小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、學(xué)而思小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié) .、八、一 前言 小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)梳理，對(duì)于學(xué)而思的小學(xué)奧數(shù)大綱建設(shè)尤其必要，不過(guò)，對(duì)于知識(shí)點(diǎn) 的概括很可能出現(xiàn)以偏概全掛一漏萬(wàn)的現(xiàn)象，為此，本人參考了單尊主編的小學(xué)數(shù)學(xué)奧 林匹克、中國(guó)少年報(bào)社主編的華杯賽教材 、華杯賽集訓(xùn)指南以及學(xué)而思的寒假班 系列教材和華羅庚學(xué)校的教材共五套教材，力圖打破原有體系，重新整合劃分，構(gòu)建十 七塊體系(其第十七為解題方法匯集，可補(bǔ)充相應(yīng)雜題) ，原則上簡(jiǎn)明扼要，努力刻畫(huà)小學(xué) 奧數(shù)知識(shí)的主樹(shù)干。 概述 一、 計(jì)算 1 四則混合運(yùn)算繁分?jǐn)?shù) 運(yùn)算順序 分?jǐn)?shù)、小數(shù)混合運(yùn)算技巧 一般而言： 加減運(yùn)算中，能化成有限小數(shù)的統(tǒng)一以小數(shù)形式； 乘除運(yùn)算中，

2、統(tǒng)一以分?jǐn)?shù)形式。 帶分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)的互化 繁分?jǐn)?shù)的化簡(jiǎn) 2 簡(jiǎn)便計(jì)算 湊整思想 基準(zhǔn)數(shù)思想 裂項(xiàng)與拆分 提取公因數(shù) 商不變性質(zhì) 改變運(yùn)算順序 運(yùn)算定律的綜合運(yùn)用 連減的性質(zhì) 連除的性質(zhì) 同級(jí)運(yùn)算移項(xiàng)的性質(zhì) 增減括號(hào)的性質(zhì) 變式提取公因數(shù) 形如： a1ba2b anb(a1a2 an )b 3 估算 求某式的整數(shù)部分：擴(kuò)縮法 4 比較大小 通分 5. 6. a. 通分母 b. 通分子 跟“中介”比 利用倒數(shù)性質(zhì) 1 1 1 右，貝V cba.。形如: abc m1 n1 m2 n2 m門2門3 。 m1m2m3 定義新運(yùn)算 特殊數(shù)列求和 運(yùn)用相關(guān)公式: 12 22 2 n n 1 2n 1 an

3、13 23 abcabc abc 1001 abc 11 13 a2 b2 1+2+3+4 (n-1 ) +n+ (n-1 ) +4+3+2+1=n2 二、 數(shù)論 1. 奇偶性問(wèn)題 奇 奇=偶奇x奇=奇 奇偶=奇奇x偶=偶 偶偶=偶偶X偶=偶 2. 位值原則 形如：abc=100a+10b+c 3.數(shù)的整除特征: 整除數(shù) 特征 2 末尾是0、2、4、6、8 3 各數(shù)位上數(shù)字的和是 3的倍數(shù) 5 末尾是0或5 9 :各數(shù)位上數(shù)字的和是 9的倍數(shù) 11 奇數(shù)位上數(shù)字的和與偶數(shù)位上數(shù)字的和，兩者之差是11的倍數(shù) 4和25 末兩位數(shù)是4 （或25）的倍數(shù) 8 和 125 末三位數(shù)是8 （或125）的倍

4、數(shù) 7、11、13 末三位數(shù)與前幾位數(shù)的差是7 (或11或13)的倍數(shù) 4. 整除性質(zhì) 如果c|a、c|b，那么c|(a b)。 如果bc|a，那么b|a, c|a。 如果b|a,。國(guó)，且(b,c) =1,那么bc|a。 如果c|b,b|a,那么c|a. a個(gè)連續(xù)自然數(shù)中必恰有一個(gè)數(shù)能被a整除。 5. 帶余除法 一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)(b工0),那么一定有另外兩個(gè)整數(shù)q和r, 0 rv b, 使得 a=b x q+r 當(dāng)r=0時(shí)，我們稱a能被b整除。 當(dāng)工0時(shí)，我們稱a不能被b整除，r為a除以b的余數(shù)，q為a除以b的不完全 商(亦簡(jiǎn)稱為商)。用帶余數(shù)除式又可以表示為a十b=qr, 0

5、r v b a=bx q+r 6. 唯一分解定理 任何一個(gè)大于1的自然數(shù)n都可以寫(xiě)成質(zhì)數(shù)的連乘積，即 n= pl a1 x p2 a2 x. xp kak 7. 約數(shù)個(gè)數(shù)與約數(shù)和定理 設(shè)自然數(shù)n的質(zhì)因子分解式如n= pl a1 x p2 a2 x . xp kak那么： n 的約數(shù)個(gè)數(shù)：d( n)=(a1+1)(a2+1).(ak+1) n 的所有約數(shù)和：(1+P1+P12+p1 a1 )(1+P2+P22+p2a2 )( 1+Pk+Pk2+pk ak) 8. 同余定理 同余定義：若兩個(gè)整數(shù) a, b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱 a, b對(duì)于模 m 同余，用式子表示為 a = b(mod

6、m) 若兩個(gè)數(shù)a, b除以同一個(gè)數(shù)c得到的余數(shù)相同，則 a, b的差一定能被c整除。 兩數(shù)的和除以 m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)和。 兩數(shù)的差除以 m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)差。 兩數(shù)的積除以 m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以 m的余數(shù)積。 9完全平方數(shù)性質(zhì) 平方差： A 2 -B 2 = (A+B)( A-B)，其中我們還得注意 A+B A-B同奇偶性。 約數(shù)：約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)的是完全平方數(shù)。 約數(shù)個(gè)數(shù)為3的是質(zhì)數(shù)的平方。 質(zhì)因數(shù)分解：把數(shù)字分解，使他滿足積是平方數(shù)。 平方和。 10孫子定理(中國(guó)剩余定理) 11輾轉(zhuǎn)相除法 12數(shù)論解題的常用方法： 枚舉、歸納、反證、構(gòu)造、配對(duì)

7、、估計(jì) 幾何圖形 1.平面圖形 S2=S4 : S3 或者 Si X S3=S2X S4 多邊形的內(nèi)角和 N邊形的內(nèi)角和=（N-2） X 180 等積變形（位移、割補(bǔ)） 三角形內(nèi)等底等高的三角形 平行線內(nèi)等底等高的三角形 公共部分的傳遞性 極值原理（變與不變） 三角形面積與底的正比關(guān)系 Si : S2 =a : b ; （份數(shù)、比例） 相似三角形性質(zhì) A Bb Si : S3 : S2 : S4= a2 : b2 : ab : ab ;S= (a+b) 2 燕尾定理 SA ABG SA BGA SA AGC A F D SA AGC= SA BGE SA BGC= SA AGF SA BCG=

8、 SA ADG SA GEC= BE: SA GFC= AF: SA DGB= AD 差不變?cè)?*” 知5-2=3，則圓點(diǎn)比方點(diǎn)多 3。 隱含條件的等價(jià)代換 例如弦圖中長(zhǎng)短邊長(zhǎng)的關(guān)系。 組合圖形的思考方法 化整為零 先補(bǔ)后去 正反結(jié)合 2. 立體圖形 規(guī)則立體圖形的表面積和體積公式 不規(guī)則立體圖形的表面積 整體觀照法 體積的等積變形 水中浸放物體： V升水=V物 測(cè)啤酒瓶容積：V=V空氣+V水 三視圖與展開(kāi)圖 最短線路與展開(kāi)圖形狀問(wèn)題 染色問(wèn)題 幾面染色的塊數(shù)與“芯”、棱長(zhǎng)、頂點(diǎn)、面數(shù)的關(guān)系。 四、典型應(yīng)用題 1. 植樹(shù)問(wèn)題 開(kāi)放型與封閉型 間隔與株數(shù)的關(guān)系 2. 方陣問(wèn)題 外層邊長(zhǎng)數(shù)-2=

9、內(nèi)層邊長(zhǎng)數(shù) （外層邊長(zhǎng)數(shù)-1）X 4=外周長(zhǎng)數(shù) 外層邊長(zhǎng)數(shù)2-中空邊長(zhǎng)數(shù)2=實(shí)面積數(shù) 3. 列車過(guò)橋問(wèn)題 車長(zhǎng)+橋長(zhǎng)=速度x時(shí)間 車長(zhǎng)甲+車長(zhǎng)乙=速度和X相遇時(shí)間 車長(zhǎng)甲+車長(zhǎng)乙=速度差X追及時(shí)間 列車與人或騎車人或另一列車上的司機(jī)的相遇及追及問(wèn)題 車長(zhǎng)=速度和X相遇時(shí)間 車長(zhǎng)=速度差X追及時(shí)間 4. 年齡問(wèn)題 差不變?cè)?5. 雞兔同籠 假設(shè)法的解題思想 6 牛吃草問(wèn)題 原有草量=（牛吃速度-草長(zhǎng)速度）X時(shí)間 7 平均數(shù)問(wèn)題 8 盈虧問(wèn)題 分析差量關(guān)系 9 和差問(wèn)題 10和倍問(wèn)題 11差倍問(wèn)題 12逆推問(wèn)題 還原法，從結(jié)果入手 13代換問(wèn)題 列表消元法 等價(jià)條件代換 五、行程問(wèn)題 1 相遇問(wèn)

10、題 路程和=速度和X相遇時(shí)間 2 追及問(wèn)題 路程差=速度差X追及時(shí)間 3 流水行船 順?biāo)俣?=船速+水速 逆水速度 =船速-水速 船速=（順?biāo)俣?逆水速度）十2 水速=（順?biāo)俣?逆水速度）十2 4 多次相遇 線型路程：甲乙共行全程數(shù)=相遇次數(shù)X 2-1 環(huán)型路程： 甲乙共行全程數(shù) =相遇次數(shù) 其中甲共行路程=單在單個(gè)全程所行路程X共行全程數(shù) 5 環(huán)形跑道 6 行程問(wèn)題中正反比例關(guān)系的應(yīng)用 路程一定，速度和時(shí)間成反比。 速度一定，路程和時(shí)間成正比。 時(shí)間一定，路程和速度成正比。 7 鐘面上的追及問(wèn)題。 時(shí)針和分針成直線； 時(shí)針和分針成直角。 8 結(jié)合分?jǐn)?shù)、工程、和差問(wèn)題的一些類型。 9 行

11、程問(wèn)題時(shí)常運(yùn)用“時(shí)光倒流”和“假定看成”的思考方法。 六、計(jì)數(shù)問(wèn)題 1 加法原理：分類枚舉 2 乘法原理：排列組合 3. 容斥原理： 總數(shù)量=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC 常用：總數(shù)量=A+B-AB 4. 抽屜原理： 至多至少問(wèn)題 5. 握手問(wèn)題 在圖形計(jì)數(shù)中應(yīng)用廣泛 角、線段、三角形， 長(zhǎng)方形、梯形、平行四邊形 正方形 七、分?jǐn)?shù)問(wèn)題 1. 量率對(duì)應(yīng) 2. 以不變量為“ 1 3. 利潤(rùn)問(wèn)題 4. 濃度問(wèn)題 倒三角原理 5. 工程問(wèn)題 合作問(wèn)題 水池進(jìn)出水問(wèn)題 6. 按比例分配 八、方程解題 1. 等量關(guān)系 相關(guān)聯(lián)量的表示法 甲十乙=3 3x x 例：甲+乙 =100 x 100-x

12、 解方程技巧 恒等變形 2. 二元一次方程組的求解 代入法、消元法 3. 不定方程的分析求解 以系數(shù)大者為試值角度 4. 不等方程的分析求解 九、找規(guī)律 周期性問(wèn)題 年月日、星期幾問(wèn)題 余數(shù)的應(yīng)用 數(shù)列問(wèn)題 等差數(shù)列 通項(xiàng)公式an=ai+( n-1)d 求項(xiàng)數(shù)：n= an蟲(chóng) 1 d 求和：S= an)n 2 等比數(shù)列 求和：S=旦 衛(wèi) q 1 裴波那契數(shù)列 策略問(wèn)題 搶報(bào)30 放硬幣 最值問(wèn)題 最短線路 a. 一個(gè)字符陣組的分線讀法 b. 在格子路線上的最短走法數(shù) 最優(yōu)化問(wèn)題 a.統(tǒng)籌方法 b烙餅問(wèn)題 十、 算式謎 1. 填充型 2. 替代型 3. 填運(yùn)算符號(hào) 4. 橫式變豎式 5. 結(jié)合數(shù)論知識(shí)點(diǎn) 十一、數(shù)陣問(wèn)題 1. 相等和值問(wèn)題 2. 數(shù)列分組 知行列數(shù)，求某數(shù) 知某數(shù)，求行列數(shù) 3. 幻方 奇階幻方問(wèn)題： 楊輝法羅伯法 偶階幻方問(wèn)題： 雙偶階：對(duì)稱交換法 單偶階：同心方陣法 十二、二進(jìn)制 1. 二進(jìn)制計(jì)數(shù)法 二進(jìn)制位值原則 二進(jìn)制數(shù)與十進(jìn)制數(shù)的互相轉(zhuǎn)化 二進(jìn)制的運(yùn)算 2. 其它進(jìn)制（十六進(jìn)制） 十三、一筆畫(huà) 1. 一筆畫(huà)定理： 一筆畫(huà)圖形中只能有 0個(gè)或兩個(gè)奇點(diǎn)； 兩個(gè)奇點(diǎn)進(jìn)必須從一個(gè)奇點(diǎn)進(jìn)，另一個(gè)奇點(diǎn)出; 2. 哈密爾頓圈與哈密爾頓鏈 3. 多筆畫(huà)定理 筆畫(huà)數(shù) 奇點(diǎn)數(shù) 2 十四、邏輯推理 1. 等價(jià)條件的轉(zhuǎn)換 2. 列表法 3. 對(duì)陣圖 競(jìng)賽問(wèn)題，涉及體