繪制根軌跡的基本法則

1、4.2繪制根軌跡的基本法則本節(jié)討論根軌跡增益 K (或開環(huán)增益 K)變化時(shí)繪制根軌跡的法則。熟練地掌握這些 法則，可以幫助我們方便快速地繪制系統(tǒng)的根軌跡，這對(duì)于分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)是非常有益的。法則1根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)：根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)；如果開環(huán)零 點(diǎn)個(gè)數(shù)m少于開環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù) n ,則有(n m)條根軌跡終止于無窮遠(yuǎn)處。125根軌跡的起點(diǎn)、終點(diǎn)分別是指根軌跡增益式(4-9)改寫為K 0和時(shí)的根軌跡點(diǎn)。將幅值條件*K-nl(S Pj)|j 1ml(s Zi) |i 1可見當(dāng)s= pj時(shí)，K*0 ；當(dāng)s= zi 時(shí)，K*法則2根軌跡的分支數(shù),對(duì)稱性和連續(xù)性n mPj |s|1|j 1s

2、(4-11)mzi|1 -|i 1s;當(dāng)|s|且n m時(shí)，*K。根軌跡的分支數(shù)與開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m、開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n中的大者相等，根軌跡連續(xù)并且對(duì)稱于實(shí)軸。根軌跡是開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零變到無窮時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)在s平面上的變化軌跡。因此,根軌跡的分支數(shù)必與閉環(huán)特征方程根的數(shù)目一致，即根軌跡分支數(shù)等于系統(tǒng)的階數(shù)。實(shí)際系統(tǒng)都存在慣性，反映在傳遞函數(shù)上必有 n m。所以一般講，根軌跡分支數(shù)就等于開環(huán)極點(diǎn) 數(shù)。實(shí)際系統(tǒng)的特征方程都是實(shí)系數(shù)方程，依代數(shù)定理特征根必為實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)。因此 根軌跡必然對(duì)稱于實(shí)軸。由對(duì)稱性，只須畫出 s平面上半部和實(shí)軸上的根軌跡，下半部的根軌跡即可對(duì)稱畫出。特征方程中的某些系數(shù)是根軌跡增益K

3、的函數(shù)，K從零連續(xù)變到無窮時(shí)，特征方程的系數(shù)是連續(xù)變化的，因而特征根的變化也必然是連續(xù)的，故根軌跡具有連續(xù)性。法則3實(shí)軸上的根軌跡：實(shí)軸上的某一區(qū)域，若其右邊開環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為 奇數(shù)，則該區(qū)域必是根軌跡。設(shè)系統(tǒng)開環(huán)零、極點(diǎn)分布如圖4-5所示。圖中，So是實(shí)軸上的點(diǎn)，i(i 1,2,3)是各開環(huán)零點(diǎn)到So點(diǎn)向量的相角，j (j1,2,3,4)是各開環(huán)極點(diǎn)到So點(diǎn)向量的相角。由圖4-5可見，復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)到實(shí)軸上任意一點(diǎn)（包括S）點(diǎn)）的向量之相角和為2 。對(duì)復(fù)數(shù)共軛零點(diǎn)，情況同樣如此。因此，在確定實(shí)軸上的根軌跡時(shí)，可以不考慮開環(huán)復(fù)數(shù)零、極點(diǎn)的影響。圖4-5中，So點(diǎn)左邊的開環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)到

4、So點(diǎn)的向量之相角均為零，而 So點(diǎn)右邊開環(huán)實(shí)數(shù) 零、極點(diǎn)到So點(diǎn)的向量之相角均為，故只有落在So右方實(shí)軸上的開環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)，才有可能對(duì)So的相角條件造成影響， 且這些開環(huán)零、極點(diǎn)提供的相角均為。如果令 i代表So點(diǎn)之右所有開環(huán)實(shí)數(shù)零點(diǎn)到 So點(diǎn)的向量相角之和，j代表So點(diǎn)之右所有開環(huán)實(shí)數(shù)極點(diǎn)到So點(diǎn)的向量相角之和，那么，So點(diǎn)位于根軌跡上的充分必要條件是下列相角條件成moii 1noj (2kj 11)(k o, 1, 2,)由于與表示的方向相冋，mo于是等效有：noii 1j (2kj 11)(k o,1,2,)式中，mo、no分別表示在So右側(cè)實(shí)軸上的開環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)個(gè)數(shù)。式中（2k1）

5、為奇數(shù)。于是本法則得證。不難判斷，圖4-5實(shí)軸上，區(qū)段 Pi,Zi , P4,Z2以及 ，Z3均為實(shí)軸上的根軌跡。法則4 根軌跡的漸近線：當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)n大于開環(huán)零點(diǎn)個(gè)數(shù) m時(shí)，有n m條根軌跡分支沿著與實(shí)軸夾角為a、交點(diǎn)為 a的一組漸近線趨向于無窮遠(yuǎn)處，且有(2k 1)an mnPjj 1mZii 1k=0，土 1, 2,n m(4-12)證明漸近線就是STS時(shí)的根軌跡，因此漸近線也一定對(duì)稱與實(shí)軸。根軌跡方程式（4-8 ）可寫成G(s)H(s)m(s Zi)i 1=KPj)(smm 1* Sbm 1Snn 1san 1 sbis bo(4-13 )式中，bm1(i 1Zi),anpj）分

6、別為系統(tǒng)開環(huán)零點(diǎn)之和及開環(huán)極點(diǎn)之和。當(dāng)K 時(shí)，由于m，應(yīng)有s宀8。式（4-13 ）可近似表示為an1 bm 1an 1bm 1sbm 1即有an 1 bm 1將上式左端用牛頓二項(xiàng)式定理展開，并取線性項(xiàng)近似，有s 1 an 1 bm 1(n m)sa n 1 bm 1以11 ej(2k 1)，k 0,1,2,代入上式，有s1. 2k 1jK n m e n m這就是當(dāng)s時(shí)根軌跡的漸近線方程。它表明漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為有nmPj Zij 1i 1sK* n_m(2k 1)an m(k=0, 1 , 2)本法則得證。例4-2單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)K (s1)s(s 4)(s2 2s

7、2)試根據(jù)已知的基本法則，繪制根軌跡的漸近線。解 將開環(huán)零、極點(diǎn)標(biāo)在s平面上，如圖4-6所示。根據(jù)法則，系統(tǒng)有4條根軌跡分支，且有n m=3條根軌跡趨于無窮遠(yuǎn)處，其漸近線與實(shí)軸 的交點(diǎn)及夾角為4 1 j1 1 j1 1j*j* FJ/ 丄2 j* X:- f 1LIS4-6 F環(huán)辛板點(diǎn)及即i近咗圖三條漸近線如圖4 1(2k1)4 14-6所示。漸近線與實(shí)軸夾角為法則5根軌跡的分離點(diǎn)：兩條或兩條以上根軌跡分支在 s平面上相遇又分離的點(diǎn),稱為根軌跡的分離點(diǎn)，分離點(diǎn)的坐標(biāo)d是方程(4-14)n 1 m 1j 1 d Pj i 1 d Zi的解。證明由根軌跡方程（4-8 ），有mK* (s 乙)1 丄

8、 0(s Pj)j i所以閉環(huán)特征方程為D(s)(sj 1Pj)mK* (s Zi)0i 1m(s Pj)j 1(4-15)K* (s Zi)i 1根軌跡在s平面相遇，說明閉環(huán)特征方程有重根出現(xiàn)。設(shè)重根為d,根據(jù)代數(shù)中重根條件，有d nD(s)-ds j 1(s Pj)*Kim(sZi)01或d n (sPj)d K m(s Zi)(4-16)ds j 1dsi 1將式（4-16 ）、式（4-15 ）等號(hào)兩端對(duì)應(yīng)相除、得dnd m(sPj)(s Zi)dsj 1ds i 1nm(s Pj)(s Zi)j1i 1nmd In(sPj)d ln (s Zi)j 1i 1(4-17)dsds有nd

9、ln(sPj)m dln(s z)j 1dsi 1dsn1m1于是有j 1sPji 1 sZi從上式解出的s中，經(jīng)檢驗(yàn)可得分離點(diǎn) d。本法則得證。例4-3控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)H(s)K*(s 2)s(s 1)(s 4)試概略繪制系統(tǒng)根軌跡。解 將系統(tǒng)開環(huán)零、極點(diǎn)標(biāo)于 s平面，如圖4-7所示。根據(jù)法則，系統(tǒng)有 3條根軌跡分支，且有 n m=2條根軌跡趨于無窮遠(yuǎn)處。根軌跡繪制如下:實(shí)軸上的根軌跡：根據(jù)法則3,實(shí)軸上的根軌跡區(qū)段為:4, 2，漸近線：根據(jù)法則1,04,根軌跡的漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)和夾角為1423 1(2k1)3 1分離點(diǎn)：根據(jù)法則5，分離點(diǎn)坐標(biāo)為1d經(jīng)整理得(d 故 d14，

10、d23.414， d3d 0.586。根據(jù)上述討論，可繪制出系統(tǒng)根軌跡如圖24)(d0.5862) 0，顯然分離點(diǎn)位于實(shí)軸上 1,0間，故取4d4-7所示。例斗3的計(jì)算程序TLUin= 12;den=conv( 1 0 , c onv ( 1 11 , 1 4 );xic custnunideii)法則6根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：若根軌跡與虛軸相交，意味著閉環(huán)特征方程出現(xiàn)純虛根。故可在閉環(huán)特征方程中令 s j ，然后分別令方程的實(shí)部和虛部均為零，從中求得交 點(diǎn)的坐標(biāo)值及其相應(yīng)的 K值。此外，根軌跡與虛軸相交表明系統(tǒng)在相應(yīng)K值下處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，故亦可用勞斯穩(wěn)定判據(jù)去求出交點(diǎn)的坐標(biāo)值及其相應(yīng)的K值。此

11、處的根軌跡增益稱為臨界根軌跡增益。例4-4某單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)Ks(s 1)( s 5)試概略繪制系統(tǒng)根軌跡。解根軌跡繪制如下:實(shí)軸上的根軌跡：漸近線：分離點(diǎn)：經(jīng)整理得解出5，1,0153(2k1)33d212d50d13.5 d20.47顯然分離點(diǎn)位于實(shí)軸上1,0 間，故取 d 0.47。與虛軸交點(diǎn):方法1系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為D(s) s3 6s2 5s K 0 令s j ，則32*32*D(j ) (j )6(j )5(j ) K j 6 j5 K 0令實(shí)部、虛部分別為零，有K*6 20530解得05j . 5，對(duì)應(yīng)的根軌跡K*0 K*30顯然第一組解是根軌跡的起點(diǎn)，故舍去。

12、根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為增益K 30 o例的計(jì)算程序程序1 ;den=con vf 1, 0 , aonv ( 1 11 r 1 5); ilciciistiiuniden)方法3s2s1s0s用勞斯穩(wěn)定判據(jù)求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。列勞斯表為30時(shí),6(30 K*) 6*K1s行兀素全為零，系統(tǒng)存在共軛虛根。共軛虛根可由s2行的輔助方程求得:F(s) 6s2 KK* 300j .5為根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。根據(jù)上述討論，可繪制出系統(tǒng)根軌跡如圖4-8所示。法則7 根軌跡的起始角和終止角：根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸的夾角，稱為起始角，以Pi表示；根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸的夾角，稱為

13、終止角，以z表示。起始角、終止角可直接利用相角條件求出。例4-5設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s) K (s5)(s 2 j)(s 2 j)s(s 2.5)(s 0.5j1.5)(s 0.5j1.5)試概略繪制系統(tǒng)根軌跡。解 將開環(huán)零、極點(diǎn)標(biāo)于 s平面上，繪制根軌跡步驟如下:實(shí)軸上的根軌跡：圖i-s根軌還圖1.5,0 , 2.5K =時(shí)的一 起始角和終止角：先求起始角。設(shè)s是由p2出發(fā)的根軌跡分支對(duì)應(yīng)點(diǎn)，s到p2的距離無限小，則矢量 p2s的相角即為起始角。作各開環(huán)零、極點(diǎn)到s的向量。由于除P2之外，其余開環(huán)零、極點(diǎn)指向s的矢量與指向P2的矢量等價(jià),所以它們指向P2的矢量等價(jià)于指向s的矢量。根據(jù)開環(huán)

14、零、極點(diǎn)坐標(biāo)可以算出各矢量的相角。由相角條件（4-10）得解得起始角mnij (123)( p2124)(2k1)i 1j 13)圖4T根軌跡的起始角和線止角同理，作各開環(huán)零、極點(diǎn)到復(fù)數(shù)零點(diǎn)（2 j ）的向量，可算出復(fù)數(shù)零點(diǎn)（2 j）處的終止角 2=145 （見圖4-9）。作出系統(tǒng)的根軌跡如圖4-10所示。 例 4-5 Alai lab 程序 zero -15-2-i-2+i;pole - 0 -2.5 *0.5i-j*1.5 -0.5-j*1.5; g = zpk(zero.pol&l); rlocu5g); grid:法則8 根之和：當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G（s）H（s）的分子、分母階次差（n

15、 m ）大于 等于2時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)之和等于系統(tǒng)開環(huán)極點(diǎn)之和。n m 2p1, p2, pn為系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)。nniPii 1i 1式中，1, 2,n為系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)（特征根）證明設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G（s）H（s）:sy 雹K*sm bm1K*sm1K*b0nn 1n 2san 1 sa?sa。n式中an 1( Pi)i 1（4-18）n 2，系統(tǒng)閉環(huán)特征式為D(s)m 2，即 mnan 1 snan 1sn(snsan 2s(an 2K*)sna。)2(K*sm(a。 K(s1)(sK*bm1Sm1K*bo)bo)=2） （s另外，根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng) n個(gè)閉環(huán)特征根n可得系統(tǒng)閉環(huán)特征式為n(i)

16、i 1(4-19)D(s) sn (i)sn 1i 1可見，當(dāng)n m 2時(shí)，特征方程第二項(xiàng)系數(shù)與K無關(guān)。比較系數(shù)并考慮式（4-18 ）有nn（i）（ Pi ） an i（4-20 ）i 1i 1式（4-20 ）表明，當(dāng)n m 2時(shí)，隨著K的增大，若一部分極點(diǎn)總體向右移動(dòng)，則另一部分極點(diǎn)必然總體上向左移動(dòng)，且左、右移動(dòng)的距離增量之和為0。利用根之和法則可以確定閉環(huán)極點(diǎn)的位置，判定分離點(diǎn)所在范圍。例4-6某單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)Ks(s 1)(s 2)試概略繪制系統(tǒng)根軌跡，并求臨界根軌跡增益及該增益對(duì)應(yīng)的的三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)。解 系統(tǒng)有3條根軌跡分支，且有 n m=3條根軌跡趨于無窮遠(yuǎn)處。繪

17、制根軌跡步驟 如下：軸上的根軌跡：,2 ， 1,0漸近線：1 2 ,a13(2 k 1)a33 ,分離點(diǎn)：11 10dd 1 d 2經(jīng)整理得3d2 6d 20故d11.577d20.423顯然分離點(diǎn)位于實(shí)軸上1,0間，故取d 0.423。由于滿足n m 2，閉環(huán)根之和為常數(shù)，當(dāng)K增大時(shí)，兩支根軌跡向右移動(dòng)的速度慢于-支向左的根軌跡速度，因此分離點(diǎn)d0.5是合理的。與虛軸交點(diǎn)：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為D(s) s33s22s K*0令sj ，則D(j ) (j )33(j)22(j) K令實(shí)部、虛部分別為零，有解得32*j 3 j2 K 0K*3 202 3 00 ,2K*0 K*6顯然第一組解是根軌

18、跡的起點(diǎn)，故舍去。根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為1,2jJ2，對(duì)應(yīng)的根軌* * *跡增益為K 6，因?yàn)楫?dāng)0K6是系統(tǒng)穩(wěn)定，故K 6為臨界根軌跡增益，根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為對(duì)應(yīng)的兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)，第三個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)可由根之和法則求得：0 1 21231 j 2 f2系統(tǒng)根軌跡如圖 4-11所示。力例斗的計(jì)算程序num - 1;den = ccnv(lf0fconv(1 1,1 2);docunutrLdeti)根據(jù)以上繪制根軌跡的法則，不難繪出系統(tǒng)的根軌跡。圖很執(zhí)跡圖具體繪制某一根軌跡時(shí)， 這8條法則并不一定全部用到， 要 根據(jù)具體情況確定應(yīng)選用的法則。 為了便于查閱，將這些法 則統(tǒng)一歸納在表 4-2之中。表4-2繪制根軌跡的基本法則序號(hào)內(nèi)容法則1根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)。2根軌跡的分支數(shù)，根軌跡的分支數(shù)與開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m和開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n中的大者相等，根軌對(duì)稱性和連續(xù)性跡是連續(xù)的，并且對(duì)稱于實(shí)軸。實(shí)軸上的某一區(qū)域，若其右端開環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)，則該3實(shí)軸上的根軌跡區(qū)域必是180根軌跡。*實(shí)軸上的某一區(qū)域，若其右端開環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)，貝U該區(qū)域必是0根軌跡。漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)nPjj 1m乙i 1anm4