新高考新教材2.2.2直線的兩點(diǎn)式方程(教學(xué)設(shè)計(jì))-人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)

1、2.2.2直線的兩點(diǎn)式方程教材分析本節(jié)課選自2019人教A版髙中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第二章直線和圓的方程，本節(jié)課主要學(xué) 習(xí)直線的兩點(diǎn)式方程。本節(jié)課的關(guān)鍵是關(guān)于兩點(diǎn)式的推導(dǎo)以及斜率k不存在或斜率k=0時(shí)對(duì)兩點(diǎn)式的討論及變形。直線方程 的兩點(diǎn)式可由點(diǎn)斜式導(dǎo)出，若已知兩點(diǎn)恰好在坐標(biāo)軸上（非原點(diǎn)），則可用兩點(diǎn)式的特例截距式寫(xiě)出直線的方 程。由于由截距式方程可直接確左直線與X軸和y軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)，因此用截距式畫(huà)直線比較方便。在解 決與截距有關(guān)或直線與坐標(biāo)軸用成的三角形面枳、周長(zhǎng)等問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常使用截距式。解決問(wèn)題的關(guān)鍵是理 解理解直線方程的兩點(diǎn)式和截距式的形式特點(diǎn)及適用范【帀I。教學(xué)中應(yīng)充分體現(xiàn)坐標(biāo)法建立

2、方程的一般思路, 為后續(xù)學(xué)習(xí)圓的方程及圓錐曲線的方程奠龍基礎(chǔ)。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的 核心素養(yǎng)。教學(xué)目標(biāo)核心蠢養(yǎng)課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A. 掌握直線的兩點(diǎn)式方程和截距式方程.B. 會(huì)選擇適當(dāng)?shù)姆匠绦问角笾本€方程.C. 能用直線的兩點(diǎn)式方程與截距式方程解 答有關(guān)問(wèn)題.L數(shù)學(xué)抽象：直線的兩點(diǎn)式方程和截距式方程2邏輯推理：直線方程之間的關(guān)系3數(shù)學(xué)運(yùn)算：用直線的兩點(diǎn)式方程與截距式方程求直線方程4直觀想象：截距的幾何意義敎學(xué)重難點(diǎn)1. 教學(xué)重點(diǎn)：掌握直線方程的兩點(diǎn)式及截距式2. 教學(xué)難點(diǎn)：會(huì)選擇適當(dāng)?shù)姆匠绦问角笾本€方程課前準(zhǔn)畐多媒體教學(xué)過(guò)程教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)訃意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)條直線，或已

3、知兩點(diǎn)也可以確定一條直線。通過(guò)對(duì)直線幾 何要素及點(diǎn)斜式方 程的回顧，提出問(wèn) 題，讓學(xué)生初步體會(huì) 坐標(biāo)法的思想方法， 并提出問(wèn)題，明確研 究問(wèn)題運(yùn)用方程思 想，求解直線兩點(diǎn)= 點(diǎn)式方程。一. 情境導(dǎo)學(xué)我們知道在直角坐標(biāo)系內(nèi)確定一條直線的幾何要素：點(diǎn)和傾斜角(斜率)，即已知直線上的一點(diǎn)和直線的斜率可以確定一這樣，在直角坐標(biāo)系中，給定一個(gè)點(diǎn)P(X ,y )和斜率k可得出直線方 OOO程。若給定直線上兩點(diǎn)P (X ,y )p (X j ),你能否得出直線的1 112 2 2方程呢?二、探究新知1.直線的兩點(diǎn)式方程(1)宜線的兩點(diǎn)式方程的泄義就是經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)PI(XI，y) P2(2,旳)(其中A1A2.

4、yy2)直線方程，我們把它叫做直線 的兩點(diǎn)式方程，簡(jiǎn)稱(chēng)兩點(diǎn)式.V-Vl X-Xiy2-yx2-點(diǎn)睛：1當(dāng)兩點(diǎn)(X j ),()的直線斜率不存在Cr二)或斜率為112 2 1 20(兒=兒)時(shí),不能用兩點(diǎn)式方程表示,即兩點(diǎn)式方程不能表示與坐標(biāo)軸I 乙垂直的直線.2.對(duì)于兩點(diǎn)式中的兩個(gè)點(diǎn),只要是直線上的兩個(gè)點(diǎn)即可;另外,兩點(diǎn)式方程與這兩個(gè)點(diǎn)的順序無(wú)關(guān),如直線過(guò)點(diǎn)P(IJ).P (2,3),由兩點(diǎn)1X式叫X和蕓也可以寫(xiě)成葺=藝1. 把由直線上已知的兩點(diǎn)坐標(biāo)得到的直線方程化為整式形式(y-y )(x -X )=(y-y )(x-a),對(duì)兩點(diǎn)的坐標(biāo)還有限制條件嗎？】 2】 2 1答案:這個(gè)方程對(duì)兩點(diǎn)的坐

5、標(biāo)沒(méi)有限制,即它町以表示過(guò)任意兩點(diǎn)的直線方程.2. 已知直線/過(guò)點(diǎn)A(3.1M(2.O).則直線/的方程為解析:由兩點(diǎn)式,得菩=篤化簡(jiǎn)得2=0.0-12-3答案:-2=0二、直線的截距式方程由坐標(biāo)系中的直 線，讓學(xué)生理解已知 直線兩個(gè)要素，建立 直線方程的過(guò)程。發(fā) 展學(xué)生邏輯推理，直 觀想象、數(shù)學(xué)抽象和 數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素名稱(chēng)己知條件示意圖方程使用范圍截 距 式在ry軸上的截距分別為ab/()/X十=1a1)0, bQ養(yǎng)。點(diǎn)睛：直線的截距式方程是宜線的兩點(diǎn)式方程的特殊情況,由直線的 截距式方程可以直接讀岀直線在X軸和y軸上的截距,所以截距式在 解決直線與坐標(biāo)軸用成的三角形的而積和周長(zhǎng)問(wèn)題時(shí)菲常方

6、便.3. 在X,軸上的截距分別是一3.4的直線方程是()A 234 1B 3+-4 1C. ： 1 1D- 4+-3 1答案A解析：由截距式方程知直線方程為士+亍=L選A4. 直線咅一占=l(bO)在y軸上的截距是()2 2 2A.B.C.-bD.lbl答案:C解析:原直線方程化為截距式方程為+=l,故在V軸匕的截距是 -b2.三、典例解析例1已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A(4O)B(O,-3),C(-2,1),求：(1) BC邊所在的直線方程；BC邊上中線所在的直線方程.思路分析:已知直線上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),可以利用兩點(diǎn)式寫(xiě)岀直線的方 程.解：(1)直線BC過(guò)點(diǎn)5(0,-3),C(-2,l),l兩點(diǎn)式方

7、程得當(dāng)=聲,化簡(jiǎn)得 1+ 3 -Z-O2x+v+3=0.(2) 由中點(diǎn)坐標(biāo)公式,得BC的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為(22, 一丁 )，即 D(-l,-l).、和線.ID過(guò)蟲(chóng)d(40)H兩點(diǎn)式方程得 M，0+14+1化簡(jiǎn)得x+3y+4=0.延伸探究例1已知條件不變,求：(1) AC邊所在的直線方程；(2) AC邊上中線所在的直線方程.解：(1)由兩點(diǎn)式方程,得豊=器，化簡(jiǎn)得x-2y+4=0.(2)由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得ZIC邊的中點(diǎn)(-3|),中線肛所任直線的方程為 y-(-3) _ X-O共3) -0,化簡(jiǎn)得 7a +6v+18=0.兩點(diǎn)式方程的應(yīng)用用兩點(diǎn)式方程寫(xiě)出直線的方程時(shí),要特別注意橫坐標(biāo)相等或縱坐 標(biāo)相

8、等時(shí),不能用兩點(diǎn)式.已知直線上的兩點(diǎn)坐標(biāo),也可先求出斜率,再 利用點(diǎn)斜式寫(xiě)岀直線方程.例2過(guò)點(diǎn)P(l,3),且與X軸、y軸的正半軸用成的三角形的而積等于6 的直線方程是()A.3x+y-6=0B.x+3y-l O=OC.3x-y=0D.x-3y+8=0思路分析:設(shè)出直線的截距式方程,然后利用點(diǎn)P在直線上以及三角形通過(guò)典型例題 的分析和解決，讓學(xué) 生加深對(duì)利用兩點(diǎn) 式和截距式求解直 線方程的方法，提升 運(yùn)用能力。發(fā)展學(xué)生 數(shù)學(xué)抽象、直觀想 象、邏輯推理的核心 素養(yǎng)。的面積列出參數(shù)所滿足的條件,解方程求出參數(shù).解析:設(shè)所求的直線方程為壬+ gl(dObO),QO由于過(guò)點(diǎn)P(1.3)且與兩坐標(biāo)軸的正

9、半軸所Wl成的三角形面積等于6.(丄 + 3I因叫匚二解桃誰(shuí)故所求直線的方程為3x+-6=0.答案:A總結(jié)歸納：在涉及直線與兩個(gè)坐標(biāo)軸的截距問(wèn)題時(shí),常把直線方程設(shè) 為截距式,由已知條件建立關(guān)于兩截距的方程,解得截距的值,從而確 定方程訓(xùn)練跟蹤1直線/過(guò)點(diǎn)(-3.4),且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12,求直 線/的方程.解:由于直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12.因此直線/在兩坐標(biāo)軸上 的截距都存在且不過(guò)原點(diǎn),故可設(shè)為截距式直線方程.設(shè)直線1的方程為藝+匕1側(cè)a+b=12.aO又直線/過(guò)點(diǎn)(-3,4),所以- + 1.ab由解得;背或麗表故所求的直線方程為？ + $1或彳+三丸93-416即 x+3

10、-9=0 或 4x-y+16=0.跟蹤訓(xùn)練2將變式訓(xùn)練1中的條件“在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12“ 改為“在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等”,求直線/的方程.解:設(shè)直線/在*軸、y軸上的截距分別為“血(1)當(dāng) t070 時(shí)，設(shè)/的方程為于+ 2=1,CZOI対為點(diǎn)(3,4)在F線上,所以止+ 2=1ao若=方,則,+7=0 或 4x+3y=0.金題典例如圖,某小區(qū)內(nèi)有一塊荒地ABCDE,已知BC=210通過(guò)典例解析，進(jìn)一 步讓理解運(yùn)用兩點(diǎn) 式和截距式方程的 方法，并能合理選擇 直線的方程形式，進(jìn) 一步體會(huì)坐標(biāo)法解 決問(wèn)題的基本思想。m,CD=240 m.DE=3 m.EA=18O mAE/ CD.

11、BC/DE, ZC=90o,今欲 在該荒地上劃出一塊長(zhǎng)方形地而(不改變方位)進(jìn)行開(kāi)發(fā)問(wèn)如何設(shè)計(jì) 才能使開(kāi)發(fā)的面積最大?最大開(kāi)發(fā)而積是多少？思路分析將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在線段AB上求一點(diǎn)P,使矩形面積最大,根據(jù) 圖形特征,可建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求出AB的方程.這里設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是 關(guān)鍵.解:以BC所在直線為X軸川E所任直線為y軸建立平而直角坐標(biāo)系(如 圖),由已知可得A(0.60),B(90,0),B所在直線的方程為冷+咅=1.即y=60(l-).Zy=60從而可設(shè)P(X60-令),其中090,SS：所開(kāi)發(fā)部分的面積為S=(300-x)(240-v).故 S=(300-x)(240-60+x)=-+20x+

12、54 OoO(Ox90),:當(dāng) X=-=I5,且 =60-l5=50 時(shí)，2()r3S 取最大值為上X152+20X15+54 000=54 150(m2)3因此點(diǎn)P距AE 15 mJHl BC 50 m時(shí)所開(kāi)發(fā)的而積最大，最大而枳為54 150 n?歸納總結(jié) 二次函數(shù)最值問(wèn)題,一方面要看頂點(diǎn)位置,另一方面還要 看定義域的范圍.結(jié)合圖形求解,有時(shí)并非在頂點(diǎn)處取得最值.三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1 過(guò)P (2,0),+8=0C2y+),-12=OD.2x-y-12=0解析:點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,4),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3,2),由兩點(diǎn)式方程 得證=尋即2x+v-8=0.答案:A3. 過(guò)點(diǎn)P(4, 3)且在坐標(biāo)軸上截距

13、相等的直線有()A. 1條B. 2條C. 3條D. 4條解析：過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線方程為y=-x.直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，可設(shè)其 方程為夕+A】，a a43-=1, =l.直線方程為 av-1 = 0.所以這樣的直線有2條，選B答案：B4. 若點(diǎn)P(3)在過(guò)點(diǎn)A(2,-l )J5(-3,4啲直線上,則m=解析：由兩點(diǎn)式方程得,過(guò)兩點(diǎn)的直線方儀為畫(huà)=弟,即4-(-1)-3-2x+y-l=0.又點(diǎn) PGM)在直線 AB 上,所以 3+zM-I=O,W m=-2.答案:25直線r+y=l(O)兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的而積是解析:直線在兩坐標(biāo)軸上的截距分別為乂與2所以直線9坐標(biāo)軸國(guó)ab的三角形而積為耗2jb答案 1*2b6.已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A(OA)t B(-2,6). C(一&0).(1) 求三角形三邊所在直線的方程；(2) 求AC邊上的垂直平分線的方程.推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。V4-O解析直線血的方程為冷=二整理得x+y-4 = 0:直線BC的方程為&二6=二所，整理得-+8 = 0:XV由截距式可知，直線JC的方程為+5=1,整理得-2y+8=0.(2)線段AC的中點(diǎn)為D( 4,2),直線AC的斜率為占，則JC邊上的垂直平分線的斜率為一2,所以2C邊的垂直平分線的方程為y-2 = -2(x4), 整理得2x+y+6=0.四、小結(jié)H兩點(diǎn)式方程I通過(guò)總結(jié)，讓學(xué) 生進(jìn)一步鞏固本節(jié) 所學(xué)