2011考研基礎(chǔ)班高等數(shù)學講義

1、2010考研基礎(chǔ)班高等數(shù)學講義第一章函數(shù)、極限、連續(xù)1.1函數(shù)（甲）內(nèi)容要點一、函數(shù)的概念1.函數(shù)的定義設(shè)d是一個非空的實數(shù)集，如果有一個對應規(guī)劃f，對每一個，都能對應惟一的一個實數(shù)y，則這個對應規(guī)劃f稱為定義在d上的一個函數(shù)，記以y=f(x)，稱x為函數(shù)的自變量，y為函數(shù)的因變量或函數(shù)值，d稱為函數(shù)的定義域，并把實數(shù)集稱為函數(shù)的值域。2.分段函數(shù)如果自變量在定義域內(nèi)不同的值，函數(shù)不能用同一個表達式表示，而要用兩上或兩個以上的表達式來表示。這類函數(shù)稱為分段函數(shù)。例如是一個分段函數(shù)，它有兩個分段點，x1和x1，它們兩側(cè)的函數(shù)表達式不同，因此討論函數(shù)y=f(x)在分段點處的極限、連續(xù)、導數(shù)等問題時

2、，必須分別先討論左、右極限，左、右連續(xù)性和左、右導數(shù)。需要強調(diào)：分段函數(shù)一般不是初等函數(shù)，不能用初等函數(shù)在定義域內(nèi)皆連續(xù)這個定理。3.隱函數(shù)形如y=f(x)有函數(shù)稱為顯函數(shù)，由方程f（x，y）=0確定的yy(x)稱為隱函數(shù)，有些隱函數(shù)可以化為顯函數(shù)（不一定是一個單值函數(shù)），而有些隱函數(shù)則不能化為顯函數(shù)。4.反函數(shù)如果y=f(x)可以解出是一個函數(shù)（單值），則稱它為f(x)的反函數(shù)，記以。有時也用表示。二、基本初等函數(shù)1.常值函數(shù)yc（常數(shù)）2.冪函數(shù) （常數(shù)）3.指數(shù)函數(shù) （a0，a1常數(shù)）（e2.7182，無理數(shù)）4.對數(shù)函數(shù) （a0，a1常數(shù)）常用對數(shù) 自然對數(shù) 5.三角函數(shù) 6.反三角函

3、數(shù) 基本初等函數(shù)的概念、性質(zhì)及其圖像非常重要，影響深遠。例如以后經(jīng)常會用；等等，就需要對，的圖像很清晰。三、復合函數(shù)與初等函數(shù)1.復合函數(shù)設(shè)定義域u定義域x，值域u*如果，則是定義在x上的一個復合函數(shù)，其中u稱為中間變量。2.初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和復合所構(gòu)成的用一個分析表達式表示的函數(shù)稱為初等函數(shù)。四、函數(shù)的幾種性質(zhì)1.有界性：設(shè)函數(shù)y=f(x)在x內(nèi)有定義，若存在正數(shù)m，使都有，則稱f(x)在x上是有界的。2.奇偶性：設(shè)區(qū)間關(guān)于原點對稱，若對，都有，則稱在上是奇函數(shù)；若對，都有，則稱在上是偶函數(shù)。奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱；偶函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱。3.單調(diào)性：設(shè)在上有定義，若

4、對任意都有，則稱在上是單調(diào)增加的；若對任意都有，則稱在上是單調(diào)不減。（注意：有些書上把這里單調(diào)增加稱為嚴格單調(diào)增加；把這里單調(diào)不減稱為單調(diào)增加。）4.周期性：設(shè)在上有定義，如果存在常數(shù)，使得任意，都有，則稱是周期函數(shù)，稱為的周期。由此可見，周期函數(shù)有無窮多個周期，一般我們把其中的最小正周期稱為周期。（乙）典型例題一、求函數(shù)的定義域【例1】 求函數(shù)的定義域。解 要有定義，要有定義，因此，的定義域為【例2】 求的定義域。解 要有定義，和要有定義，因此，定義域為【例3】 設(shè)的定義域為，求的定義域。解 要求，則， 當時，則 當時， 也即或【例4】 設(shè) 求的定義域，并求.解 的定義域為，要求，則；要求，

5、則，于是的定義域為。又二、求函數(shù)的值域【例1】 求的值域。解 我們先求出反函數(shù)，它的定義域就是原來函數(shù)的值域。它的定義域，且所以原來函數(shù)的值域為。三、求復合函數(shù)有關(guān)表達式1.已知f(x)和g(x)，求fg(x).【例1】已知，求.解，（）于是，（）【例2】設(shè)，求.n重復合解，若，則根據(jù)數(shù)學歸納法可知，對正整數(shù)n，2.已知g(x)和fg(x)，求f(x).【例1】設(shè)，求f(x).解令，于是【例2】已知，且，求f(x).解令，因此，四、有關(guān)四種性質(zhì)【例1】設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（）.（a）若f(x)為奇函數(shù)，則f(x)為偶函數(shù)（b）若f(x)為偶函數(shù)，則f(x)為奇函數(shù)（c）若f(x)為周期函數(shù)，

6、則f(x)為周期函數(shù)（d）若f(x)為單調(diào)函數(shù)，則f(x)為單調(diào)函數(shù)解 (b)不成立，反例(c)不成立，反例(d)不成立，反例(a)成立。證明 為奇函數(shù)， 為偶函數(shù)?！纠?】 求解 是奇函數(shù)，是奇函數(shù)， 因此是奇函數(shù)。于是 ?！纠?】 兩個周期函數(shù)之和是否仍是周期函數(shù)？解不一定（1）周期為4周期為64和6的最小公倍數(shù)為12是以12為周期的函數(shù)（2）周期為周期為2和2沒有最小公倍數(shù)不是周期函數(shù)（3） 周期為周期為雖然，不但都是周期函數(shù)，而且它們的周期有最小公倍數(shù)。但是，卻不是周期函數(shù)。（因為沒有最小正周期。）【例4】 設(shè)，是恒大于零的可導函數(shù)，且，則當時，下列結(jié)論成立的是（）(a) (b)(c)

7、 (d)解 ，單調(diào)減少于是xn時，就有.（2）任給，存在正整數(shù)x，當xx時，就有.（3）任給，存在正整數(shù)x，當xx時，就有.（4）任給，存在正整數(shù)x，當|x|x時，就有.（5）任給，存在正數(shù)，當時，就有。（6）（用表示）任給，存在正數(shù)，當時，就有（7）（用表示）任給，存在正數(shù)，當時，就有。其中稱為在處右極限值，稱為在處左極限值。有時我們用表示上述六類函數(shù)的極限，它具有的性質(zhì)，上述六類函數(shù)極限皆具有這種性質(zhì)。有時我們把，即數(shù)列極限也看作這種抽象的變量的極限的特例，以便于討論。2.極限的基本性質(zhì)定理1（極限的惟一性）設(shè)，則。定理2（極限的不等式性質(zhì)）設(shè)，若變化一定以后，總有，則反之，則變化一定以后

8、，有（注：當情形也稱為極限的保號性）定理3（極限的局部有界性）設(shè)，則當變化一定以后，有界的。定理4設(shè)，則（1）（2）（3）（4）（5）二、無窮小量1.無窮小量定義：若，則稱為無窮小量（注：無窮小量與的變化過程有關(guān)，當時為無窮小量，而或其他時，不是無窮小量）2.無窮大量定義：任給，當變化一定以后，總有，則稱為無窮大量，記。3.無窮小量與無窮大量的關(guān)系：在的同一個變化過程中，若為無窮大量，則為無窮小量，若為無窮小量且，則為無窮大量。4.無窮小量與極限的關(guān)系 其中5.兩個無窮小量的比較設(shè)，且(1)，稱是比高階的無窮小量，記以稱是比低階的無窮小量，(2) ，稱與是同階無窮小量。(3)，稱與是等價無窮小

9、量，記以6.常見的等價無窮小量 當時（為實常數(shù)）。7.無窮小量的重要性質(zhì)有界變量乘無窮小量仍是無窮小量。三、求極限的方法1. 利用極限的四則運算和冪指數(shù)運算法則2. 兩個準則準則1 單調(diào)有界數(shù)列極限一定存在。（1）若（為正整數(shù)），又（為正整數(shù)）則存在且（2）若（為正整數(shù)），又（為正整數(shù)）則存在且準則2 （夾逼定理）設(shè)若，則3.兩個重要公式公式1 公式2 ；4.用無窮小量重要性質(zhì)和等價無窮小量代換5.用泰勒公式（比用等價無窮小量更深刻）當時（為實常數(shù)）6.洛必達法則法則1設(shè)（1），（2）變化過程中，皆存在（3）（或）則 （或）(注：如果不存在且不是無窮大量情形，則不能得出不存在且不是無窮大量情形

10、)法則2設(shè)（1），（2）變化過程中，皆存在（3）（或）則（或）7.利用導數(shù)定義求極限基本公式：8.利用定積分定義求極限基本公式： 9.其他綜合方法10.求極限的反問題有關(guān)方法（乙）典型例題一、通過各種基本技巧化簡后直接求出極限【例1】設(shè)，求解【例2】設(shè)，求.解特例：（1）求解例2中取，可知原式（2）【例3】求.解分子、分母用3n除之，原式（注：主要用當時，）【例4】設(shè)l是正整數(shù)，求.解因此原式特例：（1）（l1）（2）（l2）【例6】設(shè)d0為常數(shù)，求.解原式特例： 【例7】求下列各極限（1）（2）解（1）解一原式解二原式解三用洛必達法則1原式（2）解一原式解二類似（1）中解二用等價無窮小量代換

11、解三類似（1）中解三用洛必達法則【例8】求下列極限（1）設(shè)，（2）解（1）分子分母都乘1-r，則原式（2）原式二、用兩個重要公式【例1】求。解 當x=0時，原式=1當x0時，原式=【例2】求下列極限（1）（2）解（1）（2）解一解二【例3】求下列極限（1）（2）（3）解（1）令則，當時于是（2）令則，當時，于是（3）三、用夾逼定理求極限【例1】 求.解令，則0xnyn，于是由夾逼定理可知，于是原極限為0.【例2】 求下列極限（1）（2）解（1）而由夾逼定理可知（2）而則夾逼定理可知四、用定積分定義求數(shù)列的極限【例1】求.分析如果還想用夾逼定理中方法來考慮而，由此可見，無法再用夾逼定理，因此我們

12、改用定積分定義來考慮.解【例2】設(shè)，求.解原式五、用洛必達法則求極限1.“”型和“”型.【例1】求.解離散型不能直接用洛必達法則，故考慮原式.【例2】求.解若直接用“”型洛必達法則1，則得（不好辦了，分母x的次數(shù)反而增加），為了避免分子求導數(shù)的復雜性，我們先用變量替換，令，于是(“”型)2. “-”型和“0”型.【例1】求.解（“”型）【例2】求.解原式【例3】求.解原式(“”型)3. “1”型，“00”型和“0”型這類都是形式，可化為，而都是“0”型，按2的情形處理.【例1】求.解令，（見2中例3）【例2】求（前面已用重要公式的方法）.解令，（“”型），【例3】求.解令，六、用無窮小量重要性

13、質(zhì)和等價無窮小量代換【例1】求.解，根據(jù)有界變量乘無窮小量仍是無窮小量，可知原式0.【例2】求.解用等價無窮小量代換原式【例3】求.解這個極限雖是“”型，但分子、分母分別求導數(shù)后的極限不存在，因此不能用洛必達法則.原式七、用泰勒公式求極限【例1】求.解（當時）原式八、用導數(shù)定義求極限【例1】設(shè)，求.解原式【例2】設(shè)曲線與在原點相切，求.解由題設(shè)可知，于是九、求遞歸數(shù)列的極限【例1】設(shè)，求.解（算術(shù)平均值幾何平均值）又，則因此單調(diào)減少，又有下界，根據(jù)準則1，存在把兩邊取極限，得，a0，取，于是十、求分段函數(shù)的極限【例1】求下列函數(shù)在分段點處的極限解【例2】求.解十一、求極限的反問題【例1】設(shè)，求

14、a和b.解 由題設(shè)可知，1+a+b=0再對極限用洛必達法則 【例2】設(shè)，求a和b.解把極限用洛必達法則原式左邊，如果，則極限值為0，今極限為1，則因此原式左邊由，得出a=4.1.3 連續(xù)(甲)內(nèi)容要點一、函數(shù)連續(xù)的概念1.函數(shù)在點處連續(xù)定義1設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，如果當自變量的改變量（初值為）趨近于0時，相應的函數(shù)改變量也趨近于0，即或則稱函數(shù)在點處連續(xù)。函數(shù)在點處連續(xù)也可作如下定義。定義2設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，如果當時，函數(shù)的極限值存在，且等于處的函數(shù)值，即則稱函數(shù)在點處連續(xù)，此時有并且有即如果函數(shù)在點處連續(xù)，則在點處可以交換極限號和函數(shù)號的順序。定義3設(shè)函數(shù)，如果，則函數(shù)在

15、點處左連續(xù)；如果，則稱函數(shù)在點處右連續(xù)。由上述定義2可知，如果函數(shù)在點處連續(xù)，則在處既左連續(xù)也右連續(xù)。2.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)（上）連續(xù)的定義如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每一點都連續(xù)，則稱在內(nèi)連續(xù)。如果在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，在區(qū)間端點右連續(xù)，在區(qū)間端點左連續(xù)，則稱在閉區(qū)間上連續(xù)。二、函數(shù)的間斷點及其分類1.函數(shù)的間斷點的定義如果函數(shù)在點不連續(xù)，則稱為的間斷點。2.函數(shù)的間斷點的分類函數(shù)的間斷點分為兩類：（1）第一類間斷點設(shè)是函數(shù)的間斷點，如果在間斷點處的左、右極限都存在，則稱是的第一類間斷點。第一類間斷點包括可去間斷點和跳躍間斷點。（2）第二類間斷點第一類間斷點以外的其他間斷點統(tǒng)稱為第二類間斷點。常見的第二類間斷點

16、有無窮間斷點和振蕩間斷點。例如是的可去間斷點，是的跳躍間斷點，是的無窮間斷點，是的振蕩間斷點。三、初等函數(shù)的連續(xù)性1在區(qū)間連續(xù)的函數(shù)的和、差、積及商(分母不為零)，在區(qū)間仍是連續(xù)的。2由連續(xù)函數(shù)經(jīng)有限次復合而成的復合函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)仍是連續(xù)函數(shù)。3在區(qū)間連續(xù)且單調(diào)的函數(shù)的反函數(shù)，在對應區(qū)間仍連續(xù)且單調(diào)。4基本初等函數(shù)在它的定義域內(nèi)是連續(xù)的。5初等函數(shù)在它的定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的。四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)，有以下幾個基本性質(zhì)，這些性質(zhì)以后都要用到。定理1（有界定理）如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則必在上有界。定理2（最大值和最小值定理）如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在這個區(qū)間上一定存在最

17、大值和最小值。其中最大值和最小值的定義如下：定義設(shè)是區(qū)間上某點處的函數(shù)值，如果對于區(qū)間上的任一點，總有，則稱為函數(shù)在上的最大值，同樣可以定義最小值。定理3（介值定理）如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且其最大值和最小值分別為和，則對于介于和之間的任何實數(shù)，在上至少存在一個，使得推論如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且與異號，則在內(nèi)至少存在一個點，使得這個推論也稱為零點定理。思考題：什么情況下能保證推論中的是惟一的？(乙)典型例題一、討論函數(shù)的連續(xù)性由于初等函數(shù)在它的定義區(qū)間內(nèi)總是連續(xù)的，所以，函數(shù)的連續(xù)性討論多是指分段函數(shù)在分段點處的連續(xù)性。對于分段函數(shù)在分段點處的連續(xù)性，若函數(shù)在分段點兩側(cè)表達式不同時，需根據(jù)函

18、數(shù)在一點連續(xù)的充要條件進行討論?！纠?】 討論函數(shù)在點處的連續(xù)性。解因即有，故在點連續(xù).【例2】 討論函數(shù)在點的連續(xù)性.解因，因而不存在，故在點不連續(xù).二、已知函數(shù)的連續(xù)性求未知參數(shù)【例1】 設(shè)在處連續(xù)，求常數(shù)k.解，由連續(xù)性可知【例2】如果函數(shù)，在處連續(xù)，求常數(shù)p和q.解由在處連續(xù)性可知又由在處連續(xù)性可知.三、求函數(shù)的間斷點并確定其類型【例1】 求函數(shù)的間斷點，并確定其類型.解顯然是間斷點，由于所以是的可去間斷點.【例2】 求函數(shù)的間斷點，并確定其類型.解所給函數(shù)在點，-2，2沒有定義，因此，-2，2是所給函數(shù)的間斷點.下面確定它們的類型.對于，由于，故是第一類間斷點，且為跳躍間斷點.對于，

19、由于故是第二類間斷點，且為無窮間斷點.對于，由于故是第一類間斷點，且為可去間斷點.若補充定義，則在連續(xù).【例3】設(shè)在內(nèi)有定義，且則下列結(jié)論中正確的是（）(a) 必是的第一類間斷點(b) 必是的第二類間斷點(c) 必是的連續(xù)點(d) 在處的連續(xù)性與a的取值有關(guān)解時是的連續(xù)點，時，是的可去間斷點故選d.【例4】設(shè)，在內(nèi)有定義，為連續(xù)，且，有間斷點，則下列函數(shù)中必有間斷點為（）(a) (b) (c) (d)解(a) 不一定有間斷點例，則為連續(xù)(b) 不一定有間斷點例同上，則連續(xù)(c) 不一定有間斷點，如(a)中和，則連續(xù)(d) 一定有間斷點，反證法，若連續(xù)，則連續(xù)，與假設(shè)矛盾一定有間斷點四、求連續(xù)函

20、數(shù)的極限分兩種情形：1.如果是初等函數(shù)，是定義區(qū)間內(nèi)的一點，則，即只需在函數(shù)的表達式中把自變量x換成它的極限值就行了.【例1】 求.解因，而函數(shù)在點連續(xù)，所以【例2】設(shè)在處連續(xù)，且，求.解由于在處連續(xù)，且，所以則五、利用介值定理的推論判斷方程的根【例1】設(shè)在上連續(xù)，且，證明：在內(nèi)至少有一個根.證令，可知在上連續(xù)，由介值定理的推論，可知在內(nèi)至少有一個零點，即在內(nèi)至少有一個根.【例2】求證：方程在內(nèi)恰有兩個根.證令，它是偶函數(shù)，所以只需討論在內(nèi)恰有一個根.，在上連續(xù)，根據(jù)介值定理推論，至少有一個，使.又因為，所以在內(nèi)單調(diào)增加，因此，在內(nèi)最多只有一個零點，于是在內(nèi)恰有一個零點，由偶函數(shù)的對稱性，在內(nèi)

21、恰有兩個零點，也即所給方程在內(nèi)恰有兩個根.第二章一元函數(shù)微分學2.1導數(shù)與微分（甲）內(nèi)容要點一、導數(shù)與微分概念1.導數(shù)的定義設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，自變量在處有增量，相應地函數(shù)增量，如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)在處的導數(shù)（也稱微商），記作或等，并稱函數(shù)在點處可導，如果上面的極限不存在，則稱函數(shù)在點處不可導。導數(shù)定義的另一等價形式，令，則我們也引進單側(cè)導數(shù)概念。右導數(shù)：左導數(shù)：則有在點處可導在點處左、右導數(shù)皆存在且相等。2.導數(shù)的幾何意義與物理意義如果函數(shù)在點處導數(shù)存在，則在幾何上表示曲線在點處的切線的斜率。切線方程法線方程：設(shè)物體作直線運動時路程與時間的函數(shù)關(guān)系為，如果存在，則表示物體在

22、時刻時的瞬時速度。3.函數(shù)的可導性與連續(xù)性之間的關(guān)系如果函數(shù)在點處可導，則在點處一定連續(xù)，反之不然，即函數(shù)在點處連續(xù)，卻不一定在點處可導，例如，在處連續(xù)卻不可導。4.微分的定義設(shè)函數(shù)在點處有增量時，如果函數(shù)的增量有下面的表達式其中與無關(guān)，是時比高階的無窮小，則稱在處可微，并把中的主要線性部分稱為在處的微分，記以或。我們定義自變量的微分就是。5.微分的幾何意義是曲線在點處相應于自變量增量的縱坐標的增量，微分是與曲線在點處切線的縱坐標相應的增量（見圖）6.可微與可導的關(guān)系在處可微在處可導，且.一般地，則，所以導數(shù)也稱為微商，就是微分之商的含義。7.高階導數(shù)的概念如果函數(shù)的導數(shù)在處仍是可導的，則把在

23、點處的導數(shù)稱為在點處的二階導數(shù)，記以或或等，也稱在點處二階可導。如果的階導數(shù)的導數(shù)，稱為的階導數(shù)，記以等，這時也稱是階可導。二、導數(shù)與微分計算1.導數(shù)與微分表2.四則運算法則3.復合函數(shù)運算法則設(shè)，如果在處可導，在對應點處可導，則復合函數(shù)在處可導，且有對應地 由于公式不管是自變量或中間變量都成立，因此稱為一階微分形式不變性。4.由參數(shù)方程確定函數(shù)的運算法則設(shè)確定函數(shù)存在，則二階導數(shù)5.反函數(shù)求導法則設(shè)的反函數(shù)，兩者皆可導，且則二階導數(shù)6.隱函數(shù)運算法則設(shè)是由方程所確定，求的方法如下：把兩邊的各項對求導，把看作中間變量，用復合函數(shù)求導公式計算，然后再解出的表達式（允許出現(xiàn)變量）。例7.對數(shù)求導法

24、則先對所給函數(shù)式的兩邊取對數(shù)，然后用隱函數(shù)求導方法得出導數(shù)。對數(shù)求導法主要用于：冪指函數(shù)求導數(shù) 多個函數(shù)連乘除或開方求導數(shù)利用冪指函數(shù)常用的一種方法，這樣就可以直接用復合函數(shù)運算法則進行。關(guān)于分段函數(shù)求分段點處的導數(shù)，常常要先討論它的左、右兩側(cè)的導數(shù)。（乙）典型例題一、用導數(shù)定義求導數(shù)【例1】設(shè)，其中在點處連續(xù)，求。解沒有假設(shè)可導，所以不能用導數(shù)的乘法公式，我們就用導數(shù)的定義?！纠?】設(shè)（n為正整數(shù)），求。解在點處連續(xù)而不可導，二、 分段函數(shù)在分段點處可導性【例1】討論函數(shù)在處連續(xù)性與可導性。解函數(shù)在處連續(xù)，因為則但是，在處沒有導數(shù)，因為曲線在原點的切線不存在（見上圖）?！纠?】設(shè)函數(shù)試確定的

25、值，使在點處可導。解可導一定連續(xù)，在處也是連續(xù)的，由要使在點處連續(xù)，必須有或又要使在點處可導，必須，即故當時，在點處可導。三、用各種運算法則求導數(shù)1.運用四則運算和復合函數(shù)求導法則【例1】求下列函數(shù)的導數(shù)：（1）（2）解（1）（2）【例2】求下列函數(shù)的微分（1）（2）解（1）（2）【例3】設(shè)，求.解令則因此【例4】設(shè)可微，求dy.解2.運用隱函數(shù)求導法則【例1】設(shè)由方程所確定，求和.解一對方程兩邊關(guān)于x求導，y看作x的函數(shù)，按中間變量處理.于是，解二對方程兩邊求微分，根據(jù)一階微分形式不變性.于是3.運用對數(shù)求導法則【例1】求的導數(shù).解對x求導，得因此，4.運用參數(shù)方程求導法則【例1】設(shè)，求.解

26、四、有關(guān)切線方程和法線方程【例1】證明曲線上任一點處切線與兩坐標軸所圍成的直角三角形面積恒為2.證所求切線方程為令，得切線截x軸的截距，令，得切線截y軸的截距，直角三角形面積【例2】求曲線在處的切線方程.解，.，故切線方程為即五、高階導數(shù)1.求二階導數(shù)【例1】設(shè)，求.解【例2】設(shè)，求.解【例3】設(shè)由方程所確定，求.解，2. 求n階導數(shù)（n2，正整數(shù)）先求出，總結(jié)出規(guī)律性，然后寫出，最后用歸納法證明.有一些常用的初等函數(shù)的n階導數(shù)公式（1）（2）（3）（4）（5）【例1】設(shè)（k正整數(shù)），求（n正整數(shù)）.解【例2】設(shè)，求（n正整數(shù)）.解【例3】設(shè)，求（n正整數(shù)）.解【例4】 設(shè)，求（n正整數(shù)）.解

27、2.2 微分中值定理本節(jié)專門討論考研數(shù)學中經(jīng)?？嫉乃拇蠖ɡ恚_爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理（泰勒公式）.這部分有關(guān)考題主要是證明題，其中技巧性比較高，因此典型例題比較多，討論比較詳細.(甲)內(nèi)容要點一、羅爾定理設(shè)函數(shù)滿足（1）在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；（2）在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導；（3）.則存在，使得.幾何意義：條件（1）說明曲線在和之間是連續(xù)曲線包括點a和點b.條件（2）說明曲線在a，b之間是光滑曲線，也即每一點都有不垂直于x軸的切線不包括點a和b條件（3）說明曲線在端點a和b處縱坐標相等。結(jié)論說明曲線在a點和b點之間不包括點a和b至少有一點，它的切線平行于軸。二、拉格朗日

28、中值定理設(shè)函數(shù)滿足（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間內(nèi)可導。則存在，使得或?qū)懗捎袝r也寫成這里相當或都可以，可正可負。幾何意義：條件（1）說明曲線在點和點之間包括點a和點b是連續(xù)曲線。條件（2）說明曲線不包括點a和點b是光滑曲線。結(jié)論說明曲線在a、b之間不包括點a和點b至少有一點，它的切線與割線ab是平行的。推論1若在內(nèi)可導，且，則在內(nèi)為常數(shù)。推論2若在內(nèi)皆可導，且，則在內(nèi)，其中為一個常數(shù)。（注：拉格朗日中值定理為羅爾定理的推廣，當時的特殊情形，就是羅爾定理）三、柯西中值定理設(shè)函數(shù)和滿足：（1）在閉區(qū)間上皆連續(xù)；（2）在開區(qū)間內(nèi)皆可導且。則存在使得（注：柯西中值定理為拉格朗日中值定理的推廣，特

29、殊情形時，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理）幾何意義：考慮曲線的參數(shù)方程，點，點曲線上是連續(xù)曲線，除端點處是光滑曲線，那么在曲線上至少有一點，它的切線平行于割線。值得注意：在數(shù)學理論上，拉格朗日中值定理最重要，有時也稱為微分學基本定理。羅爾定理看作拉格朗日中值定理的預備定理，柯西中值定理雖然更廣，但用得不太多。在考研數(shù)學命題中，,用羅爾定理最多，其次是用拉格朗日中值定理，而用柯西中值定理也是較少。四、泰勒定理（泰勒公式）定理1（皮亞諾余項的階泰勒公式）設(shè)在處有階導數(shù)，則有公式其中稱為皮亞諾余項。前面求極限方法中用泰勒公式就是這種情形，根據(jù)不同情形取適當?shù)?，所以對常用的初等函?shù)如（為實常數(shù)）等的

30、階泰勒公式都要熟記。定理2（拉格朗日余項的階泰勒公式）設(shè)在包含的區(qū)間內(nèi)有階導數(shù)，在上有階連續(xù)導數(shù)，則對，有公式其中（在與之間）稱為拉格朗日余項上面展開式稱為以為中心的階泰勒公式。當時，也稱為階麥克勞林公式。如果，那么泰勒公式就轉(zhuǎn)化為泰勒級數(shù)，這在后面無窮級數(shù)中再討論。（乙）典型例題一、用羅爾定理的有關(guān)方法【例1】設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且，試證：必存在，使。證在上連續(xù)，在上連續(xù)，且有最大值和最小值,于是；，故。由連續(xù)函數(shù)介值定理可知，至少存在一點，使得因此，且在上連續(xù)，內(nèi)可導，由羅爾定理得出必存在，使得?！纠?】設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且.求證：存在使證由積分中值定理可知，存在，使得得到對在上用羅

31、爾定理（三個條件都滿足），故存在，使二、用拉格朗日中值定理和柯西中值定理的有關(guān)方法1. 用拉格朗日中值定理的有關(guān)方法【例1】設(shè)，試證：.證令，它在上滿足拉格朗日中值定理條件，因此于是成立.【例2】設(shè)不恒為常數(shù)的函數(shù)在上連續(xù)，內(nèi)可導，且，證明內(nèi)至少有一點，使得.證由題意可知存在使得如果，則在上用拉格朗日中值定理存在，使如果，則在上用拉格朗日中值定理存在，使，因此，必有，使得成立.【例3】設(shè)，證明對任意，恒有證不妨假設(shè)，由拉格朗日中值定理有，從而可知，單調(diào)減少，于是這樣由兩式可知因此，成立.2.用拉格朗日中值定理和柯西中值定理【例1】設(shè)在上連續(xù)，內(nèi)可導，且，證明：存在，使證考慮柯西中值定理（待定）

32、最后一步是把分子用拉格朗日中值定理.再把欲證的結(jié)論變形，兩式比較，看出令即可.類似地，欲證，則取即可三、用泰勒公式的有關(guān)方法【例1】設(shè)函數(shù)在上二階可導，且，.求證：存在，使得證先把在處展成拉格朗日型余項的一階泰勒公式再把在處展成拉格朗日型余項的一階泰勒公式在上面兩個公式中皆取則得兩式相減，得，于是因此亦即證明存在，使2.3導數(shù)的應用（甲）內(nèi)容要點一、判斷函數(shù)的單調(diào)性定理設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導，如果恒有，則在內(nèi)單調(diào)增加（單調(diào)減少）；如果恒有，則在內(nèi)單調(diào)不減（單調(diào)不增）?；緫媚Ｐ停涸O(shè)在內(nèi)連續(xù)，在內(nèi)可導，且，又，則當時，恒有二、函數(shù)的極值1.定義設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義，是內(nèi)的某一點，則如果點存在一個鄰域，使得

33、對此鄰域內(nèi)的任一點，總有，則稱為函數(shù)的一個極大值，稱為函數(shù)的一個極大值點；如果點存在一個鄰域，使得對此鄰域內(nèi)的任一點，總有，則稱為函數(shù)的一個極小值，稱為函數(shù)的一個極小值點；函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱極值。極大值點與極小值點統(tǒng)稱極值點。2.必要條件（可導情形）設(shè)函數(shù)在處可導，且為的一個極值點，則。我們稱滿足的為的駐點，可導函數(shù)的極值點一定是駐點，反之不然。極值點只能是駐點或不可導點，所以只要從這兩種點中進一步去判斷。3.第一充分條件設(shè)在處連續(xù)，在內(nèi)可導，不存在，或。如果在內(nèi)的任一點處，有，而在內(nèi)的任一點處，有，則為極大值，為極大值點；如果在內(nèi)的任一點處，有，而在內(nèi)的任一點處，有，則為極小值，為極小

34、值點；如果在內(nèi)與內(nèi)的任一點處，的符號相同，那么不是極值，不是極值點。4.第二充分條件設(shè)函數(shù)在處有二階導數(shù)且，則當時，為極大值，為極大值點當時，為極小值，為極小值點三、函數(shù)的最大值和最小值1.求函數(shù)在上的最大值和最小值的方法，首先，求出在內(nèi)所有駐點和不可導點，其次計算，, ,。最后，比較，,。其中最大者就是在上的最大值；其中最小者就是在上的最小值m。2.最大（小）值的應用問題首先要列出應用問題的目標函數(shù)及考慮的區(qū)間，然后再求出目標函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最大（小）值。四、凹凸性與拐點1. 凹凸的定義設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，若對任意不同的兩點，恒有則稱在上是凸（凹）的。在幾何上，曲線上任意兩點的割線在曲線下（上）面，則是凸（凹）的。如果曲線有切線的話，每一點的切線都在曲線之上（下）則是凸（凹）的。2.拐點的定義曲線上凹與凸的分界點，稱為曲線的拐點。3.凹凸性的判別和拐點的求法設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有二階導數(shù)，如果在內(nèi)的每一點,恒有，則曲線在內(nèi)是凹的；如果在內(nèi)的每一點,恒有，則曲線在內(nèi)是凸的。求曲線的拐點的方法步驟是：第一步：求出二階導數(shù)；第二步：求出使二階導數(shù)等于零或二階導數(shù)不存在的點，；第三步：對于以上的連接點，檢