必修一知識(shí)要點(diǎn)

1、必修一知識(shí)要點(diǎn)第一單元1. 集合定義：一組對(duì)象的全體 形成一個(gè)集合2. 特征：確定性、互異性、無(wú)序性 3. 表示法：列舉法1,2,3,、描述法x|P.圖示法(數(shù)軸，坐標(biāo)系和韋恩圖) 分類：有限集、無(wú)限集.4. 數(shù)集：自然數(shù)集 N整數(shù)集Z、有理數(shù)集 Q實(shí)數(shù)集R、正整數(shù)集N*、空集$ .5.關(guān)系：屬于、不屬于、包含于(或)、真包含于寺、集合相等=.6.運(yùn)算：交運(yùn)算 An B= x|x A且 x B；并運(yùn)算 AU B= x|x A或 x B;補(bǔ)運(yùn)算CU A = x|x A且x U, U為全集7.性質(zhì)：A A；$A； 若 A B, B C,貝U A C； An A= AU A= A； A n$ = $

2、；AU$= A； An B= AAU B= B A B； An CU A=$； A U CU A= I ；Cu ( C U A) = A Cu(A B) = (CuA) n (Cu B).方法：韋恩示意圖，數(shù)軸分析.注意: 區(qū)別與三、三與、a與a、0與 $ 、(1,2)與1,2； A B時(shí)，A有兩種情況：A=$與AM$ . 右集合A中有n (n N)個(gè)兀素，則集合A的所有不冋的子集個(gè)數(shù)為2 ,所有真子集的個(gè)數(shù)是2n-1,所有非空真子集的個(gè)數(shù)是2n 2。空集是指不含任何元素的集合。0、 和 的區(qū)別；0與三者間的關(guān)系。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。條件為AB，在討論的時(shí)候不要遺忘了

3、是表示集合與集合之間A 的情況。符號(hào)“，”是表示元素與集合之間關(guān)系的；符號(hào)關(guān)系的(二)含絕對(duì)值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式的解法 根軸法(零點(diǎn)分段法) 將不等式化為 ao(x-x i)(x-x 2)(x-x n)0(0” ,則找“線”在x軸上方的區(qū)間；若不等式是“m(自右向左正負(fù)相間)0)的解可以根據(jù)各區(qū)間的符號(hào)確定則不等式 a0xn aXn 1 a2xn 2an0( 0)(a0特例一元一次不等式axb解的討論； 一元二次不等式 ax2+box0(a0)解的討論.f (x).0(或f (x) 0(或 f(x)W 0)的形式，g(x)g(x)g(x)g(x)f(x) 0f(x

4、)g(x)0；f(x) 0f(x)g(x) 0g(x)g(x)g(x) 0(1)標(biāo)準(zhǔn)化：移項(xiàng)通分化為(2)轉(zhuǎn)化為整式不等式(組)3.含絕對(duì)值不等式的解法(2) 定義法：用“零點(diǎn)分區(qū)間法”分類討論.(3) 幾何法：根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義用數(shù)形結(jié)合思想方法解題.4. 一元二次方程根的分布 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a 豐 0)(1) 根的“零分布”：根據(jù)判別式和韋達(dá)定理分析列式解之(2) 根的“非零分布”：作二次函數(shù)圖象，用數(shù)形結(jié)合思想分析列式解之8 .函數(shù)的概念：設(shè) A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合 A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)

5、應(yīng)，那么就稱 f : At B為從集合A到集 合B的一個(gè)函數(shù).記作： y=f(x) , x A.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定 義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合 f(x)| x A 叫做函數(shù)的值域.1.定義域：能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域。求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是：(1) 分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零；(3) 對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大于零；(4)指數(shù)、對(duì)數(shù)式的底必須大于零且不等于1.(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有2.分式不等式的解法(1)公式法：ax b c

6、,與ax bc(c 0)型的不等式的解法意義的x的值組成的集合(6)指數(shù)為零底不可以等于零，(7)實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問(wèn)題有意義相同函數(shù)的判斷方法：定義域一致.= .= 、. = _ = = _ = - 一 =. - = _ 1表達(dá)式相同(與表示自變量和函數(shù)值的字母無(wú)關(guān))；(兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)2.值域：先考慮其定義域觀察法 單調(diào)性 配方法3.函數(shù)表達(dá)式的求法：定義法；9. 函數(shù)圖象知識(shí)歸納(1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，分離常數(shù)法判別式法 代換法圖像法等換元法；待定系數(shù)法以函數(shù) y=f(x) , (x A)中的x為橫坐標(biāo)，函數(shù)值 y為縱 A)的圖象.C上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(x , y

7、) (x ,坐標(biāo)的點(diǎn)P(x , y)的集合C,叫做函數(shù) y=f(x),(x均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x)，反過(guò)來(lái)，以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對(duì) x、y為坐標(biāo)的點(diǎn) y)，均在C上.(2)畫法：10. 區(qū)間的概念：描點(diǎn)法(1)(2)圖象變換法區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間 無(wú)窮區(qū)間(3)區(qū)間的數(shù)軸表示.11.映射一般地，設(shè) A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f ,使對(duì)于集合中的任意一個(gè)元素 x,在集合B中都有唯一確定的元素 y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng) f : A 為從集合A到集合B的一個(gè)映射。記作“ f (對(duì)應(yīng)關(guān)系)：A (原象) B (象)”對(duì)于映射f : L B來(lái)說(shuō)

8、，則應(yīng)滿足：集合A中的每一個(gè)元素，在集合 B中都有象，并且象是唯一的；集合A中不同的元素，在集合 B中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè)；不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合 A中都有原象。(1)(2)(3)12. 分段函數(shù)(1) 在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。(2) 各部分的自變量的取值情況.(3) 分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集. 補(bǔ)充：復(fù)合函數(shù)如果 y=f(u)(u M),u=g(x)(x A),則 y=fg(x)=F(x)(x A)13. 函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))(1)增函數(shù)稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。f(x1)f(x2) 對(duì)于定義域內(nèi)某一區(qū)間D內(nèi)任意的X1,X2，且

9、X1f(x2)? f(x)在D上單調(diào)遞增，? f(x)在D上單調(diào)遞減.注意定義的如下兩種等價(jià)形式：J(x1) f(x2) 0? f(x)f(x1) f(x2) x1 x2 0? f(x)設(shè) Xi, X2 a , b，且 Xix 2,那么:在a , b上是增函數(shù),在a , b上是減函數(shù).注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)；(2) 圖象的特點(diǎn)如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降 的.(3) .函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法(A) 定義法： 任取 xi, X2 D,

10、且 XiX2；魯 作差 f(x 1) f(x 2); 變形(通常是因式分解和配方); 劭 定號(hào)(即判斷差f(x 1) f(x 2)的正負(fù)); 下結(jié)論(指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性).(B) 圖象法(從圖象上看升降)增+增=增減+減=減增-減=增減-增=減(C) 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：復(fù)合函數(shù)fg(x)的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x) , y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律：“同增異減”注意：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間，不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集14.函數(shù)的奇偶性(整體性質(zhì))(1) 偶函數(shù)：一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f( x)=f(x

11、)，那么f(x)就叫做偶函數(shù).(2) 奇函數(shù)：一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f( x)= f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù).(3) 具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征：偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；確定f( x)與f(x)的關(guān)系；作出相應(yīng)結(jié)論：若 f( x) = f(x) 或 f( x) f(x) = 0 或 f (x)1，貝y f(x)是偶函數(shù)；f ( x)若 f( x) = f(x) 或 f( x) + f(x) = 0 或 f(x)1,則 f(x)是奇函數(shù).f( x)注意

12、：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若不對(duì)稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù)若對(duì)稱，(1)再根據(jù)定義判定；(2)由f(-x) f(x)= 0或f(x) /f(-x)= 1來(lái)判定；(3)利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定 奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，反之亦真，因此，也可以利用函數(shù)圖象的對(duì)稱性去判斷函數(shù)的奇偶性。 函數(shù)奇偶性的性質(zhì)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反.如果奇函數(shù)在 x 0處有意義，則f(0)0 故f(0) = 0是f(x)為奇函數(shù)的既不

13、充分也不必要條件若f(x)為偶函數(shù)，則f(偶函數(shù)：f( x) f (x)奇函數(shù)：f( x) f(x)奇、偶函數(shù)的判定：定義法：步驟：定義域一定要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱, 丄竺1，則為偶函數(shù)；滿足 f( x) f(x)f( x)若f (x) 0時(shí),f (x)0 時(shí),-x) = f(x) = f(|x|).設(shè)(a,b )為偶函數(shù)上一點(diǎn)，則(設(shè)(a,b )為奇函數(shù)上一點(diǎn)，則( a, b)a,b )也是圖象上一點(diǎn).也是圖象上一點(diǎn)滿足f( x)f( x)f (x)，或f (x)，或 f ( x) f (x)f( x) f(x)0 ,，若1，則為奇函數(shù)。例如:y x3在1, 1)上不是奇函數(shù).圖像法在公共定義域內(nèi)：

14、與奇函數(shù)的乘積15周期函數(shù) 定義：(若存在實(shí)數(shù)T (T 0)，在定義域內(nèi)總有f x T f(x),個(gè)周期。 幾個(gè)特殊的周期 ：f(x a) f (x),f(x a)f (x a)f(x a)兩個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；一個(gè)偶函數(shù) 函數(shù)。J曰六. 是奇則f(x)為周期函數(shù),f(x a)f (x a)f(x)的一個(gè)周期是T f (x)的一個(gè)周期是T f (x)的一個(gè)周期是TTf (x),f (x b),f (x b) , f (x)的一個(gè)周期是1f(x)1 f (x)f(x)的一個(gè)周期是f (x)的一個(gè)周期是|a|2|a|a b|a b|2|a|2|a|又如：若f (x)圖

15、象有兩條對(duì)稱軸x a, x 則f(x)是周期函數(shù)， 若y=f(x)是偶函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線 若y=f(x)奇函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線 若y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0),(b,0)對(duì)稱，則16.圖像的變換對(duì)稱變換：y = f (x) y =f (x) y =f (x)b 即 f(a x)2a b為一個(gè)周期x=a對(duì)稱，則f(x)是周期為2 | a|的周期函數(shù); x=a對(duì)稱，則f(x)是周期為4 | a |的周期函數(shù)；f(a x), f(b x) f(bx)y軸對(duì)稱X軸對(duì)稱原點(diǎn)對(duì)稱f(x)是周期為2a b的周期函數(shù)；(x)f ( x)f ( x)f(x)與f(2a x)的圖象關(guān)于 點(diǎn)(a, 0)對(duì)稱若

16、都有fax f b x，那么函數(shù)y f x的圖象關(guān)于直線x _b對(duì)稱；2函數(shù)y f a x與函數(shù)y f b x的圖象關(guān)于直線x b對(duì)稱；2平移變換：函數(shù)y f x a (a 0)的圖象是把y f x的圖象沿x軸向左平移a個(gè)單位得到的； 函數(shù)y f x a (a0)的圖象是把y f x的圖象沿x軸向右平移a個(gè)單位得到的；函數(shù)y fX+a(a 0)的圖象是把y fx助圖象沿y軸向上平移a個(gè)單位得到的； 函數(shù)y f x +a(a 0)的圖象是把y f x助圖象沿 y軸向下平移 a個(gè)單位得到 的。保留y軸右邊圖象，并作其關(guān)于 y軸對(duì)稱圖象翻折變換：y= f(x) Ty= f(|x|),去掉y軸左邊圖象

17、保留x軸上方圖象y= f(x) y=|f(x)|。把x軸下方圖象翻折上去0 3 1 伸0Ay= f( 3 x) y=f(x)y= Af(x).3 1 縮A1，伸17. 函數(shù)的解析表達(dá)式(1) 函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系時(shí)，一是要求出 它們之間的對(duì)應(yīng)法則，二是要求出函數(shù)的定義域(2) 求函數(shù)的解析式的主要方法有：湊配法待定系數(shù)法換元法 消參法18. 函數(shù)最大(小)值(定義見課本p36頁(yè)) 禾U用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(小)值 利用圖象求函數(shù)的最大(小)值禾U用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a , b上單調(diào)遞增，在區(qū)間

18、b , c上單調(diào)遞減則函數(shù) y=f(x)在x=b 處有最大值f(b);如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a , b上單調(diào)遞減，在區(qū)間b , c上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b);19. 二次函數(shù)的三種表示形式(1) 一般式：y= ax2 + bx+ c(a 豐 0)(2) 頂點(diǎn)式：y = a(x-m)2+ n(a豐Q)其中(m , n)為圖象頂點(diǎn)；(3) 兩根式：y = a(x x(x X2)(a 和)，其中 X1, X2為方程 f(x) = ax2 + bx + c= 0(a 和)的兩 根，即為圖象與x軸的兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo).實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2 bx c 0有實(shí)數(shù)解”轉(zhuǎn)化為“b

19、2 4ac ”，你是否注意到必須a 0 ；若原題中沒(méi)有指出是“二次”方程、函數(shù)或不等式，你是否考慮到二次項(xiàng)系數(shù)可2能為零的情形？例如：a 2x 2a 2x 0對(duì)一切x R恒成立，求a的取值范圍，你討論了a= 2的情況了嗎？ “三個(gè)二次”(二次函數(shù)、二次方程、二次不等式)的關(guān)系一一二次方程ax2 bx c 0,0時(shí)，兩根x1 x2為二次函數(shù)y ax2 bx c的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，也是二次不等式ax2 bx c 0( 0)解集的端點(diǎn)值。 求閉區(qū)間m, n上的最值。 求區(qū)間定(動(dòng))，對(duì)稱軸動(dòng)(定)的最值問(wèn)題。 一元二次方程根的分布問(wèn)題。(兩次方程根的分布問(wèn)題，抓住四點(diǎn)：“開口方向，判別式 ，對(duì)稱

20、軸位置，區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值正負(fù))20. 方程k=f(x)有解 k D(D為f(x)的值域)；21. a f(x)恒成立a： f(x) : max,； aw f(x)恒成立aW f(x) : min ；恒成立問(wèn)題的處理方法：(1)分離參數(shù)法；(2)轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根的分布列不等式(組)求解。第二單元、指數(shù)函數(shù)1根式的概念：一般地，如果 xn a，那么負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根；0的任何次方根都是x叫做a的n次方根，其中n 1,且0，記作n 0當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，n.an a ,當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),nan |a| a(a 0)(a 0)2 分?jǐn)?shù)指數(shù)幕正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義，規(guī)定:man；am(a 0,m, n,n 1)

21、1(a 0,m, n Nn m .a,n1)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕等于3 .實(shí)數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕沒(méi)有意義 丁 ；(3)(ab)rr sa a . (a 0, r, sR)4.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)y ax(a 0,且a 1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中 x是自變量,函數(shù)的定義域?yàn)?R.注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1.2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a10a0 時(shí)，y1;x0 時(shí)，0y0 時(shí)，0y1;x1.(5)在R上是增函數(shù)(5)在R上是減函數(shù)注意：利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出:(1) 在 a , b 上,f(x)ax(a0且 a1)值域是

22、f(a),f(b)或f(b),f(a)；(2) 若 x 0，則 f(x)1 ; f （x）取遍所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng) x R ;（3）對(duì)于指數(shù)函數(shù)f(x)ax(a0且 a1)，總有 f (1) a ;二、對(duì)數(shù)函數(shù)1.對(duì)數(shù)的概念：一般地，如果x aN (a0,a1），那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù),記作：x log a N ( a 底數(shù),N -真數(shù)，loga N 對(duì)數(shù)式）說(shuō)明：注意底數(shù)的限制a0，且a 1 ；xaNloga N x ；注意對(duì)數(shù)的書寫格式.logaN兩個(gè)重要對(duì)數(shù)：常用對(duì)數(shù)：以10為底的對(duì)數(shù)lgN ；自然對(duì)數(shù)：以無(wú)理數(shù) e且a 1，2 對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：如果a 0，2.71828M 0，為底的

23、對(duì)數(shù)的對(duì)數(shù)0，那么：loga(M N ) log a M +log a N ;loglog a M - loga N ；loga M nn log a Mloga m n loga n mlogam bn換底公式log a bnloga mlog c blog c a0,且a利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論:loga bloga Na1； c 0，且c 1 ； b 0).logb a3. 對(duì)數(shù)函數(shù)1、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)ylog a x(a0,且a 1）叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是（0, +s）.2、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì):規(guī)律：在第一象限內(nèi)，自左向右， 圖象對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)逐漸變大.三幕函數(shù)1、幕函數(shù)定義：一般地，形如y x (a R)的函數(shù)稱為幕函數(shù)，其