完整word版,《線性代數(shù)》中的證明題集

1、1利用行列式展開(kāi)定理證明：當(dāng)ab時(shí)，有a+bab0l1a+babl0000d=n01a+blmmmo0m0m=an+1-bn+1a-b000000lla+bab1a+bn-2，則證：將行列式按第一行展開(kāi)，得d=(a+b)dnn-1-abdd-bdnn-1=a(dn-1-bdn-2)=a2(dn-2-bdn-3)所以d-bdnn-1=l=an-2(d-bd)=an-2(a+b)2-ab-b(a+b)=an，21=an（1）由d關(guān)于a與b對(duì)稱，得d-adnnn-1=bn（2）a-ban+1-bn+1由（1）與（2）解得d=n2已知1326、2743、5005、3874都能被13整除，不計(jì)算行列式的

2、值，證明能被13整除1326274350053874=27427435005c4+1000c15005005證：132613213262743c+100c3874c4+10c323873874由已知，得后行列式的第4列具有公因子13，所以原行列式能被13整除3證明:1aa2a41bb2b41cc2c41dd2d4=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d)證：構(gòu)造5階行列式1ad=a25a3a41bb2b3b41cc2c3c41dd2d3d41xx2，x3x4則d=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)(x-a)(x-b)(x-c)(x

3、-d)（1）5將d按第5列展開(kāi)，得511111111a2d=a5bb2cc2dd2x4+(-abcdb2c2d2a2)x3+l（2）a3b3c3d3a4b4c4d4比較（1）與（2）右邊x3的系數(shù)，知結(jié)論成立x+2x+x+x=0,2=4b時(shí)，齊次線性方程組114證明：當(dāng)(a-1)x+x+x+ax=0,1234234x+x-3x+x=0,234x1+x2+ax3+(a+b)x4=0有非零解證：方程組的系數(shù)行列式111ad=12111-311=(a-1)2-4b，11aa+b證：因?yàn)?ptap)t=ptat(pt)t=ptap，所以ptap為對(duì)稱矩陣當(dāng)d=0，即(a-1)2=4b時(shí)，方程組有非零解

4、5若a為n階對(duì)稱矩陣，p為n階矩陣，證明ptap為對(duì)稱矩陣at=a6設(shè)a,b,c都是n階矩陣，證明：abc可逆的充分必要條件是a,b,c都可逆證：abc可逆abc0abc0a0,b0,c0a,b,c都可逆7設(shè)n階方陣a滿足a2-3a=o，證明a-2e可逆，并求a-2e)-1(證：由a2-3a=o，得(a-2e)(a-e)=2e，即(a-2e)a-e2=e，所以a-2e可逆，且(a-2e)-1=a-e2（2）設(shè)ap=pb，且p=2-10,b=000，求a與a2011p-1=2-10,b2011=000=b，所以a=200,a2011=pbp-1=a6-1-18設(shè)a為n階矩陣，且a3=o，證明e-

5、a及e+a都是可逆矩陣證：由a2=o，得(e-a)(e+a+a2)=e及(e+a)(e-a+a2)=e，所以e-a及e+a都是可逆矩陣9（1）設(shè)p-1ap=b，證明bk=p-1akp10010000-1211證：（1）bk=(p-1ap)k=p-1a(pp-1)a(pp-1)l(pp-1)ap=p-1akp（2）由ap=pb，得a=pbp-1，且a2011=pb2011p-1又10010000-1-411100oboc-1（101）設(shè)a=，且m階矩陣b和n階矩陣c均可逆，試證明a-1=cob-1o00a0n-10（2）設(shè)矩陣a=mna10m000a2m00llll0m，其中a,a,l,a為非零

6、常數(shù)，求a-112na0oboc-1bb-1oeo證：（1）因?yàn)?e，所以a可逆，且cob-1oocc-1oeoc-1a-1=b-1o（2）將矩陣進(jìn)行如下分塊：0m0manm0=，coa00m0ma=lla0l10al2mm00llll00l0mobn-1l又b-1=diag(a1-1,a2-1,l,an-11),c-1=(an-1)，所以oc-1則a-1=b-1oa-1=0a-1000a-1000a-1012mmllll0a-1n000mmn-111設(shè)a為n階矩陣，滿足a2+5a+6e=o，證明：r(a+2e)+r(a+3e)=n證：由a2+5a+6e=o，得(a+2e)(a+3e)=o，所

7、以r(a+2e)+r(a+3e)n.又r(a+2e)+r(a+3e)=r(-a-2e)+r(a+3e)r(e)=n，所以r(a+2e)+r(a+3e)=n.12證明：（1）設(shè)a,b為矩陣，則ab-ba有意義的充分必要條件是a,b為同階矩陣（2）對(duì)任意n階矩陣a,b，都有ab-bae，其中e為單位矩陣（證：1）設(shè)a為mn矩陣，b為st矩陣，則n=s,t=m,ab-ba有意義m=s,t=n.m=n=s=t，即a,b為同階矩陣（2）設(shè)a=(a)ijnn,b=(b)ijnn，則ab-ba的主對(duì)角線上元素之和為ab-ba=ab-ab=0，nnnnnnnnikkisttsikkitssti=1k=1s=1

8、t=1i=1k=1t=1s=1而e的主對(duì)角線上元素之和為n，所以ab-bae13證明：任意n階矩陣都可表示為一個(gè)對(duì)稱矩陣與一個(gè)反對(duì)稱矩陣的和證：設(shè)a為任意n階矩陣，則a+ata-ata=+，22a+ata-at（其中為對(duì)稱矩陣，為反對(duì)稱矩陣你是否能聯(lián)系到函數(shù)可以表示為奇函數(shù)22與偶函數(shù)之和）14已知n階矩陣a,b滿足ab=a+b，試證a-e可逆，并求(a-e)-1證：由ab=a+b，得(a-e)(b-e)=e，所以a-e可逆，且(a-e)-1=b-e15設(shè)a為元素全為1的n(n1)階方陣，證明：(e-a)-1=e-1n-1a證：(e-a)(e-1n1a)=e-a+a2又a2=na，故n-1n-

9、1n-1(e-a)(e-1a)=e，n-1所以(e-a)-1=e-1an-116設(shè)n階矩陣a與b等價(jià)，且a0，證明b0證：a與b等價(jià)，則存在n階可逆矩陣p與q，使得b=paq，有b=paq=paq0注：此結(jié)論告訴我們初等變換不改變矩陣的可逆性17設(shè)a為n階方陣，且a2=a，證明r(a)+r(a-e)=n證：因?yàn)閍(a-e)=a2-a=o，所以r(a)+r(a-e)n又r(a)+r(a-e)=r(a)+r(-a+e)r(e)=n，所以r(a)+r(a-e)=n18設(shè)a是nm矩陣，b是mn矩陣，其中nm若ab=e，其中e為n階單位矩陣證明方程組bx=o只有零解證：由ab=e，得r(ab)=n又nr

10、(b)r(ab)=n，得r(b)=n，所以方程組bx=o只有零解19（1）設(shè)arn，證明：a線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)a=0（2）設(shè)a,arn，證明：a,a線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)它們對(duì)應(yīng)的分量成比例1212證：()a線性相關(guān)ka=0,k0a=0（2）a,a線性相關(guān)ka+ka=0，其中k,k不全為零不妨設(shè)k0，則121122121ka,a線性相關(guān)a=(-k2)a12112=la，即a,a對(duì)應(yīng)的分量成比例21220任取a,a,a,arn，又記b=a+a,b=a+a,b=a+a,1234112223334b=a+a，證明b,b,b,b必線性相關(guān)4411234證：顯然b+b=a+a+a+a=b+b，即13123424

11、b+(-1)b+b+(-1)b=0，1234所以b,b,b,b必線性相關(guān)123421設(shè)a,a,l,arn為一組非零向量，按所給的順序，每一a(i=1,2,l,s)都不能由12si它前面的i-1個(gè)向量線性表示，證明向量組a,a,l,a線性無(wú)關(guān)12ssa證：用數(shù)學(xué)歸納法證明=1時(shí)，0，則a線性無(wú)關(guān)設(shè)s=m時(shí)成立，即a,a,l,a1112m線性無(wú)關(guān)當(dāng)s=m+1時(shí)，若a,a,l,a,a12mm+1線性相關(guān)，則am+1可由a,a,l,a線性12m表示，矛盾，所以向量組a,a,l,a線性無(wú)關(guān)12s22設(shè)非零向量b可由向量組a,a,l,a線性表示，證明：表示法唯一當(dāng)且僅當(dāng)向量組12sa,a,l,a線性無(wú)關(guān)1

12、2s證：b可由向量組a,a,l,a線性表示r(a,a,l,a)=r(a,a,l,a|b)12s12s12s則表示法唯一xa+xa+l+xa=b有唯一解1122ssr(a,a,l,a)=r(a,a,l,a|b)=s12s12sr(a,a,l,a)=sa,a,l,a線性無(wú)關(guān)12s12s23設(shè)a,a,l,arn，證明：向量組a,a,l,a線性無(wú)關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)任一n維向量均12n12n可由a,a,l,a線性表示12n證：必要性：a,a,l,a線性無(wú)關(guān)，任取brn，則a,a,l,a,b線性相關(guān)，所以b12n12n可由a,a,l,a線性表示12n充分性：任一n維向量均可由a,a,l,a線性表示，則單位坐標(biāo)向量

13、e,e,l,e可12n12n由a,a,l,a線性表示，有12nn=r(e,e,l,e)r(a,a,l,a)n，12n12n所以r(a,a,l,a)=n，即a,a,l,a線性無(wú)關(guān)12n12n24.設(shè)a：a,l,a和b：b,l,b為兩個(gè)同維向量組，秩分別為r和r；向量組c=aub1s1t12r的秩為r證明：max,r312r3r+r12ir1ir2ir1ir2ir1ir2100m證：由(a,a,a|b)=10-5m6010m-8，r31-1m31001m-證：先證maxr,rr顯然a組與b組分別可由c組線性表示，則rr，且rr，1231323所以maxr,rr123次證rr+r設(shè)a,l,a為a組的

14、一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，b,l,b為b組的一個(gè)極312i1i1大無(wú)關(guān)組，則c組可由a,l,a,b,l,b線性表示，有i1i1rr(a,l,a,b,l,b)r+r3i1i11225設(shè)b為n階可逆陣，a與c均為mn矩陣，且ab=c試證明r(a)=r(c)證：由ab=c，知c的列向量組可由a的列向量組線性表示，則r(c)r(a)因?yàn)閎可逆，則a=cb-1，知a的列向量組可由c的列向量組線性表示，則r(a)r(c)所以r(a)=r(c)26設(shè)a為mn矩陣，證明：a=o當(dāng)且僅當(dāng)r(a)=0證：必要性顯然，下證充分性：r(a)=0a=o設(shè)a為a的任一列向量，則r(a)r(a)=0，所以r(a)=0a=0由a的任意

15、性知a=o27設(shè)a=(-2,1,3)t,a=(-1,0,1)t,a=(-2,-5,-1)t證明向量組a,a,a是r3的一123123組基，并求向量b=(2,6,3)t在這組基下的坐標(biāo)7-2-1-2m2212322271得a,a,a是r3的一組基，且b在這組基下的坐標(biāo)為(,-8,-)12328設(shè)x,x,l,x是齊次線性方程組ax=0的基礎(chǔ)解系，求證x+x,x,l,x也是12m122max=0的基礎(chǔ)解系證：顯然x+x,x,l,x是ax=0的解，只需證明它們線性無(wú)關(guān)122m10011(x+x,x,l,x)=(x,x,l,x)122m12mm0l1lm0l0m=(x,x,l,x)k12mmm由k=10

16、，得r(x+x,x,l,x)=r(x,x,l,x)=m，所以x+x,x,l,x122m12m122m線性無(wú)關(guān)29設(shè)a是n階方陣證明：存在一個(gè)n階非零矩陣b，使ab=o的充要條件是=0證：存在bo，使得ab=oax=0有非零解a=030設(shè)a是n階方陣，b為ns矩陣，且r(b)=n證明：（1）若ab=o，則a=o；（2）若ab=b，則a=en證：（1）ab=o，則r(a)+r(b)n又r(b)=nr(a)=0a=o（2）ab=b(a-e)b=o由（）得a-e=oa=e31設(shè)a,a,l,a為n維非零向量，a為n階方陣，若12saa=a,aa=a,l,l,aa1223試證明a,a,l,a線性無(wú)關(guān)12s

17、s-1=a，aa=0，ss證：設(shè)xa+xa+l+xa1122s-1s-1+xa=0該式兩邊左乘以a，得ssxa+xa+l+xa=01223s-1s依此類推，得xa=0由a0，得x=01ss1同理可證x=0,l,x=0所以a,a,l,a線性無(wú)關(guān)2s12s32設(shè)aa=a,aa=a+a,aa=a+a，其中a為3階方陣，a,a,a為3維11212323123向量，且a0，證明a,a,a線性無(wú)關(guān)1123證：設(shè)xa+xa+xa=0（1）112233（1）式兩邊左乘以a，得(x+x)a+(x+x)a+xa=0（2）12123233（2）減去（1），得xa+xa=0（3）2132（3）式兩邊左乘以a，得(x+

18、x)a+xa=0（4）23132（4）減去（3），得xa=0因?yàn)閍0，所以x=03113代入（），得xa=0，所以x=0代入（1），得xa=0，所以x=0212111所以a,a,a線性無(wú)關(guān)123a33設(shè)a為n階方陣，為n維列向量證明：若存在正整數(shù)m，使ama=0，而am-1a0，則a,aa,l,am-1a線性無(wú)關(guān)證：設(shè)xa+xaa+l+x01m-1am-1a=0，該式兩邊左乘以am-1，得xam-1a=00因?yàn)閍m-1a0，所以x=00同理可證x=l=x1m-1=0所以a,aa,l,am-1a線性無(wú)關(guān)34設(shè)向量組a的秩與向量組b相同，且a組可由b組線性表示，證明a組與b組等價(jià)證：設(shè)r(a)=r

19、(b)=r，a,a,l,a為a組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，b,b,l,b為b組12r12r的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組由a組可由b組線性表示，得(a,a,l,a)=(b,b,l,b)k12r12rrr.又rr(k)r(a,a,l,a)=r，則r(k)=r，即k為可逆矩陣，有12r(b,b,l,b)=(a,a,l,a)k-1，12r12r即b,b,l,b可由a,a,l,a線性表示，所以b組可由a組線性表示.故a組與b組等12r12r價(jià)35設(shè)向量組a：a,a,l,a線性無(wú)關(guān)，向量組b：b,b,l,b能由a線性表示為12s12r(b,b,l,b)=(a,a,l,a)k12r12ssr，其中rs，證明：向量組b線性無(wú)關(guān)當(dāng)

20、且僅當(dāng)k的秩r(k)=r證：向量組b線性無(wú)關(guān)(b,b,l,b)x12rr1=0只有零解(a,a,l,a)(k12ssrxr1)=0只有零解ka,a,l,a線性無(wú)關(guān)12ssrxr1=0只有零解r(k)=r證：(b,b,b)=(a,a,a)110（）01136設(shè)a,b都是mn矩陣，試證明：r(a+b)r(a|b)r(a)+r(b)證：先證r(a+b)r(a|b)顯然a+b的列向量組可由a的列向量組和b的列向量組線性表示，則r(a+b)r(a|b)此證r(a|b)r(a)+r(b)設(shè)r(a)=r,r(b)=s，a與b分別為a與b的列向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，則(a|b)的列向量組可由a與b線性表示，有

21、r(a|b)r+s=r(a)+r(b)，即r(a|b)r(a)+r(b)37設(shè)a,a,a是r3的一組基，b=a+a，b=a+a，b=a+a123112223331（1）證明b,b,b是r3的一組基；123（2）求由基a,a,a到基b,b,b的過(guò)渡矩陣；123123（3）若向量g在基a,a,a下的坐標(biāo)為(1,0,0)，求向量g在基b,b,b下的坐標(biāo)123123101123123011y=p-1x=1100=10（2）由（）式，得由基a,a,a到基b,b,b的過(guò)渡矩陣110-1110=(,-,)t011021-1101（）由110=20，得r(b,b,b)=r(a,a,a)=3，則b,b,b線性無(wú)

22、關(guān)，123123123011所以b,b,b是r3的一組基123101123123（3）g在基b,b,b下的坐標(biāo)123101-1111-11111122238設(shè)a為mr矩陣，b為rn矩陣，且ab=o求證：（1）b的各列向量是齊次線性方程組ax=0的解；（2）若r(a)=r，則b=o；（3）若bo，則a的各列向量線性相關(guān)證：（1）令b=(b,b,l,b)由ab=o，得12n(ab,ab,l,ab)=(0,0,l,0)，12n即ab=0,j=1,2,l,n，所以b的各列向量是齊次線性方程組ax=0的解j（2）若r(a)=r，則ax=0只有零解，所以b=o（3）若bo，則ax=0有非零解，所以a的各列

23、向量線性相關(guān)39設(shè)a為n階方陣（n2），證明：（1）當(dāng)r(a)=n時(shí)，r(a*)=n；（2）當(dāng)r(a)=n-1時(shí)，r(a*)=1；（3）當(dāng)r(a)n-1時(shí)，r(a*)=0證：（1）當(dāng)r(a)=n時(shí)，a0a*=an-10，所以r(a*)=n（2）當(dāng)r(a)=n-1時(shí)，由aa*=ae=o，得r(a)+r(a*)n有r(a*)1又a中至少有一個(gè)n-1階子式不為零，則a*or(a*)1，所以r(a*)=1（3）當(dāng)r(a)0，則l2=1，所以l=142設(shè)矩陣a與b相似，試證：（1）at與bt相似；（2）當(dāng)a可逆時(shí)，a-1與b-1相似證：a與b相似，則存在可逆矩陣p，使得b=p-1ap（1）bt=(p-1ap)t=ptat(p-1)t=ptat(pt)-1因?yàn)閜t也可逆，所以at與bt相似（2）b-1=(p-1ap)-1=p-1a-1(p-1)-1=p-1a-1p，所以a-1與b-1相似43設(shè)a,b都是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，證明a與b相似的充要條件是a與b有相同的特征值證：必要性：a與b相似，則存在可逆陣p