(gè) n（1）維線性空間都可以表示成一個(gè) 1 維子空間和一個(gè) n-1 維子空間的直和。第七章1. 線性變換 在一個(gè)基下的矩陣求法 1)-2)ae e e e例 1. 設(shè) , , , 是 4 維線性空間 v 的一組基，已知 v 中12341 -1 1 20 2 2 -2線性變換 a 在這組基下的矩陣為 2 1 5 1 1 3 5 2求線性變換 在基ah e e e h e e e h e e h e= - 2 + , = 3 - - , = + ， = 211

4、24223433444下的矩陣;2. 線性變換空間 l(v) 3. 矩陣的特征多項(xiàng)式與特征值、跡、行列式、正定的關(guān)系f = l - 2l - 4l + 6例 2. 三階方陣 a 的特征多項(xiàng)式為，3a求 的行列式和跡。a2 3 4-2 2 4-4 1 1l l l例 3. 設(shè) a=的 3 個(gè)特征值為 , , 求123l l l l l l+ + ，1231 2例 4. 若 a是正定矩陣，則 a的特征值都大于 04. 矩陣（線性變換）可對(duì)角化充要條件、充分條件例 5. 設(shè) a 是 維線性空間 上的線性變換, 則 a 在某組基下nv的矩陣為對(duì)角陣的充要條件、充分條件a bc d- bc =2 (a

5、+ d) 8例 6. 證明：設(shè) a=， ad，,2證明 a 與對(duì)角矩陣相似。5. 可逆線性變換的特征值例7. 設(shè) a 是線性空間 上的可逆線性變換, 證明：v1) a 的特征值一定不為 0；1l ,，a22)如果 是 a 的特征值，那么分別是 a-1的特征2ll值. 第八章1. -矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形求法 1）-3）（對(duì)角形） l + l2l例 1求的標(biāo)準(zhǔn)形3l +2l+122. 矩陣相似的(充分、必要、充分必要)條件aa a例2. 設(shè) 是數(shù)域 上的一個(gè)n n 矩陣，證明 與 相似.p3. 矩陣的行列式因子、不變因子、初等因子與特征多項(xiàng)式、最小多項(xiàng)式的關(guān)系例 3設(shè)矩陣 a 的特征多項(xiàng)式為(l + 2)

6、(l -1)，最小多項(xiàng)式2為(l + 2)(l -1)，求矩陣 a 的初等因子組4. 最小多項(xiàng)式與若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的求法1 2 0例 4 求 0 1 0 的最小多項(xiàng)式0 0 1l 3 -20+例 5. 設(shè) a為 3 階復(fù)數(shù)矩陣, e 與 0l 3 -2- a+l00 l + 3等 價(jià)，求a的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形. 第九章1. 內(nèi)積、長度、夾角與度量矩陣關(guān)系例 1.在 中, 求向量a =(1,2,2,3)與的夾角4br= (3,1,5,1)1222= (, x, 0)= ( ,0 , )例 2在中, 向量a與的夾角3br222為 , 求 x60a a a ,例 3. 已知三維歐氏空間 中一組基 , ,其度量矩陣為v1233 2 00 0 5b a a a= + + , 求a= 2 4 0 , 向量b1233.標(biāo)準(zhǔn)正交基的性質(zhì)、求法e e e例 4若 維歐氏空間中一組基 , , , 為標(biāo)準(zhǔn)正交基，求n12ne e e, , , 的度量矩陣n12例 5.證明：任一 n 維歐氏空間