634522426畢業(yè)設(shè)計（論文）模擬有源濾波器設(shè)計的MATLAB實現(xiàn)

1、（200*屆）本科畢業(yè)設(shè)計（論文）資料題 目 名 稱： 模擬有源濾波器的matlab實現(xiàn) 學(xué) 院（部）： 電氣與信息工程學(xué)院 專 業(yè)： 自動化專業(yè) 學(xué) 生 姓 名： 班 級： 學(xué)號 指導(dǎo)教師姓名： 職稱 教授 最終評定成績： 湖南工業(yè)大學(xué)教務(wù)處200*屆本科畢業(yè)設(shè)計（論文）資料第一部分 畢業(yè)論文（2008屆）本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）模擬有源濾波器設(shè)計的matlab實現(xiàn)學(xué) 院、系：電氣與信息工程學(xué)院 專 業(yè)：自動化專業(yè) 學(xué) 生 姓 名： 班 級： 學(xué)號 指導(dǎo)教師姓名： 職稱 教授 最終評定成績 2008 年 6月摘 要本文闡述了濾波器的基本概念，介紹了模擬有源濾波器的設(shè)計原理和逼近理論。其中包括巴

2、特沃思逼近、切比雪夫i型逼近、切比雪夫型逼近、橢圓函數(shù)逼近和貝塞爾逼近。并研究了模擬有源濾波器的設(shè)計流程及性能測試。綜合了傳統(tǒng)的硬件設(shè)計方法與軟件編程技術(shù),由matlab仿真出了各種濾波器逼近技術(shù)的幅頻特性曲線并進行了實例分析。對巴特沃思濾波器實例的研究仿真，由程序快速的得到了最小階數(shù)和截止頻率，取代了傳統(tǒng)繁復(fù)的計算；方便的實現(xiàn)了由模擬低通濾波器向高通、低通和帶阻濾波器的轉(zhuǎn)換；對四運放復(fù)雜電路進行了設(shè)計仿真，通過求取其不同點的輸出傳遞函數(shù)，模擬了二階低通、高通和帶通濾波器的響應(yīng)曲線。得到了較好的仿真結(jié)果。關(guān)鍵詞：模擬有源濾波器，逼近理論，最小階數(shù)選擇，matlab程序設(shè)計abstractthi

3、s article shows design of analog and active filter based on matlab.it starts by covering the fundamentals of filters .and then introduces the design principle of analog and active filter, the choice of the minimum order, the performance testing of the analogy filter and the theory of approximation,

4、goes on to introduce the basic types like butterworth, chebyshev i, chebyshev , ellipse and bessel filter, and then guides the reader through the design process for analog and active filters. it synthesizes the conventional method and matlab program means, studying how to carry out an analog filter

5、with matlab. this text includes numerous examples of the magnitude curve. we can easily carry out a low pass, high pass, band pass, band stop filter and change parameters such as pass band ripple and stop band attenuation as long as changing certain program. it largely simplifies the design of analo

6、g filter. keywords: analog and active filter，theory of approximation, the choice of the minimum order，matlab program design目 錄引言1第1章 濾波器的基本概念31.1 濾波原理.31.2 濾波器的分類.4第2章 模擬有源濾波器的設(shè)計原理62.1信號無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件.62.2 理想濾波器的特性.82.3 模擬有源濾波器傳遞函數(shù)設(shè)計原理.92.3.1 設(shè)計步驟.112.3.2 設(shè)計函數(shù).112.4 濾波器最小階數(shù)選擇.122.4.1 最小階數(shù)選擇原理.122.4.2 最小階數(shù)

7、選擇函數(shù).132.5 頻率變換.152.5.1 低通低通變換.152.5.2 低通高通變換.162.5.3 低通帶通變換.162.5.4 低通帶阻變換.172.5.5 頻率變換工具函數(shù).172.6 模擬濾波器的性能測試.19第3章 模擬有源濾波器的逼近理論 213.1巴特沃思逼近.213.1.1巴特沃思濾波器.213.1.2應(yīng)用實例.233.2 chebyshev i型逼近.253.2.1 chebyshev i型濾波器.263.2.2應(yīng)用實例.283.3 chebyshev ii型逼近.333.3.1 chebyshevii型濾波器.333.3.2應(yīng)用實例.343.4橢圓函數(shù)逼近.363.4

8、.1橢圓函數(shù)濾波器.363.4.2應(yīng)用實例.373.5貝塞爾逼近.403.5.1貝塞爾濾波器.403.5.2應(yīng)用實例.41第4章 設(shè)計舉例.43 4.1有源一階濾波電路. .434.1.1 一階濾波電路. . . .434.1.2 應(yīng)用實例. .44 4.2雙二階濾波電路. . .45 4.2.1雙二階電路. . .45 4.2.2應(yīng)用實例. . .464.3低通和高通濾波器. . .50 4.3.1 二階低通濾波器. . . 50 4.3.2 二階高通濾波器. . . . 51結(jié)論53致謝54參考文獻55引 言濾波器作為一門學(xué)科發(fā)展至今已有八十多年的歷史，早在1915年美國的campbll(

9、坎貝爾)和德國的wagner(瓦格納)各自獨立地發(fā)展了無源濾波器。有源rc濾波器的研制很早就開始了，1945年bode(波特)就提出了用高增益反相放大器作為有源元件與無源回路組成反饋放大器理論的基本思想。1954年linvill(李聞)用負(fù)阻抗變換器的轉(zhuǎn)移阻抗綜合實現(xiàn)了第一個有源濾波器。1955年sallen-key應(yīng)用單放大器實現(xiàn)了有源rc濾波器，為使用設(shè)計開辟了新途徑，1965年單片集成運放問世，為有源濾波器的迅速發(fā)展和普及提供了物質(zhì)基礎(chǔ)。70年代，由于線性集成電路工藝的發(fā)展，研制出了用于數(shù)字通訊設(shè)備系統(tǒng)的混合集成有源rc濾波器，1970年后，人們開始注意到運放模型的非理想特性，出現(xiàn)了許多

10、有源補償和無源補償方法。同時，還出現(xiàn)了rc濾波器和有源lc濾波器，有源濾波器均已進入實用階段，在低頻領(lǐng)域中獲得廣泛應(yīng)用。由于有源rc濾波器中的電阻集成需要占用較大的芯片面積。70年代末，開始研究取代電阻的方法。1977年成功地研制成采用mos管和mos電容組成的開關(guān)來模擬“電阻”，進而完全取代有源rc濾波器中的電阻，構(gòu)成單片全集成開關(guān)電容濾波器。開關(guān)電容濾波器是由mos開關(guān)，mos電容和mos運算放大器構(gòu)成的一種大規(guī)模集成電路濾波器。早在1966年，就有人指出開關(guān)電容濾波網(wǎng)絡(luò)的特性僅取決于網(wǎng)絡(luò)中的電容比，這一點是很重要的。人們在探索處理有源rc濾波器的單片實現(xiàn)是發(fā)現(xiàn)，許多有源rc濾波器的特性取

11、決于rc乘積。而在mos單片處理中，很難得到精確且穩(wěn)定的rc乘積。然而，在同一塊硅片上實現(xiàn)精確且穩(wěn)定的電容比是不難的。而且與有源rc濾波器相比，開關(guān)電容濾波器更易于實現(xiàn)單片集成，適合成批生產(chǎn)，這是濾波器從分立走向全集成的重大突破。然而，開關(guān)電容電路也存在很多問題，由于它具有采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)性子，因而信號頻率受時鐘頻率制約，限制了它的應(yīng)用頻域。80年代，當(dāng)開關(guān)電容電路技術(shù)應(yīng)用于高頻遇到挑戰(zhàn)后，人們又開始把注意力轉(zhuǎn)向全集成連續(xù)時間電路技術(shù)，全集成連續(xù)時間濾波器的理論和設(shè)計是近代電路理論的一個重要領(lǐng)域，近年來，國外非常重視高頻率（現(xiàn)可達上百mhz）集成濾波器的研究，因為這類濾波器在視頻信號處理，硬盤驅(qū)動

12、器，電話和無線通信等方面有著廣泛的應(yīng)用。連續(xù)時間濾波器的最大優(yōu)點是不受采樣頻率的制約，但能適應(yīng)10mhz以上頻率的，只有g(shù)-c或ota-c和電流模式濾波器，電流模式集成連續(xù)時間濾波器，由于其電路具有許多優(yōu)點，已成為國際上一個廣泛研究的前沿課題。目前，“瞬時縮展”技術(shù)已成為模擬集成電路設(shè)計中的新的研究領(lǐng)域。它是當(dāng)今模擬信號處理中廣泛關(guān)注的一個研究熱點。當(dāng)前這個技術(shù)應(yīng)用的主要范圍是實現(xiàn)具有寬動態(tài)范圍（可達60分貝以上），高頻率潛能（最高可達幾百mhz）和大調(diào)諧能力的連續(xù)時間全集成濾波器，在這個方法中，最突出的例子是對數(shù)域技術(shù)，它直接利用了晶體管的電流與電壓的指數(shù)特性來實現(xiàn)輸入-輸出線性濾波器。隨著

13、計算機軟件技術(shù)的發(fā)展，各種功能強大的電子仿真軟件層出不窮，其中最常用的有protel、matlab、vc等等。我們可以用軟件編程實現(xiàn)各種復(fù)雜的模擬濾波器的功能，然后把程序?qū)懭胂鄳?yīng)的可編程邏輯器件里面，則寫入程序的ic只要配合簡單的硬件電路，就可實現(xiàn)復(fù)雜的模擬濾波功能。因此，研究模擬濾波器的工作原理，以及在此基礎(chǔ)上進行模擬濾波器的理論上的設(shè)計與實現(xiàn)的研究就變得非常重要，本文就是在這樣的背景下孕育而生。本文第一章講述了濾波器的基本概念，使得我們對濾波器的原理和濾波器的分類有了一個較為直觀、清晰的了解。第二章講解了模擬有源濾波器的設(shè)計原理，它們分別是信號無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件、模擬有源濾波器的設(shè)計原理和步

14、驟、濾波器的最小階數(shù)選擇原理和函數(shù)、頻率變換的幾種類型和典型工具函數(shù)。第三章介紹了模擬濾波器的逼近理論，其中包括巴特沃思逼近和巴特沃思濾波器、切比雪夫逼近和切比雪夫濾波器、橢圓函數(shù)逼近和橢圓函數(shù)濾波器、貝塞爾逼近和貝塞爾濾波器，同時對五種逼近技術(shù)列舉了大量的應(yīng)用實例加以分析探討。第四章介紹了有源一階和二階電路，并列舉了實例。第1章 濾波器的基本概念濾波器是一種能使有用頻率信號通過而同時抑制（大為衰減）無用頻率信號的電子裝置。工程上常用它來作信號處理、數(shù)據(jù)傳送和抑制干擾等。在各種不同的應(yīng)用中，改變一個信號中各頻率分量的相對大小，或者全部消除某些頻率分量這樣一類要求常常是頗為關(guān)注的，這樣一種過程稱

15、為濾波。對線性時不變系統(tǒng)來說，其輸出信號的頻譜等于輸入信號頻譜乘以系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。因此，采用經(jīng)過適當(dāng)選定頻率響應(yīng)的線性時不變系統(tǒng)，就可方便地實現(xiàn)濾波。1.1 濾波原理濾波器，顧名思義，其作用是對輸入信號起到濾波的作用。對圖1.1所示的線性時不變系統(tǒng)其時域輸入和輸出關(guān)系為： （1.1）圖1.1 線性時不變系統(tǒng)示意圖若，的fourier變換存在，為和，則輸入和輸出的關(guān)系為： （1.2）其中為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。 圖1.2 濾波器濾波示意圖再假定的fourier變換的振幅可用圖1.2左圖表示，系統(tǒng)幅頻響應(yīng)可用圖1.2中圖表示，則濾波器的輸出可表示為圖1.2右圖。這樣，通過系統(tǒng)的結(jié)果是使輸出中不再含有的頻

16、率成分，而使的成分“不失真”地給以通過。因此設(shè)計出不同形狀的可以得到不同的濾波結(jié)果。若濾波器的輸入、輸出都是離散時間信號，那么該濾波器的脈沖響應(yīng)也必然是離散的。我們稱這樣的濾波器為數(shù)字濾波器（digital filter）。當(dāng)用硬件實現(xiàn)一個數(shù)字濾波器時，所需的元件是延遲器、乘法器和加法器。當(dāng)在計算機上用軟件實現(xiàn)時，它就是一段線性卷積的程序。我們知道模擬有源濾波器只能用硬件來實現(xiàn)，其元件是電阻、電容、電感及運算放大器等。如果在一級rc低通電路的輸入端再加上一個電源跟隨器，使之與負(fù)載很好地隔離開來，就構(gòu)成了一個簡單的一階有源低通濾波電路。1.2 濾波器的分類濾波器的種類很多，分類方法也不同。(1)

17、、從功能上分：低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器、帶阻濾波器。 (2)、從實現(xiàn)方法上分：分為fir、iir。(3)、從設(shè)計方法上來分：chebyshev(切比雪夫），butterworth（巴特沃斯）等。(4)、從處理信號分：經(jīng)典濾波器、現(xiàn)代濾波器。 圖 1.3理想模擬濾波器幅頻響應(yīng)但總的來說，濾波器可分為兩大類，即經(jīng)典濾波器和現(xiàn)代濾波器【2】。經(jīng)典濾波器從功能上總的可分為四種，即低通（low pass）、高通（high pass）、帶通（band pass）、帶阻（band stop）濾波器，當(dāng)然每一種又有模擬濾波器和數(shù)字濾波器兩種形式。圖1.3和圖1.4分別給出了模擬濾波器和數(shù)字濾波器的四

18、種形式。圖中所給的濾波器的幅頻響應(yīng)都是理想情況，在實際上是不可能實現(xiàn)的。在實際工作中，我們設(shè)計的濾波器都是在某些準(zhǔn)則下對理想濾波器的近似，但這保證了濾波器在物理上是可實現(xiàn)的，且是穩(wěn)定的。 圖1.4 理想數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)圖1.3和1.4 的理想濾波器在物理上是不可實現(xiàn)的。不可實現(xiàn)的根本原因是從一個頻率帶到另一個頻率帶之間存在突變。為了物理上可實現(xiàn)，我們從一個帶到另一個帶之間設(shè)置一個過渡帶，且在通帶和阻帶內(nèi)也不應(yīng)該嚴(yán)格為1或0，應(yīng)給以較小的容限。第2章 模擬有源濾波器的設(shè)計原理一般情況下，系統(tǒng)的響應(yīng)波形與激勵波形不相同，信號在傳輸過程中將產(chǎn)生失真。線性系統(tǒng)引起的信號失真由兩方面因素造成，一是系

19、統(tǒng)對信號各頻率分量幅度產(chǎn)生不同程度的衰減，使響應(yīng)各頻率分量的相對幅度產(chǎn)生變化，引起幅度失真。一是系統(tǒng)對各頻率分量產(chǎn)生的相移不與頻率成正比，使響應(yīng)的各頻率分量在時間軸上的相對位置產(chǎn)生變化，引起相位失真。必須指出，線性系統(tǒng)的幅度失真與相位失真都不產(chǎn)生新的頻率分量。而對于非線性系統(tǒng)則由于其非線性特性對于所傳輸信號產(chǎn)生非線性失真，非線性失真可能產(chǎn)生新的頻率分量。有源濾波器實際上是一種具有特定頻率響應(yīng)的放大器。它是在運算放大器的基礎(chǔ)上增加一些r、c等無源元件而構(gòu)成的。 濾波器也可以由無源的電抗性元件或晶體構(gòu)成，稱為無源濾波器或晶體濾波器。 有源濾波電路通常是由運放和rc反饋網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的電子系統(tǒng)，根據(jù)幅頻響

20、應(yīng)不同，可分為低通、高通、帶通、帶阻和全通濾波電路。高階濾波電路一般都可由一階和二階有源濾波電路構(gòu)成，而二階濾波電路傳遞函數(shù)的基本形式是一致的，區(qū)別僅在于分子中s的階次為0、1、2或其組合。濾波器主要用來濾除信號中無用的頻率成分，例如，有一個較低頻率的信號，其中包含一些較高頻率成分的干擾。濾波過程如圖2.1所示。 圖2.1 濾波過程2.1 信號無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件所謂無失真是指響應(yīng)信號與激勵信號相比，只是大小與出現(xiàn)的時間不同，而無波形上的變化。設(shè)激勵信號為，響應(yīng)信號為，無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件是： （2.1）式中是一常數(shù)，為滯后時間。滿足此條件時，波形是波形經(jīng)時間的滯后，雖然，幅度方面由系數(shù)倍的變化，但波

21、形形狀不變。為了滿足式2.1，實現(xiàn)無失真?zhèn)鬏?，對系統(tǒng)函數(shù)應(yīng)提出以下要求：設(shè)與的傅立葉變換式分別為與。借助傅立葉變換的延時定理，從式2.1可以寫出： （2.2）此外還有 （2.3）所以，為滿足無失真?zhèn)鬏攽?yīng)有 （2.4）式2.4就式對于系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性提出的無失真?zhèn)鬏敆l件。欲使信號在通過線性系統(tǒng)使不產(chǎn)生任何失真，必須在信號的全部頻帶內(nèi)，要求系統(tǒng)頻率響應(yīng)的幅度特性是一常數(shù)，相位特性是一通過原點的直線。從物理概念上的直觀解釋就是，由于系統(tǒng)函數(shù)的幅度為一常數(shù)，響應(yīng)中各頻率分量幅度的相對大小將與激勵信號的情況一樣，因而沒有幅度失真。要保證沒有相位失真，必須使響應(yīng)中各頻率分量與激勵中各對應(yīng)分量之后同樣的時

22、間，這一要求反映到相位特性上就是一條通過原點的直線，即信號通過線性系統(tǒng)是諧波的相移必須與其頻率成正比，寫作 （2.5）顯然，信號通過系統(tǒng)的延遲時間即為相位特性的斜率 （2.6）由此，我們得到對于傳輸系統(tǒng)相位移的另一種描述方法“群時延”（或稱群延時）(group delay) 【1】。群延時的定義為 （2.7）也即，群延時定義為系統(tǒng)相頻特性對頻率的導(dǎo)數(shù)并取負(fù)號。在滿足信號傳輸不產(chǎn)生相位失真的條件下，其群延時特性應(yīng)為一常數(shù)。對于實際的傳輸系統(tǒng)為負(fù)值，因而為正值。通常利用與之比（當(dāng)足夠?。┙朴嬎慊驕y量值。與直接用描述相位特性相比較，用群延時間表達相位特性的好處是便于實際測量，而且有助于理解調(diào)幅波傳

23、輸過程的波形變化。由以上分析，我們總結(jié)到，所謂信號無失真?zhèn)鬏斒侵篙斎胄盘柾ㄟ^系統(tǒng)后，輸出信號的幅值和輸入信號的幅值成正比。允許有一定的延時，但沒有波形上的畸變。因此，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)滿足下面的特性： (2.8)式中、均為常數(shù)。即信號無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件是：系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)|應(yīng)為常數(shù)，相頻響應(yīng)應(yīng)與頻率成正比?；蛘哒f，濾波器應(yīng)具有無限寬的定值幅頻與線性相頻。對于信號無失真?zhèn)鬏?，為常?shù)，即群延遲為常數(shù)；否則它是頻率的非線性函數(shù)。2.2 理想濾波器的特性濾波器是一個選頻裝置。所謂“理想濾波器”就是將濾波網(wǎng)絡(luò)的某些特性理想化而定義的濾波網(wǎng)絡(luò)。理想濾波器應(yīng)能無失真地傳輸有用信號，而又能完全抑制無用信號。有用信號和

24、無用信號往往占有不同的頻帶。信號能通過濾波器的頻帶稱為通帶(passband)。信號被抑制的頻帶稱為阻帶（stopband）3。理想濾波器頻率特性可寫為： (2.9)理想濾波器是物理不可實現(xiàn)系統(tǒng)。實際濾波器的頻率特性只能“逼近”理想濾波器。圖 2.2為低通濾波器的幅頻特性示意圖。圖2.2 低通濾波器的幅頻特性示意圖可見，濾波器的幅頻響應(yīng)在通帶內(nèi)不是完全平直的，而是呈波紋變化；在阻帶內(nèi)，幅頻特性也不為零，而是衰減至某個值；在通帶和阻帶之間存在一個過渡帶，而不是突然下降。通常，實際設(shè)計要求濾波器的技術(shù)指標(biāo)包括通帶波紋(passband ripple)(db)、阻帶的最小衰減系數(shù)(stopband

25、attenuation)(db)、通帶邊界頻率、阻帶邊界頻率、過渡帶寬。濾波器的通帶波紋rp為相對于頻率響應(yīng)最大點（一般為1）的下降，因此下降越少說明通帶越平直，濾波器的濾波效果越好（通常為1-5db）。濾波器的阻帶衰減rs也是相對于頻率響應(yīng)最大點（一般為1）的下降，因此下降越多說明信號在阻帶內(nèi)越不容易通過，因此濾波效果越好(通常要大于15db)。過渡帶寬越窄，濾波器的頻率特性越接近于直角矩形特性，濾波效果也越好。應(yīng)該指出的是，圖2-2給出的是低通濾波器的情況，對于高通、帶通、帶阻具有相同的參數(shù)。2.3 模擬有源濾波器傳遞函數(shù)設(shè)計原理模擬有源濾波器的設(shè)計理論通常在laplace域內(nèi)進行討論。模

26、擬有源濾波器的技術(shù)指標(biāo)可由平方幅值響應(yīng)函數(shù)形式給出，以模擬低通濾波器為例，對于單調(diào)下降的幅度特性：通帶波紋、阻帶最小衰減系數(shù)可表示成： （2.10） （2.11）如果處幅值已歸一化到1，即，和表示為 （2.12） （2.13）以上技術(shù)指標(biāo)可用圖2.3表示。圖2.3 低通濾波器的幅度特性圖中稱為截止頻率，因，。濾波器的技術(shù)指標(biāo)給定后，需要設(shè)計一個傳輸函數(shù)，希望濾波器幅度平方函數(shù)滿足給定的指標(biāo)和，而和傳遞函數(shù)h(s)存在下面關(guān)系： (2.14)即 (2.15)當(dāng)給定模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)后，由求出，再適當(dāng)?shù)胤峙淞銟O點可求出。為了使濾波器穩(wěn)定h(s)的極點必須落在平面左半平面，這是因為對于一個濾波器的

27、極點p，就可以寫成的形式，其逆laplace變換（對應(yīng)于時間域）為，若，則隨著時間增大至無窮，該濾波器的輸出將出現(xiàn)不穩(wěn)定。濾波器的零點選擇可任取的一半零點，這是因為濾波器對laplace域表示的傳遞函數(shù)并無特殊要求，但如果要求具有最小相位，零點也必須選擇在左半平面。2.3.1設(shè)計步驟用戶對設(shè)計的濾波器提出設(shè)計要求，我們可以針對濾波器的設(shè)計要求設(shè)計濾波器。通常用戶對模擬濾波器提出的要求有：（1）濾波器的性能指標(biāo)，包括截止頻率(對于低通和高通)或上下邊界頻率、，通帶波紋、阻帶衰減等；（2）濾波器的類型，通常為butterworth，chebyshev i， chebyshev ii， ellipt

28、ic或bessel濾波器。我們根據(jù)濾波器的類型通常按下列步驟設(shè)計濾波器: 給定模擬濾波器的性能指標(biāo)，如截止頻率(對于低通和高通)或上下邊界頻率、；通帶波紋、阻帶衰減以及濾波器類型等（用戶給定）。 確定濾波器階數(shù)。 設(shè)計模擬低通原型濾波器。matlab信號處理工具箱的濾波器原型設(shè)計函數(shù)有butterap， cheb1ap，cheb2ap，ellipap，besselap。 按頻率變換設(shè)計模擬濾波器（低通、高通、帶通、帶阻）。matlab信號處理工具箱的頻率變換函數(shù)有l(wèi)p2lp，lp2hp，lp2bp，lp2bs。2.3.2設(shè)計函數(shù)上面濾波器的設(shè)計步驟比較麻煩，根據(jù)設(shè)計要求求解濾波器的最小階數(shù)和邊

29、界頻率之后需要設(shè)計模擬原型濾波器并進行頻率轉(zhuǎn)換。其實matlab將這一系列的過程組合成了更為方便的設(shè)計函數(shù)：butter，cheby1，cheby2，ellip，besself。這些函數(shù)稱為模擬濾波器完全設(shè)計函數(shù)。用戶在求得濾波器的最小階數(shù)和截止頻率之后只需調(diào)用一次完全設(shè)計函數(shù)就可以自動完成所有設(shè)計過程，編程十分簡單。這種方法的程序如下:b，a=butter(n，wn， ftype， s)z，p，k=butter(n，wn， ftype， s)b，a=cheby1(n，rp，wn， ftype， s)z，p，k=cheby1(n，rp，wn， ftype， s)b，a=cheby2(n，rs，

30、wn， ftype， s)z，p，k=cheby2(n，rs，wn， ftype， s)b，a=ellip(n，rp，rs，wn， ftype， s)z，p，k=cheby2(n，rp，rs，wn， ftype， s)b，a=besself(n，wn， ftype， s)z，p，k=besself(n，wn， ftype， s)在上面的調(diào)用方式中，n為濾波器的階數(shù)，wn為濾波器的截止頻率，單位rad/s（wn0）；s為模擬濾波器，缺省時為數(shù)字濾波。ftype濾波器的類型可取為：high高通濾波器，截止頻率為wn。stop帶阻濾波器，截止頻率為wn=w1，w2 (w1w2)。ftype缺省時為低

31、通或帶通濾波器。當(dāng)設(shè)計帶通濾波器時，截止頻率也為wn=w1，w2 (w1w2)。a，b分別為濾波器的傳遞函數(shù)分子和分母多項式系數(shù)向量；z，p，k分別為濾波器的零點、極點和增益。rp，rs分別為所設(shè)計濾波器的通帶波紋和阻帶衰減， 單位為db。濾波器的傳遞函數(shù)具有下面的形式： (2.16)若濾波器為帶通或帶阻型，則濾波器的階數(shù)為2n，否則階數(shù)為n。2.4濾波器最小階數(shù)選擇2.4.1最小階數(shù)選擇原理眾所周知,濾波器的階數(shù)越小，其所需要的計算量越少，需要的設(shè)備越簡單，所需運算時間也越少。但是階數(shù)越少,濾波器的濾波效果就越差，誤差越高。因此合理選擇濾波器的階數(shù)是濾波器設(shè)計中的一個重要問題。以butter

32、worth低通模擬濾波器為例模擬低通濾波器的設(shè)計指標(biāo)為：通帶邊界頻率，阻帶邊界頻率，通帶波紋rp(db)、阻帶衰減rs(db)。當(dāng)時: (2.17)以截止頻率（幅值下降3db）為1，化為相對的相對頻率，則上式可寫成： (2.18)同理，當(dāng)時， (2.19)綜合上面兩式可得： (2.20)n應(yīng)向上取整。則n為該濾波器的最小階數(shù)【4】。表示為： (2.21)或 (2.22)2.4.2最小階數(shù)選擇函數(shù)上面給出了butterworth濾波器的最小階數(shù)和截止頻率的選擇公式及程序。其實matlab工具箱中運用濾波器的最小階數(shù)選擇公式給出了濾波器最小階數(shù)選擇函數(shù)。幾種濾波器的設(shè)計函數(shù)如下：n，wc=butt

33、ord(wp，ws，rp，rs， s); butterworth 濾波器n，wc=cheb1ord(wp，ws，rp，rs， s); chebyshev i 濾波器n，wc=cheb2ord(wp，ws，rp，rs， s); chebyshev ii 濾波器n，wc=ellipord(wp，ws，rp，rs， s); elliptic 濾波器其中，wp為通帶邊界頻率，ws為阻帶邊界頻率，單位為rad/s。rp，rs分別為通帶波紋和阻帶衰減，單位為db。分別表示通帶內(nèi)的最大允許幅值損失和阻帶下降的分貝數(shù)。s表示模擬濾波器（缺省時，該函數(shù)適用于數(shù)字濾波器）；函數(shù)返回值n為模擬濾波器的最小階數(shù)；wc

34、為模擬濾波器的截止頻率，單位為rad/s。這四個函數(shù)適用于低通、高通、帶通、帶阻濾波器。若wpws時為對于高通模擬濾波器，對于帶通和帶阻濾波器存在兩個過渡帶，wp和ws均應(yīng)該為含有兩個元素的向量，分別表示兩個過渡帶的邊界頻率。即：wp=通帶下界頻率， 通帶上界頻率，ws=阻帶下界頻率， 阻帶上界頻率。對于帶通濾波器，這四個頻帶界線的大小排列為:阻帶下界頻率通帶下界頻率通帶上界頻率阻帶上界頻率；對于帶阻濾波器，這四個頻帶界線的大小排列為:通帶下界頻率阻帶下界頻率阻帶上界頻率通帶上界頻率。這時返回值wc包括兩個元素（第一個元素小于第二個元素），分別為通帶和阻帶之間的界線頻率。函數(shù)自動判斷是帶通還是

35、帶阻濾波器。例2.1設(shè)計一個模擬butterworth濾波器，邊界頻率為100hz和150hz，通帶波紋不大于2db,阻帶衰減不小于30db。試確定最小階數(shù)n和截止頻率。%sample2.1wp=200*pi;ws=300*pi;rp=2;rs=30;%濾波器的通帶阻帶邊界頻率、通帶波紋和阻帶衰減n=ceil(log10(10(rp/10)-1)/(10(rs/10)-1)/(2*log10(wp/ws) wcp=wp/(10(rp/10)-1)(1/(2*n) wcs=ws/(10(rs/10)-1)(1/(2*n) 程序的輸出為：n = 10wcp = 645.3957wcs = 667.

36、2566程序輸出的兩個截止頻率分別為運用通帶波紋和阻帶衰減得到的。為使信號保留較多的有用信息，對于低通濾波器可選用較大的截止頻率，即667.2566。例2.2 設(shè)計一個模擬低通chebyshev i濾波器，邊界頻率為500hz和750hz，通帶波紋不大于2db,阻帶衰減不小于30db。試確定最小階數(shù)n。%sample2.2wp=1000*pi;ws=1500*pi;rp=2;rs=30;%濾波器的通帶阻帶邊界頻率、通帶波紋和阻帶衰減n=ceil(log10(10(rp/10)-1)/(10(rs/10)-1)/(2*log10(wp/ws) 程序的輸出為：n = 102.5 頻率變換前面所講的

37、模擬原型濾波器均是截止頻率為1的濾波器，在實際設(shè)計中是很難遇到的，然而它是設(shè)計其他各類濾波器的基礎(chǔ)。我們通常遇到的是截止頻率任意的低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器和帶阻濾波器。所謂頻率變換【5】是指各類濾波器（低通、高通、帶通、帶阻）和低通濾波器原型的傳遞函數(shù)中頻率自變量之間的變換關(guān)系。通過頻率變換，我們可以從模擬低通濾波器原型獲得模擬的低通濾波器、高通濾波器、帶通濾波器和帶阻濾波器。2.5.1 低通低通變換這個過程有時也稱為“頻率標(biāo)尺變換【6】”或“頻率反歸一化【6】”。其目的在于把用推導(dǎo)出的傳遞函數(shù)變成實際通帶為時的傳遞函數(shù)。實際頻率與歸一化頻率之間的關(guān)系為，而現(xiàn)在故有，這樣，只需將歸一

38、化幅頻特性（見圖2.4（a）中各相應(yīng)的頻率坐標(biāo)都乘以即得到實際頻率的幅頻響應(yīng)（見圖2.4（b）圖2.4 頻率標(biāo)尺變換幅頻特性圖對于傳遞函數(shù)，也只需將歸一化的傳遞函數(shù)中的替代，即得到實際頻率的傳遞函數(shù)2.5.2 低通高通變換理想低通和理想高通濾波器的幅值特性如圖2.5（a）、（b）所示。將兩者的特性相比較后可看出，低通的零點應(yīng)變?yōu)楦咄ǖ臒o限遠點；而低通的無限遠點應(yīng)變換為高通的零點，并且在1處，兩者都不變?？捎孟旅娴淖儞Q式完成： （2.23）圖2.5 低通高通變換幅值特性圖同時，我們得到，對于已確定的低通電路，當(dāng)作低通高通變換時，電路的結(jié)構(gòu)不變，只需將低通電路的電感換成電容，低通電路的電容換成電感

39、，電阻保持不變。2.5.3 低通帶通變換圖2.6 低通帶通變換圖由圖2.6可以看出，這種變換是要求把低通特性如（a）圖能分別移到兩邊，變換帶通特性如（b）圖，這個變換可以用下式完成 （2.24）式中：2.5.4 低通帶阻變換圖2.7（a）、（b）分別表示低通和帶阻的特性。將帶阻特性與圖3-17帶阻特性比較后，帶通和帶阻的關(guān)系與低通和高通完全相相似。在低通高通變換中，類比后可知,因此變換式推論為(2.25)式中： (2.25)圖2.7低通帶阻變換圖2.5.5 頻率變換工具函數(shù)matlab信號處理工具箱有l(wèi)p2lp，lp2hp，lp2bp，lp2bs四個頻率變換函數(shù)。下面分別敘述其使用方法及各參量

40、的意義。(1) 函數(shù)lp2lp用于實現(xiàn)由低通模擬原型濾波器至低通濾波器的頻率變換，調(diào)用格式為：bt，at=lp2lp(b，a，)其中，a，b為模擬原型濾波器的分母和分子多項式的系數(shù)，為低通濾波器所期望的截止頻率(rad/s)，若給定的單位為hz，應(yīng)乘以2。bt，at為返回的低通濾波器的分母和分子多項式的系數(shù)。該函數(shù)將模擬原型濾波器傳遞函數(shù)執(zhí)行下面變換： (2.26)式中，h(p)為低通原型濾波器傳遞函數(shù)，h(s)為低通濾波器傳遞函數(shù)。該項操作可以執(zhí)行模擬原型濾波器由截止頻率為1到指定截止頻率的變換，其原理討論以超出本課程的范圍，可參看其他信號處理參考書。下面的例子說明如何進行模擬原型低通濾波器

41、變換為截止頻率不為1的模擬低通濾波器。(2) 函數(shù)lp2hp用于實現(xiàn)由低通模擬濾波器至高通濾波器的頻率變換。調(diào)用格式：bt，at=lp2hp(b，a，)式中，為高通模擬濾波器所期望的截止頻率（rad/s），若給定的頻率單位為hz，應(yīng)乘以2。該函數(shù)將模擬原型濾波器傳遞函數(shù)執(zhí)行下面變換： (2.27)(3) 函數(shù)lp2bp用于實現(xiàn)由低通模擬原型濾波器至帶通濾波器的頻率變換。調(diào)用格式：bt，at=lp2bp(b，a，bw)式中，為帶通濾波器的中心頻率(rad/s)，bw為帶通濾波器帶寬(rad/s)。而 (2.28)式中， 為帶通濾波器的下邊界頻率，為帶通濾波器上邊界頻率。若給定的邊界頻率為hz需乘

42、以2。該函數(shù)將模擬原型濾波器傳遞函數(shù)執(zhí)行下面變換運算： (2.29)(4) 函數(shù)lp2bs用于實現(xiàn)由低通模擬原型濾波器至帶阻濾波器的頻率變換。調(diào)用格式：bt，at=lp2bs(b，a，bw)式中，為帶阻濾波器的中心頻率(rad/s)，為帶阻濾波器帶寬(rad/s)。而 (2.30)式中， 為帶阻濾波器的下邊界頻率，為帶阻濾波器上邊界頻率。若給定的邊界頻率為hz需乘以2。該函數(shù)將模擬原型濾波器傳遞函數(shù)執(zhí)行下面變換運算： (2.31)注意：輸出的帶阻濾波器和帶通濾波器是濾波器原型階數(shù)的2倍。2.6模擬濾波器的性能測試濾波器設(shè)計好之后，一般要進行各方面的測試。在正式設(shè)計濾波器之前，我們先介紹如何測試

43、濾波器的性能。對于模擬濾波器，我們已采用函數(shù)freqs來求模擬濾波器的頻率響應(yīng)，這里我們詳細(xì)介紹該函數(shù)，若其調(diào)用格式為：h，w=freqs(b，a，n)式中，b，a分別為模擬濾波器傳遞函數(shù)分子和分母多項式系數(shù)； h為對應(yīng)頻率點的傳遞函數(shù)值。上面的表示中，w和，n表示可有可無的參數(shù)，本書中的該類均為可有可無的參數(shù)。它們表示為w為頻率點的值，為可選項。n為頻率點數(shù)，為可選項，由用戶根據(jù)需要確定。若n=128，則用128個頻率點來給出此模擬濾波器的頻率特性（給定頻率點的傳遞函數(shù)值），缺省時為200。若該函數(shù)不寫輸出變量，則執(zhí)行后繪出該濾波器的幅頻響應(yīng)和相位響應(yīng)圖。此函數(shù)模擬濾波器的傳遞函數(shù)形式為：

44、(2.32)matlab工具箱還提供了兩個函數(shù)abs和angle，由頻率響應(yīng)求幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)。其中angle的輸出單位為rad?？刹捎胷ad2deg函數(shù)轉(zhuǎn)化為度。另外注意函數(shù)的幅頻響應(yīng)經(jīng)常用分貝(db)來表示。求出的幅頻響應(yīng)通過下式轉(zhuǎn)換為分貝:(db)。我們知道，除了用傳遞函數(shù)描述濾波器特性外，還可用脈沖(沖激)響應(yīng)來描述濾波器，因為在模擬濾波器中，脈沖響應(yīng)與傳遞函數(shù)是laplace變換對。此外還可以用階躍響應(yīng)（輸入一個階躍時系統(tǒng)的輸出）來描述濾波器特性。下面我們介紹在matlab中如何得到模擬濾波器的脈沖響應(yīng)和階躍響應(yīng)。將濾波器的傳遞函數(shù)表示成分子和分母多項式系數(shù)的形式，如分子和分母多項式的系數(shù)為b，a，則在matlab中用h=tf(b，a)來表示此模擬濾波器，采用y，t=impulse(h)給出該系統(tǒng)的模擬脈沖響應(yīng)。采用y，t=step(h)來得到該系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。這