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平面向量中的三角形四心問題一、重心（barycenter)證明：設(shè)bc中點(diǎn)為d，則2gd = gb + gcga + gb + gc = 0 -ga = gb + gc-ga = 2gd, 131證明：pg = (pa + pb + pc) (pg - pa) + (pg - pb) + (pg - pc) = 03二、垂心(orthocenter)三角形的三條高線的交點(diǎn)叫做三角形的垂心。若h為dabc所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則ha hb = hb hc = hc ha h是dabc的垂心 hb ac = 0 hb ac同理，有ha cb, hc ab故h為三角形垂心 222222若h為dabc所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則ha + bc = hb + ac = hc + ab222222證明：由ha + bc = hb + ca 得，ha + (hb - hc) = hb + (hc - ha)22三、外心(circumcenter) 222222222222 oa = ob = oc故o為dabc的外心lll= ob += oc +123cb ab ac ba bc ca p是dabc的內(nèi)心 12lop = oa +111212即p在a平分線上同理可得，p在b,c的平分線上故p為dabc的內(nèi)心l ( a + b + c pc + a da + bdb =() 0

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