待定系數(shù)法求特殊數(shù)列的通項公式

1、靖州一中蔣利在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，經(jīng)常碰到一些特殊數(shù)列求通項公式，而這些 問題在高考和競賽中也經(jīng)常出現(xiàn)，是一類廣泛而復(fù)雜的問題，歷屆 高考常以這類問題作為一道重大的試題。因此，在教學(xué)中，針對這 類問題，提供一些特殊數(shù)列求通項公式范例，幫助同學(xué)們?nèi)嬲莆?這類問題及求解的一般方法。求數(shù)列的通項公式，最為廣泛的的辦法是：把所給的遞推關(guān)系 變形，使之成為某個等差數(shù)列或等比數(shù)列的形式，于是就可以由此 推得所給數(shù)列的通項公式。求解的關(guān)健在于變形的技巧，而變形的 技巧主要在于引進(jìn)待定系數(shù)。其基本原理是遞推關(guān)系兩邊加上相同 的數(shù)或相同性質(zhì)的量，構(gòu)造數(shù)列的每一項都加上相同的數(shù)或相同性 質(zhì)的量，使之成為等差或等比數(shù)

2、列。具體的求解過程詳見示例。 第一類別：an=Aan-i+B例1設(shè)x1 =2,且x n =5x n 1 +7.求數(shù)列的通項公式解：所給的遞推公式可變形為x n+m=5x n 1+7+m=5(x n 1 + - m ),令 m=7 m.貝U m=?5 55 54于是x n + 7 =5(x n 1 + 7) ， x n + 是等比數(shù)列，其首項為4447 X1 + _ =15,公比為q=5.于是x n7+ =155n14444所以Xn15匚 n 1= 5-744例2設(shè)X1=1,且 x n =3xn 1(n=2，3，4，)2xn 15求數(shù)列Xn 的通項公式解：所給的遞推公式可變?yōu)椋?52Xn3xn

3、131m5, 12 3m(),令 m=23m,則 m=1Xn3xn 15555其首項是丄X11=2,公比是5 q=3于是丄1=2Xn所求的Xn3n12?5n 13n 1第二類別：a=Aa n- 1 +Ba n-2例3設(shè)xi=1 ,X2=5,X n=13Xn-1-22Xn-2.(n=3,4,)求數(shù)列 Xn 的通項公式解：所給的遞推公式可變?yōu)閄n+mXn-1= ( m+13) Xn-1-22X n-2= ( m+13) ( Xn-1-旦 Xn-2 )m 13令 m=22 ,貝U m= 2,或 m= 11 m 13于是 Xn-2X n-1 =11(Xn-1-X n-2 ) ,X n-11x n-1=

4、2(X n- 1-X n-2) Xn-2X n-1 , X-11X n-1 都是等比數(shù)列，其首項與公比分別為X2-2x 1=3,q=11 oX2-11x 1 =-6,q=2 o于是丄15（丄1） o 丄1是等比數(shù)列，Xnxn 3 x于是 Xn-2x n-1 = 3 11n-2 , Xn-11x n-1=-6 22 o由此消去 Xn-1 可得 Xn = (11 n-1+2n)/3例 4:設(shè) X1=1,X 2=2 o 且 Xn=7x n-1+18x n-2 ( n=3,4,)求數(shù)列 Xn 的通項公式18 、n- 1+X n - 2)m 7解：所給的遞推公式可變?yōu)閄n+mXn-1=(m + 7)X

5、n-l+18x n-2=(m + 7)(x18令 m=，貝U m=2,或 m=-9m 7Xn+2X n-1=9(X n-1+2Xn-2),X n-9X n-1=-2(X n- 1-9X n-2)Xn+2Xn-1 與 Xn-9X n-1 都是等比數(shù)列，其首項與公比分別為n-2X2+2x i=4, q=9 o X2-9x 1=-7 , q=-2Xn+2Xn-1=4 9n-2 , Xn-9x n-1=-7(-2)由此消去 Xn-1 可得 Xn= ( 4 9n-1+7 (-2) n-1) /11第三類別：an=Aan-i+f（n）例 5 設(shè) X1=1 ,且 xn=3x n-1 + 5n + 1 ( n

6、=2,3,)求數(shù)列 xn 的通項公式解：X2=14，于是（1）把n改成n-1得Xn- 1=3x n-2 + 5(n-1)+ 1(2)兩式相減得 Xn-X n- 1=3(X n-1 -X n-2)+ 55Xn-X n- 1+m = 3(X n-1-X n-2)+ 5 + m = 3(X n-1-X n-2 +35 -1+=3(x2m5m m 5令 m=,貝U m=。于疋 Xn-X n332 Xn-X n- 1 + 5 是等比數(shù)列，25、n- 1-X n- 2+ )2其首項為X2-X 1 + - = 1,其公比2 2531n-2于 疋 X n -X n - 1 += 32 2由(1 )與(3 )消

7、去Xn-1得q=3。(3)Xn=(31 3n-1-10 n-17)/4例 6:設(shè) X1 =4,且 xn=5x n-1 + 7n 3 ( n=2,3,(1 )求數(shù)列 Xn 的通項公式方法1解：X2=31,于是（1）把n改成n-1得Xn-1=5Xn-2 + 7(n-1) 3兩式相減得 Xn-X n- 1=5(X n-1-X n- 2)+ 7Xn-X n-1 + m = 5(x n-1-X n-2)+ 7 + m = 5(X n-1-X n-2 + -一 )5,貝U m = 7。 Xn-x n-1 + 7 =5(x n- 1-X n-2 + -44人 7 m令m=5f7)Xn-X n-1+4是等比數(shù)

8、列，其首項為X2-X47 1 +4115其公比q=5。7115n-2于是 Xn-X n- 1+= 5444(3)1 nXn=(23 5 -28n-23)16方法2 :所給的遞推公式可變?yōu)锳n Bx n + An + B=5(x n-1 +5 7n5-A+B=5設(shè) A(n-1) + B= 一-575比較系數(shù)得A=A由此求得A=7 ,4Xn + 28L23=5(x16其公比7n 3)53B=。于是16n-1 + 28(n1)23 )，于是1628口3 是等比數(shù)列，其首項為X1 + 51=11516 16 1628n23115，- n-1q=5 o 于是 x n +16-516Xn=丄(23 5n-

9、28n-23)16例 7,設(shè) X1=2,且 Xn=3xn-1 + 2n2 + 1 ,求數(shù)列 x所以的通項公式解：所給的遞推公式可變?yōu)?Xn + An + Bn+ C=3(x2I An Bn C n- 1 +32n23設(shè) A(n-1) 2 + B(n-1)2An Bn C + C=32n2 13比較系數(shù)得：A= 2Bc 1,-2A+B=, A-B+C=匕3 33由此求得A=1 , B=3 , C=- o于是22 2Xn + 2n 6n 7=3(X n-1 +2(n1)6(n1)7)2 2x+ 26n 7 是等比數(shù)列，其首項為xi + 15=19,其公比2 2q=3所以22n 6n 719&-1=

10、 3 o2 2Xn=(19 3n-1 - 2n2- 6n - 7)2例 8:設(shè) xi =1 ,且 Xn=-x n-i+3 2n, ( n=2,3,)(1)求數(shù)列 Xn 的通項公式解：X2=-x 1 + 12=11于是(1)把n改成n-1得n-1X n-1=-X n-2+3 2,2xn-1=-2x n-2+3 2n(2)(2)得 x-2x n- 1=-X n- 1+2X n-2。即 Xn=X n- 1+2Xn-2x n + mxi-1=(m+1)(x n-1 +Xn-2)。m 12令 m= ，貝U m=1,m=-2 m 1于是：Xn+X n- 1=2(X n- 1+Xn-2)； Xn-2Xn-1=-(X n-1-2Xn-2) Xn+Xn-1 與 Xn-2X n-1 都是等比數(shù)列，其首項與公比分別為首項X2+X1=12 ，公比q=2。首項 x 2-2x 1=9 ,公比 q=-1 。Xn+Xn- 1=12n- 2-2 ，Xn-2X n-1=9(-1)n-2由此消去Xn-1 得 Xn=2n1+3(-1)練習(xí)：1設(shè)X1=5,且Xn=7xn-1+8 n+3 , ( n=2,3,)求數(shù)列 X