華師大版數(shù)學(xué)九下第27章證明復(fù)習(xí)課教案

1、華師大版數(shù)學(xué)九下第27章證明復(fù)習(xí)課教案一、主要內(nèi)容1、等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩個底角相等，簡稱“等邊對等角”。2、推論：頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。等腰三角形的頂角的平分線，底邊上的中線、底邊上的高這“三線合一”的性質(zhì)有多重功能，可以證明兩線段相等，兩個角相等以及兩條直線互相垂直，也可證線段或角的倍分問題。3、判定：有兩個角相等的三角形是等腰三角形，簡稱“等角對等邊”。4、斜邊、直角邊定理：如果兩個直角三角形的斜邊及一條直角邊對應(yīng)相等，那么這兩個直角三角形全等。5、中位線概念：三角形中位線定義：連結(jié)三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。梯形中位線定義：連結(jié)梯形兩腰中

2、點的線段叫做梯形的中位線。注意：要把三角形的中位線與三角形的中線區(qū)分開。三角形中線是連結(jié)一頂點和它的對邊中點的線段，而三角形中位線是連結(jié)三角形兩邊中點的線段。梯形的中位線是連結(jié)兩腰中點的線段而不是連結(jié)兩底中點的線段。兩個中位線定義間的聯(lián)系：可以把三角形看成是上底為零時的梯形，這時梯形的中位線就變成三角形的中位線。6、中位線定理：三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊并且等于它的一半。梯形中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。二、重點與難點分析重點：三角形、梯形中位線的概念及定理。通過三角形、梯形中位線的概念及定理的證明的學(xué)習(xí)使學(xué)生掌握三角形、梯形中位線的定義，掌握三角

3、形、梯形的中位線定理及其應(yīng)用難點：1、三角形中位線定理的證明，課本采用“同一法”證明的，其基礎(chǔ)是：三角形中位線定理與平行線等分線段定理的推論1是互為逆命題的關(guān)系；線段的中點是惟一的，過兩點的直線也是惟一的。定理證明的其他方法：通過旋轉(zhuǎn)圖形構(gòu)造基本圖形平行四邊形。過三個頂點分別向中位線作垂線。2、梯形中位線定理的證明，課本采用“化歸”思想，把梯形中位線問題化歸為三角形中位線問題來證明。定理證明的其他方法：連結(jié)一條對角線 過上底端作一腰平行線 過一腰中點作另一腰平等線通過添加輔助線解決有關(guān)三角形中位線、梯形中位線的問題，提高分析問題，解決問題的能力。平行四邊形平行四邊形的：兩組對邊分別平行的四邊形

4、叫做平行四邊形。注意：一個四邊形必須具備有兩組對邊分別平行才是平行四邊形，反過來，平行四邊形就一定是有“兩組對邊分別平行”的一個四邊形。因此定義既是平行四邊形的一個判定方法（定義判定法）又是平行四邊形的一個性質(zhì)。平行四邊形的表示：平行四邊形用符號“”表示，如圖就是平行四邊形，記作“”。平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形性質(zhì)定理1：平行四邊形對邊相等。平行四邊形性質(zhì)定理2：平行四邊形的對角相等。平行四邊形性質(zhì)定理3：平行四邊形的對角線互相平分。推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等。平行四邊形的判定定理：平行四邊形判定定理1：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。平行四邊形判定定理2：兩組對邊分別相等

5、的四邊形是平行四邊形。平行四邊形判定定理3：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。平行四邊形判定定理4：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。矩形、菱形、正方形定義有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。有一個角是直角且有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做正方形。它們之間的從屬關(guān)系性質(zhì)與判定矩形的性質(zhì)：既然矩形是一種特殊的平行四邊形，就應(yīng)具有平行四邊形的一切性質(zhì)，同時矩形又是特殊的平行四邊形，比平行四邊形多了一個角是直角的條件，因而它就增加了一些特殊性質(zhì)。矩形性質(zhì)定理1：矩形的四個角都是直角。矩形性質(zhì)定理2：矩形對角線相等。推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。菱

6、形的性質(zhì)：菱形既然是特殊的平行四邊形，因此它就具有平行四邊形的一切性質(zhì)，此外由于它比平行四邊形多了“一組鄰邊相等”的條件，和矩形類似，也比平行四邊形增加了一些特殊性質(zhì)。菱形性質(zhì)定理1：菱形的四條邊都相等。菱形性質(zhì)定理2：菱形的對角線互相垂直并且每一條對角線平分一組對角。菱形的判定：根據(jù)定義：定理：有四條邊相等的四邊形是菱形。對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。正方形的性質(zhì)：定理：正方形的四個角都是直角，四條邊都相等。正方形兩條對角線相等，且每一條對角線平分一組對角。正方形的判定：根據(jù)定義；定理：有一個角是直角的菱形是正方形；有一組鄰邊相等的矩形是正方形。等腰梯形的性質(zhì)和判定性質(zhì)：等腰梯形在同一底

7、上的兩個角相等，兩腰相等，兩底平行，兩對角相等，是軸對稱圖形，只有一條對稱軸，底的中垂線就是它的對稱軸。判定：兩腰相等的是梯形是等腰梯形；同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形；對角線相等的梯形是等腰梯形。知識結(jié)構(gòu)解決梯形問題常用的方法在證明梯形性質(zhì)定理時，我們采取的方法是作平行線，從而把梯形問題轉(zhuǎn)化成三角形來解，這種方法叫做平行移動（也稱移對角線），這是解決梯形問題常用的方法之一。常見的輔助線如下：“作高”：使兩腰在兩個直角三角形中；“移對角線”：使兩條對角線在同一個三角形中；“延腰”：構(gòu)造具有公共角的兩個等腰三角形；“等積變形”，連結(jié)梯形上底一端點和另一腰中點，并延長與下底延長線交于一點，構(gòu)

8、成三角形。綜上所述：解決梯形問題的基本思想和方法就是通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線，把梯形問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)熟悉的平行四邊形和三角形問題來解決。典型例題例1：如圖所示，在四邊形中，、分別是、的中點。求證：四邊形是平行四邊形?！痉治觥恳驗橐阎c分別是四邊形各邊中點，如果連結(jié)對角線就可以把四邊形分成三角形，這樣就可以用三角形中位線定理來證明出四邊形對邊的關(guān)系，從而證出四邊形是平行四邊形?！咀C明】連結(jié)。，、分別為、中點，（三角形中位線定理）。同理，。平行且等于。四邊形是平行四邊形。【點評】注意三角形中位線及三角形中位線與三角形中線的區(qū)別。三角形中位線定理及證明思路。例2：如圖，中，是中點，是上的點，且，、交于點。

9、求證：?！痉治觥恳阎侵悬c，遇到中點我們應(yīng)當(dāng)考慮到可能要用中位線，有中位線就可以得到線段的一半，同樣可能再得到線段的一半，從而可以得到某線段的；又已知，得，如果取中點，連結(jié)就可得到的一條中位線?！咀C明】取中點，連結(jié)。是中點，是的中位線。且（三角形中位線定理）。，。在中，且，（過三角形一邊中點，與另一邊平行的直線，必平分等三邊）。是的中位線。而，。【點評】遇中點，作中位線是常見的輔助作法。例3：一輪船由西向東航行，在A處測得小島P的方位是北偏東75，又航行7海里后，在B處測得小島P的方位是北偏東60。若小島周圍3.8海里內(nèi)有暗礁，問該船一直向東航行有無觸礁的危險？【分析】本題是實際問題，首先根據(jù)

10、題意畫出符合實際條件的圖形，然后用數(shù)學(xué)知識來解決。因為小島周圍3.8海里內(nèi)有暗礁，這樣要求出小船距小島的最短距離大于3.8海里還是小于3.8海里。如圖所示也就是求出PC的長度即可。【解】由題可畫，則海里。過點作，垂足為，由題中分別在、兩地測得的方位角可知，。，。在中，。則點距只有3.5海里，而小島周圍3.8海里內(nèi)有暗礁，所以該船一直向東航行有觸礁的危險?！军c評】在平面上用角度表示方向的問題，是常見的問題。它在測量中經(jīng)常用到。因此也是考題中常見的題型之一。例4：如圖1，已知中，是過的一條直線，且、在的異側(cè)，于，于。求證：；若直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖2位置時（），其余條件不變，問與、的關(guān)系如何，請證明；若

11、直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖3時（），其余條件不變，與、的關(guān)系怎樣？請直接寫出結(jié)果，不須證明。歸納、，請用簡捷的語言表述、的關(guān)系?！痉治觥坑梢阎霭l(fā)容易得到：，再分析觀察又易證。猜想規(guī)律，再運用幾何知識證明?！窘狻?，。又，。，。，。又，。，。結(jié)論：當(dāng)、在異側(cè)時，；當(dāng)、在同側(cè)時，?！就卣埂勘绢}是閱讀理解題，讓學(xué)生在閱讀的基礎(chǔ)上，理解其中的內(nèi)容、方法和思想，這種題目考查學(xué)生的閱讀理解及對所學(xué)知識的整理和概括能力。例5：如圖，中，、的平分線交于點，和的延長線交于。求證：?！痉治觥孔C線相等，可證線段所在三角形全等，可證?！咀C明】在中，又（角平分線定義），。又，?！军c評】證線段相等通常有兩種方法：在同一三角形中證三

12、角形等腰；不在同一三角形則證兩三角形全等。本題也可根據(jù)等腰三角形“三線合一”性質(zhì)證明結(jié)論。例6：求證：對角線相等的梯形是等腰梯形。已知：如圖，在梯形中，。求證：?！痉治觥孔C明本題的關(guān)鍵是如何利用對角線相等的條件來構(gòu)造等腰三角形。在和中，已有兩邊對應(yīng)相等，要能證，就可通過證得到?！咀C明】過點作，交延長線于，得，。，。又，?！军c評】如果、交于點，那么由可得，即等腰梯形對角線相交，可以得到以交點為頂點的兩個等腰三角形，這個結(jié)論具有一定的應(yīng)用價值。例7：菱形兩對角線長分別為24和32，則菱形的高等于（ ）A19.2 B20.8 C21.4 D22【分析】根據(jù)菱形的面積公式和勾股定理?！窘狻緼【點評】應(yīng)用面積法解證命題是重要的思想方法之一。例8：如圖，正方形中，、交于點，點是上任意一點，垂足為、。求證：是等腰直角三角形?！痉治觥恳C明是等腰直角三角形，只要證，觀察圖可知，、在和中，所以只要證明即可?！咀C明】四邊形是正方形，。，。四邊形是矩形。，。，。在和中，。，是等腰直角三角形。【點評】注意綜合應(yīng)用正方形等幾何知識和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰Φ酿B(yǎng)成。例9：閱讀分析過程，并按要求進(jìn)行證明。已知：四邊形中，。求證：四邊形是等腰梯形。【分析】