圓錐曲線的中離心率及其范圍地求解專(zhuān)題(教師版)

1、 實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案圓錐曲線中離心率及其范圍的求解專(zhuān)題【高考要求】1熟練掌握三種圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)，并靈活運(yùn)用它們解決相關(guān)的問(wèn)題。2掌握解析幾何中有關(guān)離心率及其范圍等問(wèn)題的求解策略；3靈活運(yùn)用教學(xué)中的一些重要的思想方法（如數(shù)形結(jié)合的思想、函數(shù)和方程的思想、分類(lèi)討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想學(xué)）解決問(wèn)題?！緹狳c(diǎn)透析】與圓錐曲線離心率及其范圍有關(guān)的問(wèn)題的討論常用以下方法解決：（1）結(jié)合定義利用圖形中幾何量之間的大小關(guān)系；（2）不等式（組）求解法：利用題意結(jié)合圖形（如點(diǎn)在曲線內(nèi)等）列出所討論的離心率（a,b,c）適合的不等式（組），通過(guò)解不等式組得出離心率的變化范圍；（3）函數(shù)值域求解法：把所討

2、論的離心率作為一個(gè)函數(shù)、一個(gè)適當(dāng)?shù)膮?shù)作為自變量來(lái)表示這個(gè)函數(shù)，通過(guò)討論函數(shù)的值域來(lái)求離心率的變化范圍。（4）利用代數(shù)基本不等式。代數(shù)基本不等式的應(yīng)用，往往需要?jiǎng)?chuàng)造條件，并進(jìn)行巧妙的構(gòu)思；（5）結(jié)合參數(shù)方程，利用三角函數(shù)的有界性。直線、圓或橢圓的參數(shù)方程，它們的一個(gè)共同特點(diǎn)是均含有三角式。因此，它們的應(yīng)用價(jià)值在于： 通過(guò)參數(shù)簡(jiǎn)明地表示曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)； 利用三角函數(shù)的有界性及其變形公式來(lái)幫助求解范圍等問(wèn)題；（6）構(gòu)造一個(gè)二次方程，利用判別式 0。2.解題時(shí)所使用的數(shù)學(xué)思想方法。（1）數(shù)形結(jié)合的思想方法。一是要注意畫(huà)圖，草圖雖不要求精確，但必須正確，特別是其中各種量之間的大小和位置關(guān)系不能倒置；二

3、是要會(huì)把幾何圖形的特征用代數(shù)方法表示出來(lái)，反之應(yīng)由代數(shù)量確定幾何特征，三要注意用幾何方法直觀解題。（2）轉(zhuǎn)化的思想方漢。如方程與圖形間的轉(zhuǎn)化、求曲線交點(diǎn)問(wèn)題與解方程組之間的轉(zhuǎn)化，實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，動(dòng)點(diǎn)與不動(dòng)點(diǎn)間的轉(zhuǎn)化。（3）函數(shù)與方程的思想，如解二元二次方程組、方程的根及根與系數(shù)的關(guān)系、求最值中的一元二次函數(shù)知識(shí)等。精彩文檔 實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案（4）分類(lèi)討論的思想方法，如對(duì)橢圓、雙曲線定義的討論、對(duì)三條曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的討論等?！绢}型分析】xy22c : - =1(a 0,b 0)f f、c，拋物線 的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，1. 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為a b212122cccppf f fc準(zhǔn)線與

4、雙曲線的左準(zhǔn)線重合，若雙曲線與拋物線的交點(diǎn) 滿足，則雙曲線的離1122121心率為（）2 33232 2abcda2c4a2x = -y =2x；解：由已知可得拋物線的準(zhǔn)線為直線， 方程為cbp(c, )b4a2b222( ) =cb = 2a = 2-1 = 2e=，3e2由雙曲線可知，222，aaca2x2 y2+a b= 1（ a b 0f2f f，以 、 為邊作正三角形，若橢圓恰2橢圓f、）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為2212e好平分三角形的另兩邊，則橢圓的離心率 為（ b ）3 +13 -123 + 24( 2- 3 )abcd4p解析：設(shè)點(diǎn) 為橢圓上且平分正三角形一邊的點(diǎn)，如圖，yp211 2

5、e =xof22c| f f |22e = 3 -1，故選 b12a | pf | + | pf |3 +112變式提醒：如果將橢圓改為雙曲線，其它條件不變，不難得出離心率e = 3 +1x2y2- =1 (a 0,b 0)-1的直線，該直線與雙曲線3. （09 浙江理）過(guò)雙曲線a的右頂點(diǎn) 作斜率為a b22uuurabuuurbc，則雙曲線的離心率是 (12b,c=的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為若)35102abcd精彩文檔 實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案( )a a,0x + y - a = 0【 解 析 】 對(duì) 于， 則 直 線 方 程 為， 直 線 與 兩 漸 近 線 的 交 點(diǎn) 為 b ， c ，uuur)

6、 bc = (uuura2aba2ab2a b22a b2 ab ab b,c(,-a -b a -b,-), ab = -,， ，+ b a + ba -b2 a -b22 a + b a + b a2uuur uuur2ab = bc,4a = b ,e = 5因此答案：c22x2y2+ =1 a b 0f1x，f為右焦點(diǎn)，4. （09 江西理）過(guò)橢圓p()的左焦點(diǎn) 作 軸的垂線交橢圓于點(diǎn)2a b222311d3若f pf = 60o ，則橢圓的離心率為（） abc23212b3b2c32p(-c, )f pf = 60o 有=2a,e = =從而可得【解析】因?yàn)?，再由，故選 baaa 3

7、12x2y2- =1 a 0 b 0f，ff，過(guò) 作傾斜角為o305 .（08 陜西理）雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別是2a b2121mmf點(diǎn)，若x的直線交雙曲線右支于垂直于 軸，則雙曲線的離心率為（ b）23d632abc3xy222-= 1的兩個(gè)焦點(diǎn)到一條準(zhǔn)線的距離之比為 3：2,則雙曲線的離心率是（d）6 .（08 浙江理）若雙曲線ab235（a）3（b）5（c）（d）77.（08 全國(guó)一理）在abc中，ab = bca，bc，cos b = -若以為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn) ，則1838e =該橢圓的離心率fbfb8.（10 遼寧文）設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為 ，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為 ,如果直線與該雙曲

8、線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為（）3 +15 +123（a）（b）（c）（d）22x2 y2解析：選 d.不妨設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在 x 軸上，設(shè)其方程為：-a2 b2=1(a 0,b 0)，bbcbbf(c,0), b(0,b)fb 的斜率為：- - = -( ) 1，則一個(gè)焦點(diǎn)為一條漸近線斜率為： ，直線，aac精彩文檔 實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案c= =a5 +1b = acc - a - ac = 0e，解得222.2fcbbf9.（10 全國(guó)卷 1 理）已知 是橢圓 的一個(gè)焦點(diǎn)， 是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段 的延長(zhǎng)線uuurbfuuurfdcdc，則 的離心率為_(kāi)交 于點(diǎn) ，且233解析：答案：

9、x2 y2a2 b2如圖，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)不妨設(shè) b 為上頂點(diǎn)，f 為右焦點(diǎn)，設(shè) d(x，y)由uuur uuurfdbf，得( ， )2(xc，y)，cb23cx =c = 2(x - c)3cb， )22，d(即，解得-b = 2yb2y = -23b( c) (- )22c213c322+由 d 在橢圓上得：，e.1，a2b2a2a3u ur u urbf = 2fd3| bf |= b + c = add y作【解析 1】如圖，22,則由軸于點(diǎn) d1，得,31| of | | bf | 2333c=| dd | | bd | 3| dd |= | of |= c x =,

10、所以,即,由橢圓的第二定義得2221d1a 3c23c22a| fd |= e( - ) = a -c 23c23又由| bf |= 2 | fd |= -a 2a, e =,得a3x2y( )2+ =1d x , y【解析 2】設(shè)橢圓方程為第一標(biāo)準(zhǔn)形式，設(shè)，f 分 bd 所成 的比為 2，a b22220 + 2x1+ 233b + 2y1+ 23y -b 30 -bbx =c x = x = c; y = y = -，代入22c222222cc29 c 1 b232+4 a 4 b=1 =e，322精彩文檔 實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案x y22f，f110. （07 全國(guó) 2 理）設(shè)a分別是雙曲線的左、

11、右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn)，使a b222510f af190 af 3 afo 且b，則雙曲線的離心率為（ b ） a 22212155c d 2af - af = 2af = 2a2c10102? a? e解122(af ) + (af ) = (2c)22212x y221 (a 0 ,b 0)的左焦點(diǎn)為 f，若過(guò)點(diǎn) f 且傾斜角為 45o 的直線與橢圓交于 a 、b 兩11. 橢圓a b22點(diǎn)且 f 分向量 ba 的比為 2/3，橢圓的離心率 e 為:。本題通法是設(shè)直線方程，將其與橢圓方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理將向量比轉(zhuǎn)化為橫坐標(biāo)的比。思路簡(jiǎn)單，運(yùn)算繁瑣。下面介紹兩種簡(jiǎn)單解法。a ex 3a

12、a ex 2,x yx ,y解法（一）：設(shè)點(diǎn) a，b，由焦半徑公式可得aabbb2(a ex) 3(a ex)2(a ex a ex ) a ex則，變形，ababb2252 (e x x)a ex45o ， 所 以 有 2eabab， 所 以所 以因 為 直 線 傾 斜 角 為2abb25e提示：本解法主要運(yùn)用了圓錐曲線焦半徑公式，借助焦半徑公式將向量比轉(zhuǎn)化為橫坐標(biāo)的關(guān)系。焦半徑是圓錐曲線中的重要線段，巧妙地運(yùn)用它解題，可以化繁為簡(jiǎn)，提高解題效率。一般來(lái)說(shuō)，如果題目中涉及的弦如果為焦點(diǎn)弦，應(yīng)優(yōu)先考慮焦半徑公式。解法（二）：11 2beadbfafababe1e 51 3ee 522acada

13、bbeac精彩文檔 實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案1 3 ab - ab =e 5 e 51 22ab22e =512. （10 遼寧理）(20)（本小題滿分 12 分）x2y2+ =1(a b 0)設(shè)橢圓 c：的左焦點(diǎn)為 f，過(guò)點(diǎn) f 的直線與橢圓 c 相交于 a，b 兩點(diǎn)，直線a b22uuuruuuraf = 2fbl 的傾斜角為 60o,.橢圓 c 的離心率；解：a(x , y ),b(x , y )2y1y設(shè)，由題意知 0，0.1122y = 3(x - c)c=-a b2（）直線 l 的方程為，其中2.y = 3(x - c),(3a2+ b )y + 2 3b cy - 3b = 0聯(lián)立得2224

14、x2y2+ =1a b22uuuruuur- 3b (c + 2a)- 3b (c - 2a)22af = 2fby =1, y=- =y 2y，所以解得因?yàn)?3a + b3a + b22222123b (c + 2a)- 3b (c - 2a)22= 2即得離心率3a + b3a + b2222c 2e = =.6 分a 3aop是橢圓長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)， 是橢圓的中心，若橢圓上存在一點(diǎn) ，使13.popa= ,則橢圓離心率的范圍是_.2x2 y2ax y + =0,兩式聯(lián)立解析：設(shè)橢圓方程為+a2 b2=1(ab0),以 oa 為直徑的圓：x22a - b22yx ax b + =0.即e x

15、 ax bx a,一解為 ,由韋達(dá)定理消得 + =0,該方程有一解222 222a2aa2xax aa a= ,0 ，即 0 e1.22e2e22精彩文檔 實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案2答案：e12x2y2+ =1(a b 0)f , f1mf mf 2b=14. 在橢圓2上有一點(diǎn) m，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，a b22212橢圓的離心率的取值范圍是;解析: 由橢圓的定義，可得mf + mf = 2a mf mf = 2b2mf , mf1又，所以是方22211x - 2ax + 2b = 0d = (-2a) - 42b 0a 2b2a 2(c - a )2 ，即程22的兩根，由22， 可得222c22 ,1

16、)e = 所以，所以橢圓離心率的取值范圍是a 22x2y3a2- =115. （08 湖南）若雙曲線ab的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離大于它到左準(zhǔn)線（ 0, 0）上橫坐標(biāo)為a b222的距離，則雙曲線離心率的取值范圍是d. (5,+a.(1,2)b.(2,+)c.(1,5)3a3a323 1-1 +2 e22( a - )e ( a + )e 2e解析 由題意可知即解得故選 b.2c2cx2y2+ =1(a b 0)f f，m n，16.（07 北京）橢圓x的焦點(diǎn)為，兩條準(zhǔn)線與 軸的交點(diǎn)分別為，2a b212mn 2 f f若，則該橢圓離心率的取值范圍是（）121212(0，( 0， ，1) ，1)222

17、22a22 22c e解析 由題意得故選 d.c2x2y2f，f+ =1 a b 017.（07 湖南）設(shè)）的左、右焦點(diǎn)，若在其右準(zhǔn)線上存在p,分別是橢圓（a b2122pff2使線段的中垂線過(guò)點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是（）1232 ，1)23( 0， ( 0， ，1)abcd.233pf = 2c分析 通過(guò)題設(shè)條件可得，求離心率的取值范圍需建立不等關(guān)系，如何建立？2精彩文檔 實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案a2pff2pf = 2cpf - c解析：線段的中垂線過(guò)點(diǎn)， ，又點(diǎn) p 在右準(zhǔn)線上，c122ac3322c - ca 3 e 1，故選 d.即c3點(diǎn)評(píng) 建立不等關(guān)系是解決問(wèn)題的難點(diǎn)，而借助平面幾何知識(shí)相

18、對(duì)來(lái)說(shuō)比較簡(jiǎn)便.x2y2- =118. （08 福建理）雙曲線f 、f ,若 p 為其上一點(diǎn)，且|pf |=2|pf |,（a0,b0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為1212a b22則雙曲線離心率的取值范圍為（b）a.(1,3)( 1,3 )3,+b.c.(3,+)d.分析 求雙曲線離心率的取值范圍需建立不等關(guān)系，題設(shè)是雙曲線一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)之間關(guān)系應(yīng)想到用雙曲x0a線第一定義.如何找不等關(guān)系呢？利用第二定義及焦半徑判斷2ac a -2a c - a 3a c解析：|pf |=2|pf |,|pf |-|pf |=|pf |=，|pf |即121222所以雙曲線離心率的取值范圍為1 e 3，故選 b.pf = m

19、212qm + (2m) - 4m cos222e =m( q p=-1 cos 1 e 1,3q當(dāng)點(diǎn) p 在右頂點(diǎn)處有.，.選 b.小結(jié) 本題通過(guò)設(shè)角和利用余弦定理，將雙曲線的離心率用三角函數(shù)的形式表示出來(lái)，通過(guò)求角的余弦值的范圍，從而求得離心率的范圍.點(diǎn)評(píng)：本題建立不等關(guān)系是難點(diǎn)，如果記住一些雙曲線重要結(jié)論（雙曲線上任一點(diǎn)到其對(duì)應(yīng)焦點(diǎn)的距離不小c - a于）則可建立不等關(guān)系使問(wèn)題迎刃而解.uuuur uuuurmf = 0f f、mfm19.（08 江西理）已知的點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足1212心率的取值范圍是（c）1(0, 2(0, )2 ,1)2(0,1)a解bc

20、d22ff據(jù) 題 意 可 知 ， m是 直 角 ， 則 垂 足 m 的 軌 跡 是 以 焦 距 為 直 徑 的 圓 . 所 以1212c b c b = a - c e 0,b 0)f , f,點(diǎn) p 在雙曲線的右支20. （04 重慶）已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為2a b212上，且| pf |= 4 | pf |,則此雙曲線的離心率 e 的最大值為：()12435372abcd323532ac a - -a c aa c|pf |=4pf |,|pf |-|pf |=3|pf |=，|pf |即1212225所以雙曲線離心率的取值范圍為1 0,b 0)的左、右焦點(diǎn)，p 為雙曲線右支上任一點(diǎn)

21、，若21. 已知分別為1222的最小值為8a，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）a(1,2 (1,3 2,3 d3,+)bcpf1pf2(2a + pf )24a2=+ pf + 4a 2 4a + 4a = 8a，欲使最小值為8a，需右支解析22pfpf2222pf = 2apf c -a 2a c - a所以1 b 0)22. 已知橢圓右頂為 a,點(diǎn) p 在橢圓上，o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，且 op 垂直于 pa，橢圓a b22的離心率 e 的取值范圍是;。x0y22+=10x , y0 a2 b2解：設(shè) p 點(diǎn)坐標(biāo)為（）,則有0x - ax + y = 022000y(a - b )x - a

22、x + a b = 0x0消去2 得222322若利用求根公式求 運(yùn)算復(fù)雜，應(yīng)注意到方程的一個(gè)根為 a,000a b22ab22ax =x =0 x a由得 e f ( c,0), f (c,0)-23. 橢 圓：m， 橢 圓 上 存 在 點(diǎn) 使的 兩 焦 點(diǎn) 為2a b212uuuuv uuuuvfm f m = 0e.求橢圓離心率 的取值范圍；12精彩文檔 實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案uuuuv uuuuvm(x, y),fm f m = 0 x + y = c解析 設(shè)將222 12ba b2222y = b - xx = a -q 0 x a e b 0)x a點(diǎn)評(píng)：中，是橢圓中建立不等關(guān)系的重要依據(jù)，

23、在求解參數(shù)范圍問(wèn)題中經(jīng)a b22常使用，應(yīng)給予重視.x2y2- =1(a 0,b 0) 的右焦點(diǎn)為 f，若過(guò)點(diǎn) f 且傾斜角為60的直線與24. （06 福建）已知雙曲線a b22雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是(1,2(1,2)（c）2, +)(2, +)（a）（b）（d）解析 欲使過(guò)點(diǎn) f 且傾斜角為60的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則該直線的斜率的絕對(duì)值小于bba3，即b 3ac - a 3a c 4a e 2即等于漸近線的斜率 ，222 22 即故選 c.ax2- y = 1(a 0)與直線l : x + y = 125. （04 全國(guó)）設(shè)雙曲線 c：

24、2相交于兩個(gè)不同的點(diǎn) a、b.求a2雙曲線 c 的離心率 e 的取值范圍：l解析 由 c 與 相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，故知方程組x2 - =y 1,2a有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.消去 y 并整理得2x + y = 1.（1a ）x +2a x2a =0.2222 - 1 a 0.20 a 0.4a4221+ a216e =+1q 0 a 且e 2e雙曲線的離心率：aa226( , 2) u ( 2, +)所以雙曲線的離心率取值范圍是2總結(jié)：在求解圓錐曲線離心率取值范圍時(shí)，一定要認(rèn)真分析題設(shè)條件，合理建立不等關(guān)系，把握好圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì)，記住一些常見(jiàn)結(jié)論、不等關(guān)系，在做題時(shí)不斷總結(jié)，擇優(yōu)解題.尤其運(yùn)用數(shù)

25、形結(jié)合時(shí)要注意焦點(diǎn)的位置等.x2y2f，f+ =1 a b 0pf使線段p,26設(shè)分別是橢圓（）的左、右焦點(diǎn)，若在其右準(zhǔn)線上存在a b21221f2的中垂線過(guò)點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是（ d ）精彩文檔 實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案2233，1，0，10abcd2323a2c+ca23=?3c e2c2c3x2y2+ =1(a b 0)f (-c,0), f (c,0)27. （09 重慶卷文）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，若橢2a b212acp=sin pf f sin pf f圓上存在一點(diǎn)【答案】使，則該橢圓的離心率的取值范圍為122 1( )2 -1,1pfpfdpf f解法 1，因?yàn)樵?=sin p

26、f f sin pf f1.中，由正弦定理得12122 1ac=apf cpf=則由已知，得，即pf1pf1 1122(x , y )0pf = a + ex , pf = a - ex a(a + ex ) = c(a - ex )設(shè)點(diǎn)記得由焦點(diǎn)半徑公式，得則0102000a(c - a) a(e -1)a(e -1)e(e +1)x =x -a則0 -a由橢圓的幾何性質(zhì)知，整理得e(c - a) e(e +1)0e + 2e -1 0,2e - 2 -1或e b 0)28. （10 四川理）橢圓fxa的右焦點(diǎn) ，其右準(zhǔn)線與 軸的交點(diǎn)為 ，在橢圓上存a b22f在點(diǎn) p 滿足線段 ap 的垂

27、直平分線過(guò)點(diǎn) ，則橢圓離心率的取值范圍是)112（a）（b）（c） 2 1,1（d）-0,0,1 22 2f解析：由題意，橢圓上存在點(diǎn) p，使得線段 ap 的垂直平分線過(guò)點(diǎn)，即 f 點(diǎn)到 p 點(diǎn)與 a 點(diǎn)的距離相等a2cb2cb2c- c =而|fa|ac,ac， |pf|ac,ac，于是即 acc b acc222精彩文檔 實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案c1 - -ac c a c 222aca1 又 e(0,1)故 e答案：d,1ac1- c ac + c222 -1或 a 2ae = l ec29 已知梯形 abcd 中，|ab|=2|cd|，點(diǎn) e 滿足，雙曲線過(guò) c、d、e 三點(diǎn)，且以 a、b 為。2334 l焦點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，雙曲線離心率 e 的取值范圍是：l分析：顯然，我們只要找到 e 與 的關(guān)系，然后利用解不等式或求函數(shù)的值域即可求出 e 的范圍。解：如圖 4，建立坐標(biāo)系，這時(shí) cdy 軸，因?yàn)殡p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn) c、d，且以 a、b