全國高中數學聯賽初賽試卷(含答案)VIP

1、 全國高中數學聯賽江蘇賽區(qū)初賽參考答案與評分細則一、填空題（本題共 10 小題，滿分 70 分，每小題 7 分要求直接將答案寫在橫線上）1已知點 p(4，1)在函數 f(x)log (xb) (b0)的圖象上，則 ab 的最大值是a(ab)24，解：由題意知，log (4b)1，即 ab4，且 a0，a1，b0，從而 ab4a當 ab2 時，ab 的最大值是 4443242函數 f(x) 3sin(2x )在 x處的值是 43 40 104343244332解：2x 2 ，所以 f( ) 3sin 4 12 4 1233若不等式|ax1|3 的解集為x |2x1，則實數 a 的值是解：設函數

2、f(x)|ax1|，則 f(2) f(1)3，故 a24第一只口袋里有 3 個白球、7 個紅球、15 個黃球，第二只口袋里有 10 個白球、6 個紅球、9 個黑球，從兩個口袋里各取出一球，取出的球顏色相同的概率是310 302525 625762525 62542解：有兩類情況：同為白球的概率是，同為紅球的概率是，所求的72625概率是x yx y22225在平面直角坐標系 xoy 中，設焦距為 2c 的橢圓 1(ab0)與橢圓 1 有相同a b2b c222的離心率 e，則 e 的值是c c bc b c1 5222222解：若 cb，則 ，得 ab，矛盾，因此 cb，且有 ，解得 ea2c

3、2ab2226如圖，在長方體abcda b c d 中，對角線b d 與平面 a bc 交于 e 點記四棱錐e1 111111abcd 的體積為 v ，長方體 abcda b c d 的體11 111d1c1vv積為 v ，則 1的值是2a12ecdab（第 6 題圖） 解：記四棱錐 b abcd 的體積為 v1d1c1o2如圖，de db ，31a123132v 2從而 v v又 v v ，所以 1 v 9e12cdab（第 6 題圖）7若實數集合a31x，65y與 b5xy，403僅有一個公共元素，則集合ab 中所有元素之積的值是解：因為 31x65y5xy4032015xy若 xy0，則

4、集合 a 和集合 b 中有一組相等，則另一組也必然相等，這不合題意所以 xy0，從而 ab 中所有元素之積的值為 08設向量a(cos，sin)，b(sin，cos)向量x ，x ，x 中有 3 個為 a，其余為b；1277向量 y ，y ，y 中有 2 個為 a，其余為b則x y 的可能取值中最小的為127i ii=17解：因為 a ab b1，a b0，所以x y 的最小值為 2i ii=19在 33 的幻方中填數，使每行、每列及兩條對角線上的三個數之和都相等如圖，三個方格中的數分別為 1，2，2015，則幻方中其余 6 個數之和為解：如圖，設幻方正中間的數為 x，則由題意知12a2012

5、，從而對角線上三個數的和為 x20112015（第 9 題圖）因此 bx2014，c4026，d2013，ex20142011由 bexx2011，解得 x2ec12b2011180992這 9 個數的和為 3(2011)，2d以幻方中其余 6 個數之和為20182015a2（第 9 題圖）10在平面直角坐標系 xoy 中，設 d 是滿足 x0，y0，xyxy19 的點(x，y)形成的區(qū)域（其中x是不超過 x 的最大整數）則區(qū)域 d 中整點的個數為解：區(qū)域 d 中整點的個數為 1231055 二、解答題（本大題共 4 小題，每小題 20 分，共 80 分）11在等比數

6、列a 中，a 2，q 是公比記 s 為a 的前 n 項和，t 為數列a 的前 n 項和若2nn2nnns 2t ，求 q 的值2nn解：若 q1，則 a a 2，a 4，則 s 4n，t 4n，s 2t 2nn22nn2nn若 q1，則 a 2(1) ，a 4，則 s 0，t 4n，s 2t n2nn2nn2nn 5 分2q4q2(1q2 )(1q2n)n若 q1，則 a 2q 2，a 4q2n 4，從而 s ，t n2n1q1q2n2nn 15 分1 174由 s 2t ，則1，q2q40，解得 qq(1q)22nn1 17 1 17綜上，q 的值為 和 20 分2212如圖，abc 中，a

7、bac，點 d、e 分別在邊 ab、ac 上，且 bdcebac 的外角平分線與ade 的外接圓交于 a、p 兩點c求證：a、p、b、c 四點共圓edacbp(第 12 題圖)證明：如圖，連結 pd，pe，pc因為四邊形 apde 是圓內接四邊形,所以padped，pafpde又因為 ap 是bac 的外角平分線，所以padpaf，edafbp從而pedpde，(第 12 題圖)故 pdpe 10 分又adpaep，所以bdpcep又因為 bdce，所以bdpcep，從而pbdpce，即pbapca， 所以 a、p、b、c 四點共圓 10 分13如圖，在平面直角坐標系xoy 中 ，圓 o 、圓

8、 o 都與直線 l：ykx 及 x 軸正半軸相切若12兩圓的半徑之積為 2，兩圓的一個交點為 p(2，2)，求直線 l 的方程yl解：由題意，圓心 o ，o 都在 x 軸與直線 l 的角平分線上12若直線 l 的斜率 ktan，p22t1t2o2設 ttan ，則 k圓心 o ，o 在直線 ytx 上，o12x可設 o (m，mt)，o (n，nt)12(第 13 題圖)交點 p(2，2)在第一象限，m，n，t0 4 分所以o ：(xm)2+(ymt)2=(mt)2，1o ：(xn)2+(ynt)2=(nt)2，1(2m) (2mt) (mt) ， m (44t)m80，2222所以即 8 分

9、(2n) (2nt) (nt) ，n (44t)n80，2222所以 m，n 是方程 x2(4+4t)x8=0 的兩根，mn811由半徑的積(mt)(nt)2，得 t2 ，故 t 16 分422t1t21443所以 k ，直線 l：y x 20 分1 31414將正十一邊形的 k 個頂點染紅色，其余頂點染藍色（1）當 k2 時，求頂點均為藍色的等腰三角形的個數；（2）k 取何值時，三個頂點同色(同紅色或同藍色)的等腰三角形個數最少？并說明理由解：（1）設正十一邊形的頂點 a ，a ，a ，a ，則易知其中任意三點為頂點的三角形都12311不是正三角形以這些點為頂點的等腰三角形個數可以如此計算：

10、以a (i1，2，3，11)為頂角頂點i111的等腰三角形有5 個，這些三角形均不是等邊三角形，即當ji 時，以 a 為頂角2j頂點的等腰三角形都不是上述等腰三角形故所有的等腰三角形共有 51155 個 5 分當 k2 時，設其中 a ，a 染成紅色，其余染成藍色mn以 a 為頂角頂點的等腰三角形有 5 個 ，以 a 為底角頂點的等腰三角形有 10 個；同mm時以 a ，a 為頂點的等腰三角形有 3 個，這些等腰三角形的頂點不同色，且共有(510)mn 2327 個注意到僅有這些等腰三角形的三個頂點不同藍色，故所求三個頂點同為藍色的等腰三角形有 552728 個 10 分（2）若 11 個頂點中 k 個染紅色，其余 11k 個染藍色則這些頂點間連線段(邊或對角k(k1)(11k)(10k)線)中，兩端點染紅色的有 條，兩端點染藍色的有條，兩端點染一紅22一藍的有 k(11k)條并且每條連線段必屬于且僅屬于 3 個等腰三角形把等腰三角形分 4 類：設其中三個頂點均為紅色的等腰三角形有 x 個，三個頂點均1為藍色的等腰三角形有 x 個，兩個頂點為紅色一個頂點為藍色的等腰三角形有x 個，兩23個頂點為藍色一個頂點為紅色的等腰三角形有x 個，則按頂點顏色計算連線段，4k(k1)3x x 3，2133x x 3(11k)(10k)，2