芝諾悖論的結(jié)構(gòu)新探

1、第二屆兩岸邏輯教學(xué)學(xué)術(shù)會(huì)議論文集芝諾悖論的結(jié)構(gòu)新探劉偉(南京大學(xué)現(xiàn)代邏輯與邏輯應(yīng)用研究所，南京210093)摘要：關(guān)于芝諾悖論的結(jié)構(gòu)歷來眾說紛紜。而只有在正確地理解了其躁初本真結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上才能對(duì) 其進(jìn)行恰當(dāng)分析本文通過考察歷史上對(duì)于芝諾悖論的認(rèn)識(shí)，闡明了其嚴(yán)整結(jié)構(gòu)，在此基礎(chǔ)上就當(dāng)前國 內(nèi)學(xué)界對(duì)芝諾悖論的一些誤解加以澄清，并且表明了正確認(rèn)識(shí)芝諾悖論的立腳點(diǎn)之所在關(guān)鍵詞：芝諾悖論；時(shí)空觀 芝諾否定運(yùn)動(dòng)的論證，由四個(gè)不同的精彩獨(dú)到的歸謬論證組成，它們既相互獨(dú)立又彼此配合。數(shù)千年以來有眾多的研究者包括亞里士多德、黑格爾和羅素等大哲學(xué)家在內(nèi)都對(duì) 它們進(jìn)行了深入的分析，得出了各種各樣的結(jié)論，但是大多數(shù)人都

2、僅停留在對(duì)這四個(gè)論證 的分立的分析上，很少有人對(duì)它們做整體把握，使得人們不能正確地認(rèn)識(shí)到芝諾悖論的結(jié) 構(gòu)。最近，張興先生發(fā)表論芝諾悖論的結(jié)構(gòu)一文 ，試圖從總體上對(duì)芝諾的四個(gè)論證 進(jìn)行深入把握，把研究的重心放在芝諾這四個(gè)論證的相互關(guān)系上，可以說是非常難得的。 但是，由于作者對(duì)于悖論的定義問題不夠重視，而且在對(duì)芝諾悖論的原始構(gòu)成的理解上有 所偏頗，導(dǎo)致自己的某些觀點(diǎn)難以自圓其說。本文試圖就此作進(jìn)一步的辨析，以就正于張 興先生與學(xué)界同仁。芝諾(約公元前六世紀(jì)到公元前五世紀(jì))是古希臘愛利亞學(xué)派的一名主要代表。其主 要理論活動(dòng)是論證他的老師巴曼尼德的存在的唯一性和不動(dòng)性觀念，否定“多”和“運(yùn)動(dòng)”。 芝諾

3、悖論的提出就是為了論證“運(yùn)動(dòng)不存在”這一觀點(diǎn)。芝諾本人的著作未能流傳下來，但是他的這四個(gè)論證比較完整地被保留在亞里士多德 的物理學(xué)之中：“芝諾關(guān)于運(yùn)動(dòng)的論證(這些論證給那些研究這些問題的人造成了困難)有四，第一個(gè) (二分法)說，運(yùn)動(dòng)不存在。理由是，位移物體在末達(dá)到目的地之前必須先抵達(dá)其一半處。第二個(gè)就是所謂的阿克琉斯(現(xiàn)通譯為阿基里斯一引者注)，論證。這個(gè)論證的意思是說，一個(gè)跑得最快的檐麟西覆再自翰豳譯為倆瞄醣醪寢鶴乳者瀅瑚溜潮芻嬲鳋疆蒼黃是啪敷被追的人的出發(fā)點(diǎn)，因此跑的最慢的人必然永遠(yuǎn)領(lǐng)先。 第三個(gè)論證(飛箭不動(dòng))是說，任何事物，當(dāng)它是在一個(gè)和自己大小相等的空間里時(shí)(沒有越出它)，它是靜止的

4、。如果位移的事物總是在現(xiàn)在里占有這樣的一個(gè)空間。那么 飛著的箭是不動(dòng)的。第四個(gè)是關(guān)于運(yùn)動(dòng)場上運(yùn)動(dòng)物體的論證(運(yùn)動(dòng)場)。跑道上有兩排物體，大小相同，數(shù) 目相同。一排從終點(diǎn)排到中間點(diǎn)，另一排從中間點(diǎn)排到起點(diǎn)，它們以相同的速度做相反的心運(yùn)動(dòng)。芝諾認(rèn)為這里可以說明，一半的時(shí)間和整個(gè)的時(shí)間相等?！眮喞锸慷嗟略谶@里所說的四個(gè)論證只是芝諾關(guān)于否定運(yùn)動(dòng)的諸多論證中的一小部分。 后來研究芝諾的人們習(xí)慣性地稱它們?yōu)椤爸ブZ否定運(yùn)動(dòng)的四個(gè)悖論”。這種稱呼一直到今天 依然被大多數(shù)研究者所使用。后人對(duì)芝諾的這四個(gè)論證的認(rèn)識(shí)雖各有不同，然而大都遵循亞里士多德對(duì)四個(gè)論證分別加以研究的先例，有人則僅致力于對(duì)其中一兩個(gè)論證的研究

5、。eh于涉及到了時(shí)間和空間的無限劃分問題，芝諾悖論的解決必須要有一個(gè)清晰的對(duì)于有限 和無限的把握。對(duì)此，古希臘人可以說是知之甚少，直到十九世紀(jì)末，數(shù)學(xué)家有能力駕馭作者簡介：劉偉(1982一)t男，河北懷安人t現(xiàn)為南京大學(xué)現(xiàn)代邏輯與邏輯應(yīng)用研究所研究生，主要研究方向：哲學(xué)邏輯、模糊邏輯。667第二屆兩岸邏輯教學(xué)學(xué)術(shù)會(huì)議論文集無限之后，人們對(duì)芝諾悖論的認(rèn)識(shí)才逐漸明朗起來。 經(jīng)過長期的探索與討論，現(xiàn)代西方的哲學(xué)界與邏輯學(xué)界對(duì)芝諾四個(gè)論證的邏輯結(jié)構(gòu)可以說已經(jīng)有了清晰的把握。例如，情境語義學(xué)創(chuàng)始人之一德福林在笛卡爾，拜拜一書 中明確指出：。芝諾依據(jù)飛箭悖論來挑戰(zhàn)當(dāng)時(shí)流行的原子論的時(shí)空觀(原子論認(rèn)為空間

6、是由眾多相鄰的點(diǎn)所構(gòu)成，而時(shí)間是一連串連續(xù)的瞬間)。又用“阿基里斯追龜”來挑戰(zhàn)另 一種認(rèn)為時(shí)空可以無限分割的時(shí)空觀，這一種時(shí)空觀與前者是截然相反的?！?3)數(shù)學(xué) 家克萊茵的古今數(shù)學(xué)思想中也曾說明：“芝諾的爭論是針對(duì)這兩種理論的(即原子論的 時(shí)空觀和認(rèn)為時(shí)空可以無限分割的時(shí)空觀)，他那關(guān)于運(yùn)動(dòng)的頭兩個(gè)悖論是反對(duì)第一種學(xué)說 的，而后兩個(gè)悖論則是反對(duì)第二種學(xué)說的。這兩對(duì)悖論中，每一對(duì)的頭個(gè)悖論考察單獨(dú) 一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)，其第二個(gè)則考察若干物體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)?！?4)可以說這些觀點(diǎn)已經(jīng)很接 近芝諾餑論統(tǒng)一而完整的結(jié)構(gòu)，其缺憾在于沒有在正確認(rèn)識(shí)悖論的定義的前提下對(duì)芝諾悖 論的四個(gè)論證作整體的分析明乎此，我們就

7、可以細(xì)致地分析芝諾的四個(gè)論證了。張建軍教授曾將嚴(yán)格意義的(廣義)邏輯悖論定義如下：“悖論是指謂這樣一種理論事 實(shí)或狀況，在某些公認(rèn)正確的背景知識(shí)下，可以合乎邏輯的建立兩個(gè)矛盾語句相互推出的 矛盾等價(jià)式”(5)該定義指明了嚴(yán)格悖論的三個(gè)構(gòu)成要素：一，可以建立矛盾等價(jià)式， 或者說在同一背景知識(shí)下可以邏輯的推出p，又可以邏輯地推出1 p。二，推導(dǎo)所依賴的公 認(rèn)正確的背景知識(shí)。三，所依賴的背景知識(shí)和矛盾等價(jià)式之間的無誤推導(dǎo)限于本文宗旨，我們在此不討論學(xué)術(shù)界關(guān)于悖論定義的諸多爭論，而是用上述定義幫 助我們區(qū)分。嚴(yán)格悖論”和“半截子悖論”。簡言之，。半截子悖論”指謂由p可推得非p， 而反之不然的情形。就學(xué)

8、界熟知的例子而言，“所有語句都是假的”導(dǎo)致“半截子悖論”， 而“本語句是假的”才導(dǎo)致嚴(yán)格悖論。前者只能通過歸繆得出該語句必假，而后者則可建 構(gòu)該語句和其否定語句的矛盾等價(jià)式這兩個(gè)概念的澄清可以幫助我們理解芝諾悖論的原 始結(jié)構(gòu)。下面，我們在嚴(yán)格悖論的定義下對(duì)芝諾的四個(gè)命題加以分析。論證一認(rèn)為，運(yùn)動(dòng)(很明顯，芝諾論證中所說到的運(yùn)動(dòng)就是位移)事物在到達(dá)目的地 之前必須先抵達(dá)其一半處，而在抵達(dá)其一半處之前又必須要先抵達(dá)其一半的一半處。如此 對(duì)空間一半一半的分割下去永無休止，則位移者寸步難行因而，位移是不可能的，運(yùn)動(dòng) 是不存在的。論證二是對(duì)論證一的補(bǔ)充，是說一個(gè)跑得最快者在追趕一個(gè)跑得最慢者時(shí)， 首先就

9、要達(dá)到后者的出發(fā)點(diǎn)，而在他達(dá)到這一出發(fā)點(diǎn)的時(shí)候，那個(gè)跑得最慢者(盡管跑得 很慢)卻又在這一點(diǎn)時(shí)間里向前了一段距離，如此反復(fù)，跑的最慢者必然永遠(yuǎn)領(lǐng)先。在這里我們可以看出，論證一和論證二有著兩個(gè)共同的的出發(fā)點(diǎn)：1假設(shè)運(yùn)動(dòng)存在。(這 是芝諾的整個(gè)理論系統(tǒng)所要極力否定的東西，但就所有承認(rèn)運(yùn)動(dòng)存在的認(rèn)知主體構(gòu)成的認(rèn) 知共同體而言，這卻是“公認(rèn)正確的背景知識(shí)”。)2時(shí)空是可以無限分割的。因而，論證一和論證二就可以一起描述如下： 如果承認(rèn)運(yùn)動(dòng)存在，并且時(shí)空無限可分，那么，得出的結(jié)論(即位移者寸步難行和跑得最快的人追不上一個(gè)跑得最慢的人)是明顯違背人們的直覺合理性的。 從論證一和論證二的形式可以看出，兩個(gè)論證

10、都是對(duì)歸繆法的漂亮的應(yīng)用。即設(shè)運(yùn)動(dòng)存在為p，時(shí)空無限可分為q，違背直觀合理性的結(jié)果為r，則得到如下結(jié)構(gòu)：p并且q推 出r。由于r的荒謬性所歸謬的是。p并且q”這個(gè)聯(lián)言旬，該聯(lián)言句的否定便相當(dāng)予選言 旬“非p或者非q”(并非運(yùn)動(dòng)存在或并非時(shí)空無限可分)因此，芝諾對(duì)那些堅(jiān)持運(yùn)動(dòng)存在的人顯得十分寬容，為他們提供了另外一種選擇可以去否定時(shí)空的無限可分性。換言之，如果堅(jiān)持。運(yùn)動(dòng)存在”為公共知識(shí)，這兩個(gè)論證就是對(duì)于“時(shí)空無限可分”的歸謬 只有堅(jiān)持時(shí)空無限可分，才構(gòu)成對(duì)。運(yùn)動(dòng)存在”的歸謬無論如何，就這兩個(gè)論證而言， 它們充其量都只是“半截子悖論”，而不是嚴(yán)格意義上的悖論否認(rèn)時(shí)空的無限可分性就意味著承認(rèn)它的矛

11、盾命題“時(shí)空有最小不可分單位”。這正是668第二屆兩岸邏輯教學(xué)學(xué)術(shù)會(huì)議論文集芝諾的論證三和論證四所要討論的問題。正確認(rèn)識(shí)后兩個(gè)論證，是正確認(rèn)識(shí)芝諾悖論完整 結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵之一。飛箭不動(dòng)”和。運(yùn)動(dòng)場”都是以“時(shí)空有最小不可分單位”再加上“運(yùn)動(dòng)存在”為 前提的?！帮w箭不動(dòng)”比較明顯地要求把時(shí)空分割為一個(gè)個(gè)的單位，因?yàn)轱w著的箭總是在一 個(gè)時(shí)間單位內(nèi)占據(jù)著一個(gè)空間單位，因而，它是不動(dòng)的。“運(yùn)動(dòng)場”則表述得不是很明顯， 需要再作分析。德國學(xué)者柏內(nèi)特在上述表述的基礎(chǔ)上加入了一列靜止的物體作為參照物，使得“運(yùn)動(dòng) 場”的推導(dǎo)更為容易理解哺1，圖示如下：相對(duì)運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的終點(diǎn)aaaaaaaabbbbbbbb一

12、cccccccc由于前提中有“時(shí)空有最小不可分單位”這一概念，那么在這里可將a，b。c物體所占 的空間均視為最小不可分單位，并且設(shè)b和c的一步位移可以度量一個(gè)最小不可分的時(shí)間 單位。那么，在由相對(duì)運(yùn)動(dòng)起點(diǎn)到相對(duì)運(yùn)動(dòng)終點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程當(dāng)中，b相對(duì)于第一行越過了 兩個(gè)最小不可分單位，相對(duì)于第三行又越過了四個(gè)最小不可分單位這樣就得出了一半的 時(shí)間相當(dāng)于整個(gè)的時(shí)間的謬論。對(duì)論證三的分析可以得到和論證四同樣都是明顯違背直覺合理性的結(jié)論，飛著的箭是不動(dòng)的和一半的時(shí)間相當(dāng)于整個(gè)的時(shí)間，因?yàn)槎呔哂型瑯拥那疤嵋贿\(yùn)動(dòng)存在和時(shí)空有最小不可分單位。同論證一和論證二一樣，在這里只能得到“半截予悖論”，而無法建立起矛盾等價(jià)

13、式。因而，論證三和論證四也不能說是嚴(yán)格意義上的悖論。設(shè)運(yùn)動(dòng)存在為p，時(shí)空 有最小不可分單位為s，違背直觀合理性的結(jié)果為r，可以看出它們論證的結(jié)構(gòu)和前兩個(gè)論 證的結(jié)構(gòu)是一樣的：p并且s推出rr的荒謬性所歸謬的仍是聯(lián)言式：p并且s，其否定 為“非p或者非s”(并非運(yùn)動(dòng)存在或者并非時(shí)空有最小不可分單位)如果承認(rèn)運(yùn)動(dòng)存在， 論證三和論證四就成了對(duì)。時(shí)空有最小不可分單位”的歸謬?，F(xiàn)在，把前兩個(gè)論證和后兩個(gè)論證結(jié)合起來分析，一個(gè)嚴(yán)格意義上的芝諾悖論即將浮 出水面。如前所證明的，芝諾關(guān)于否定運(yùn)動(dòng)的四個(gè)論證都不是嚴(yán)格意義上的悖論，而只是四個(gè) 漂亮的歸謬。亞里士多德對(duì)芝諾悖論的選擇十分巧妙，從窮盡可能的角度講，

14、第一、三論 證是針對(duì)單一個(gè)體的位移而言的，第二、四論證是針對(duì)個(gè)體間的相對(duì)位移而言的。前兩個(gè) 論證是對(duì)“時(shí)空可無限分割”的歸謬，后兩個(gè)論證是對(duì)“時(shí)空有最小不可分單位”的歸謬。 由于這兩個(gè)正好構(gòu)成了一對(duì)矛盾命題，由此我們就可以在承認(rèn)“運(yùn)動(dòng)存在”這一公認(rèn)正確 的背景知識(shí)下，邏輯地建立如下矛盾等價(jià)式：時(shí)空無限可分，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)空有最小不可 分單位以上分析表明，以學(xué)界長期習(xí)慣，把芝諾否定運(yùn)動(dòng)的論證看作是四個(gè)分立的。悖論一 加以分析和解決的方法，并未能真正理解芝諾悖論的實(shí)質(zhì)而只有把這四個(gè)論證當(dāng)作是一 個(gè)整體來把握時(shí)，才能認(rèn)識(shí)到真正意義上的嚴(yán)整的芝諾悖論。芝諾悖論對(duì)于其本人及埃利 亞學(xué)派等否認(rèn)運(yùn)動(dòng)的認(rèn)知共同

15、體來說只是一個(gè)有力的否認(rèn)運(yùn)動(dòng)的歸謬論證，但是對(duì)當(dāng)時(shí)任 何承認(rèn)運(yùn)動(dòng)的認(rèn)知共同體而言，芝諾悖論都是一個(gè)貨真價(jià)實(shí)的悖論。由此可見，芝諾悖論確實(shí)是人類歷上的第一個(gè)嚴(yán)格的悖論，但是只是高度依賴直覺 合理性的哲學(xué)悖論。其嚴(yán)密的論證結(jié)構(gòu)深藏于巧妙的論證當(dāng)中由于人們對(duì)于這四個(gè)論證如何共同構(gòu)成一個(gè)嚴(yán)格悖論沒有清楚把握，造成了人們對(duì)于芝諾悖論的結(jié)構(gòu)和論證前提的 誤視和錯(cuò)解，這在國內(nèi)西方哲學(xué)教材中就有明顯體現(xiàn)第二屆兩岸邏輯教學(xué)學(xué)術(shù)會(huì)議論文集例如，在國內(nèi)一部西方哲學(xué)的著名教材中對(duì)芝諾悖論是這樣描述的：“第一個(gè)悖論指 出運(yùn)動(dòng)的路程是無限可分的，第二個(gè)悖論則側(cè)重說明運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是無限可分的，第三個(gè)悖 論說明運(yùn)動(dòng)路程和時(shí)間的

16、無限可分性造成的速度是靜止的 第四個(gè)悖論純屬數(shù)學(xué)游戲?！?7)如前所述，不能把芝諾悖論當(dāng)作是四個(gè)相互獨(dú)立的悖論，因?yàn)樗鼈內(nèi)魏我粋€(gè)都不能構(gòu) 成一個(gè)嚴(yán)格的矛盾等價(jià)式，而第四個(gè)論證也絕不僅僅是數(shù)學(xué)游戲。第一和第二個(gè)論證的確 體現(xiàn)了時(shí)間和空間的無限可分性，但絕不是。說明”了這一性質(zhì)，而是說在承認(rèn)時(shí)空無限 可分的前提下會(huì)出現(xiàn)違背直覺合理性的結(jié)論。而它們共同前提的反命題“時(shí)空有最小不可 分單位”是由論證三和論證四來說明的如果這一說明沒有完成，就無法構(gòu)成一個(gè)嚴(yán)格的 悖論再如，另一部著名的西方哲學(xué)教材中也認(rèn)為：“二分法和阿基里斯追龜說的 是，某一有限的距離可以無限分割，飛矢不動(dòng)說的是運(yùn)動(dòng)的物體在每一個(gè)瞬間都處

17、在一 個(gè)靜止的點(diǎn)上。運(yùn)動(dòng)場說的是物體的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)和相對(duì)運(yùn)動(dòng)的矛盾?！?8)可見，該書 也是看到了關(guān)于時(shí)空無限可分割性的說明而沒有看到關(guān)于其否定命題的說明。沒有把后兩 個(gè)論證放在與前兩個(gè)論證同等重要的地位上來看待，這樣就必然不能對(duì)芝諾悖論的完整結(jié) 構(gòu)做出正確的認(rèn)識(shí)。作者只是由違背直覺合理性得出了該論證中必然存在著矛盾，而對(duì)于 該矛盾的具體形式卻沒有予以澄清由此，作者認(rèn)為，“芝諾在思維方式上的根本缺陷，就 是把概念，范疇凝固化，把一切對(duì)立的概念、范疇等，比如連續(xù)性和間斷性，有限和無限 等等，看作是絕對(duì)不相容的東西”(9】由于忽視或者說弱化了后兩個(gè)論證的作用，作者 不能認(rèn)識(shí)到，芝諾悖論產(chǎn)生的原因恰恰是

18、把有限和無限，連續(xù)性和間斷性當(dāng)作是統(tǒng)一的整 體來看待時(shí)才出現(xiàn)的。即在承認(rèn)運(yùn)動(dòng)存在的前提下，不論是承認(rèn)連續(xù)(時(shí)空可無限分割) 還是承認(rèn)間斷(時(shí)空有最小不可分單位)都會(huì)導(dǎo)致矛盾。只有處在兩難的矛盾等價(jià)式當(dāng)中 時(shí)，才會(huì)顯得難以辯駁，而如果芝諾犯的只是一個(gè)把概念范疇凝固化的錯(cuò)誤的話，也就不 能稱其為一個(gè)嚴(yán)格的悖論了其實(shí)早在上個(gè)世紀(jì)九十年代初，張建軍教授就已經(jīng)在其著作中對(duì)芝諾悖論的完整結(jié)構(gòu) 做出了清晰的說明，并且提出了。中國古代典籍當(dāng)中為什么沒有出現(xiàn)類似的嚴(yán)格悖論而只 有半截子悖論”這一值得深思的問題(10)，但由于學(xué)界對(duì)嚴(yán)格悖論和非嚴(yán)格悖論的區(qū)分重 視不夠，對(duì)于芝諾悖論的嚴(yán)整把握尚未成為學(xué)界的通行觀念

19、同時(shí)，學(xué)界的種種誤解還表 明，要正確認(rèn)識(shí)芝諾悖論的結(jié)構(gòu)，除了正確區(qū)分嚴(yán)格悖論和。半截子悖論”之外，還要足 夠重視論證三和論證四的作用，認(rèn)清它們與前兩個(gè)論證的關(guān)系和相互作用。沒有后兩個(gè)論 證，芝諾悖論是不會(huì)有如此重要的地位的芝諾是在。運(yùn)動(dòng)存在”的前提下構(gòu)建出這四個(gè)論證的，而對(duì)于當(dāng)時(shí)所有以“運(yùn)動(dòng)存在” 為。公認(rèn)正確的背景知識(shí)”的哲學(xué)家共同體以及日常合理思維認(rèn)知主體而言，這都是一個(gè) 貨真價(jià)實(shí)的悖論四個(gè)論證當(dāng)中分別涉及了時(shí)空的劃分問題是可以無限劃分還是有最 小不可分單位運(yùn)動(dòng)和時(shí)空是密不可分的，任何形式的運(yùn)動(dòng)都必然是在時(shí)空當(dāng)中完成，而 時(shí)空觀就必然成為芝諾的前提和結(jié)論之間的紐帶，對(duì)于時(shí)空的理解不同，對(duì)芝

20、諾悖論的理 解無疑也是不同的。盡管歷代哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家中都有人宣稱已經(jīng)解決了這一難題，但是它 又總是會(huì)以新的形式得到重構(gòu)，其根本原因其實(shí)是落在了關(guān)于時(shí)空觀與無窮觀的認(rèn)識(shí)上遠(yuǎn)在古希臘時(shí)代，無窮的概念與方法就已滲透迸數(shù)學(xué)領(lǐng)域，并已開始了潛無窮和實(shí)無窮 這兩種無窮觀的萌芽。伊奧尼亞學(xué)派的阿納克薩戈拉認(rèn)為物質(zhì)是無限可分的；而古代原子論 者卻認(rèn)為存在著最小的不可分質(zhì)點(diǎn)，一般認(rèn)為，“在這兩種認(rèn)識(shí)中即已孕育著兩種不同的無 窮觀。前者導(dǎo)致事物無限可分而永遠(yuǎn)在分割的進(jìn)程中，這就是潛無窮觀的萌芽；后者引向事物 為不可分的最小質(zhì)點(diǎn)的無限堆積的總體，這就是形成實(shí)無窮概念的起始”(11)亞里士多德對(duì)芝諾的這四個(gè)命題批判道

21、：“既然時(shí)間是連續(xù)的，大小也會(huì)是連續(xù)的，670第二屬兩岸邏輯敦學(xué)學(xué)術(shù)會(huì)議論交集因?yàn)樵谝话氲臅r(shí)間內(nèi)通過的是一半的大小，而且一般的講，在較少的時(shí)間中通過的時(shí)間也 較少，因?yàn)闀r(shí)間的劃分和大小的劃分是相同的。而且，如果一方是無限的，另一方面也是 如此 因此，芝諾的論證是錯(cuò)誤的，他認(rèn)為一個(gè)事物不能在有限的時(shí)間中通過無限的東 西或者分別與無限的東西相接觸 ”(12)從他的原文中可以看出，亞里士多德對(duì)于“兩 分法”和“阿基里斯”的批判是比較有成效的，而對(duì)于“飛矢不動(dòng)”和“運(yùn)動(dòng)場”卻所言 甚少且說服力不強(qiáng)。其實(shí)在這里，亞里士多德是把數(shù)學(xué)上的連續(xù)性和感覺上的連續(xù)性等同 了起來，在此基礎(chǔ)上就試圖解決芝諾悖論。對(duì)于

22、他來說，一個(gè)類只能是潛無窮的，類的元 素可以無限的增加，但是它絕不是一個(gè)已經(jīng)完成了的整體。在這樣的背景下，亞里士多德 用潛無窮的觀點(diǎn)來回應(yīng)芝諾關(guān)于潛無窮觀念的挑戰(zhàn)當(dāng)然是無力的，注定只能掉進(jìn)芝諾的另 一個(gè)圈套。在這里需要特意指出的是，在古希臘時(shí)期不可能有明確的實(shí)無窮的概念，因而人們都 僅僅是把無窮看成一種不斷延伸，永無止盡的變化過程，是時(shí)間上的無始無終和空間上的 無邊無際，前面總結(jié)的“時(shí)空無限可分”和“時(shí)空有最小不可分單位”是一對(duì)矛盾命題是 在這樣的潛無窮的時(shí)空觀下而成立的。并且更嚴(yán)格地說應(yīng)該把這一對(duì)矛盾命題當(dāng)中的時(shí)間 和空間分開來敘述，即，要加上亞里士多德所給出的前提：“如果一方是無限的，另一

23、方 也如此，如果一方在哪方面無限，另一方亦如此。例如，如果時(shí)間在兩個(gè)極端方面無限， 長度也在兩個(gè)極端方面無限，如果時(shí)間在劃分上無限，長度也會(huì)在劃分上無限，如果時(shí)間 在上述兩個(gè)方面都無限，大小亦會(huì)在這兩個(gè)方面都無限?！?13)只不過即使將時(shí)間和空 間，有限和無限分開來論述，悖論也一樣會(huì)發(fā)生，只是推導(dǎo)過程更加復(fù)雜一些而已。我們今天可以站在前人的基礎(chǔ)上對(duì)芝諾悖論有更深的理解，對(duì)于時(shí)空是否可以劃分以 及如何劃分的問題古希臘人可以說是籌莫展。就時(shí)空本身而言，直覺上可以無限劃分而 可論證為不可劃分這一事實(shí)在一些概念沒有澄清之前似乎就是一對(duì)無法解決的矛盾。這一 矛盾在康托爾之后才得到了一些緩解?？低袪柊l(fā)現(xiàn)，

24、人們普遍地利用時(shí)間和空間的概念來 闡明人們頭腦中的連續(xù)性觀念，但是在他看來，這樣的直觀觀念是不能被接受的，連續(xù)性 是獨(dú)立于時(shí)間的連續(xù)性的，時(shí)間的連續(xù)性也不過是自然界中制約運(yùn)動(dòng)的一種附屬概念?？?托爾指出，在空間中，運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性是完全可能的，但是在接受空間一詞的時(shí)候，并不意 味著同時(shí)也接受了連續(xù)性。整個(gè)時(shí)空盡管可以進(jìn)行劃分，但是在實(shí)無窮的觀點(diǎn)看來，對(duì)時(shí) 空的無限分割本身就是一個(gè)整體，是一個(gè)已經(jīng)完成了的集合，在這種情形下，運(yùn)動(dòng)依然是 存在的，但是其存在并不以時(shí)空的劃分形式為一種基本度量。弄清楚了芝諾悖論所產(chǎn)生的立腳點(diǎn)，就可以明白對(duì)于它的本真結(jié)構(gòu)的解釋并不能建立 在現(xiàn)代科學(xué)的理論水平和知識(shí)背景下，這

25、就是張興的論芝諾悖論的結(jié)構(gòu)一文的不妥之 處。文中認(rèn)為“二分法”和“阿基里斯追龜”所導(dǎo)致的是“無窮小量既是零又不是零”這 樣的一個(gè)“悖論”，而處于古希臘時(shí)期的芝諾不可能有一個(gè)明確的“無窮小量”的觀念。其 實(shí)芝諾在論證他的悖論時(shí)主要還是依靠哲學(xué)思辨和直覺合理性。真正的無窮小方法的普遍應(yīng)用是16世紀(jì)到17世紀(jì)上半葉的事，在這一時(shí)期，無窮小量已經(jīng)在數(shù)學(xué)，尤其是微積分 中廣泛應(yīng)用并發(fā)揮了很大的作用。到了牛頓和萊布尼茨時(shí)期，由于他們力圖為無窮小量提 供堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，卻又不能正確地把握經(jīng)驗(yàn)與理性的關(guān)系，使得無窮小理論中的邏輯困難 日益突出。此時(shí)貝克萊主教又對(duì)無窮小方法進(jìn)行了大肆的致?lián)?，才使得無窮小量到底是

26、否 為零的問題第一次上升到了餑論的高度來認(rèn)識(shí)，并由此引發(fā)了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。因而，把 無窮小量問題當(dāng)作芝諾悖論原始結(jié)構(gòu)的一部分是不恰當(dāng)?shù)模Y(jié)構(gòu)一文對(duì)。二分法，和。阿 基里斯”兩個(gè)論證的解釋很明顯是不符合芝諾的原意的。同樣的問題出現(xiàn)在對(duì)論證4“運(yùn)動(dòng)場”的解釋當(dāng)中，作者站在相對(duì)論和量子力學(xué)的角度 設(shè)計(jì)這個(gè)運(yùn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)，用當(dāng)物體以光速作相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)所要遵守的“光速不變定理”來解釋“運(yùn) 動(dòng)場”所提出的搿一半的時(shí)間等于一倍的時(shí)間”這個(gè)問題。(并且這個(gè)問題導(dǎo)致了在相對(duì)論67i第二屆蘸岸邏輯教學(xué)學(xué)術(shù)會(huì)議論文集和量子力學(xué)方面的矛盾)從光速運(yùn)動(dòng)的角度也確實(shí)可以比較完整地解釋“運(yùn)動(dòng)場”提出的 問題。但是我們必須認(rèn)識(shí)到，相

27、對(duì)論理論的創(chuàng)立建立在牛頓力學(xué)高度發(fā)達(dá)的基礎(chǔ)上，牛頓 在物理學(xué)上所取得的成就與古希臘時(shí)期的物理學(xué)成就根本就不可同日而語。相對(duì)論與量子 力學(xué)的提出比芝諾悖論的提出要晚出兩千多年，其學(xué)術(shù)背景和歷積淀是古希臘時(shí)期所遠(yuǎn) 不能及的。結(jié)構(gòu)一文的作者的失誤就在于用自己的這種現(xiàn)代觀點(diǎn)的解釋來構(gòu)架芝諾悖論， 而沒有注意將芝諾悖論的原初本真結(jié)構(gòu)與其在近現(xiàn)代科學(xué)中的各種“重塑”相區(qū)別。對(duì)于任何一個(gè)理論或問題，都是可以從不同的角度加以觀察理解的。舊的問題加上新 的視角往往可以給原問題注入新的生機(jī)和活力，也往往由之可以更深地挖掘到原問題的含 義。但是我們絕不能把從新理論對(duì)芝諾悖論做出的解釋就當(dāng)作是芝諾悖論自身的原本含義 芝諾悖論以其嚴(yán)格的論證而著稱，兩千多年來經(jīng)久不衰而難以辯駁。并且每隔一段時(shí)間就 會(huì)重新出現(xiàn)在人們的視野里而成為學(xué)界討論的焦點(diǎn)。究其原因，除了由于新理論的注入使 得人們對(duì)它的理解加深以外，主要還在予芝諾悖論本身的嚴(yán)格的論證，使得其在一誕生時(shí) 就在歷上占有一席之地。我們并不反對(duì)從現(xiàn)代的觀點(diǎn)出發(fā)挖掘芝諾悖論的意義，但是如 果討論芝諾悖論的結(jié)構(gòu)的話還是應(yīng)當(dāng)回歸到其原始結(jié)構(gòu)，并將其與后來在現(xiàn)代科學(xué)中的。重塑”區(qū)別開來。否則