工程力學(xué)3.平面任意力系

1、 第三章第三章 平面任意力系平面任意力系 平面任意力系平面任意力系：各力的作用線在同一平面內(nèi)，既不 匯交為一點又不相互平行的力系叫平面任意力系。 例例 力系向一點簡化力系向一點簡化：把未知力系（平面任意力系）變 成已知力系（平面匯交力系和平面力偶系） 第三章第三章 平面任意力系平面任意力系 41 力的平移力的平移 42 平面任意力系向一點簡化平面任意力系向一點簡化 43 平面任意力系的簡化結(jié)果平面任意力系的簡化結(jié)果 合力矩定理合力矩定理 44 平面任意力系的平衡條件和平衡方程平面任意力系的平衡條件和平衡方程 45 平面平行力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程 46 靜定與靜不定問題的概念靜定與

2、靜不定問題的概念 物體系統(tǒng)的平衡物體系統(tǒng)的平衡 平面一般力系習(xí)題課平面一般力系習(xí)題課 3-1 3-1 力的平移力的平移 力的平移定理力的平移定理：可以把作用在剛體上點可以把作用在剛體上點a的力的力 平行平行 移到任一點移到任一點b，但必須同時附加一個力偶。這個力偶，但必須同時附加一個力偶。這個力偶 的矩等于原來的力的矩等于原來的力 對新作用點對新作用點b的矩。的矩。f f 證證 力力 力系力系)(fff ，力偶力fff , , f 力線平移定理揭示了力與力偶的關(guān)系：力線平移定理揭示了力與力偶的關(guān)系： 力力 力力+力偶力偶 力平移的條件是附加一個力偶力平移的條件是附加一個力偶m，且，且m與與d有

3、關(guān)，有關(guān)， m=fd 力線平移定理是力系簡化的理論基礎(chǔ)。力線平移定理是力系簡化的理論基礎(chǔ)。 說明說明： 3-2 3-2 平面任意力系向一點簡化平面任意力系向一點簡化 一般力系（任意力系）一般力系（任意力系）向一點簡化 向一點簡化 匯交力系 匯交力系+力偶系力偶系 （未知力系） （已知力系） 匯交力系 力 ， r(主矢主矢) ， (作用在簡化中心) 力偶系 力偶 ，mo (主矩主矩) ， (作用在該平面上) iffffr321主矢 )()()( 21 321 iooo o fmfmfm mmmm 主矩 大小大?。?主矢主矢 方向方向： 簡化中心簡化中心 (與簡化中心位置無關(guān)) 因主矢等于各力的矢

4、量和 r 22 22 )()(yxrrr yx x y r r x y 11 tgtg （移動效應(yīng)移動效應(yīng)） 大小大小： 主矩主矩mo 方向方向： 方向規(guī)定 + 簡化中心簡化中心： (與簡化中心有關(guān)) （因主矩等于各力對簡化中心取矩的 代數(shù)和） )( ioo fmm （轉(zhuǎn)動效應(yīng)轉(zhuǎn)動效應(yīng)） 固定端（插入端）約束固定端（插入端）約束在工程中常見的 雨 搭 車 刀 固定端（插入端）約束固定端（插入端）約束 說明說明 認(rèn)為認(rèn)為fi這群力在同一這群力在同一 平面內(nèi)平面內(nèi); 將將fi向向a點簡化得一點簡化得一 力和一力偶力和一力偶; ra方向不定可用正交方向不定可用正交 分力分力ya, xa表示表示; y

5、a, xa, ma為固定端為固定端 約束反力約束反力; ya, xa限制物體平動限制物體平動, ma為限制轉(zhuǎn)動。為限制轉(zhuǎn)動。 3-3 3-3 平面任意力系的簡化結(jié)果平面任意力系的簡化結(jié)果 合力矩定理合力矩定理 簡化結(jié)果： 主矢 ，主矩 mo ，下面分別討論。 =0,mo0，即簡化結(jié)果為一合力偶, mo=m 此時剛體等效于只有一個力偶的作用，因為力偶可 以在剛體平面內(nèi)任意移動，故這時，主矩與簡化中 心o無關(guān)。 r =0， mo =0，則力系平衡,下節(jié)專門討論。 r r 0,mo =0,即簡化為一個作用于簡化中心的 合力。這時，簡化結(jié)果就是合力（這個力系的合 力）, 。（。（此時與簡化中心有關(guān)，換

6、個簡化 中心，主矩不為零） r rr r 0，mo 0,為最一般的情況。此種情況還可 以繼續(xù)簡化為一個合力 。 r 合力 的大小等于原力系的主矢 合力 的作用線位置 r m d o r r 結(jié)論：結(jié)論： )( 1 n i ioo fmm )()(主矩 oo mdrrm )()( 1 n i ioo fmrm 平面任意力系的簡化結(jié)果平面任意力系的簡化結(jié)果 ： 合力偶合力偶mo ； 合力合力 合力矩定理合力矩定理：由于主矩 而合力對o點的矩 合力矩定理 由于簡化中心是任意選取的，故此式有普遍意義。 即：平面任意力系的合力對作用面內(nèi)任一點之矩平面任意力系的合力對作用面內(nèi)任一點之矩 等于力系中各力對于

7、同一點之矩的代數(shù)和。等于力系中各力對于同一點之矩的代數(shù)和。 r 3-4 3-4 平面一般力系的平衡條件與平衡方程平面一般力系的平衡條件與平衡方程 所以平面任意力系平衡的充要條件為平面任意力系平衡的充要條件為： 力系的主矢力系的主矢 和主矩和主矩 mo 都等于零都等于零，即： 0)( 0)()( 22 ioo fmm yxr 由于 =0 為力平衡 mo =0 為力偶也平衡 r r 0x 0)( ia fm 0)( ib fm 二矩式二矩式 條件：條件：x 軸不軸不 ab 連線連線 0)( ia fm 0)( ib fm 0)( ic fm 三矩式三矩式 條件：條件：a,b,c不在不在 同一直線上

8、同一直線上 上式有三個獨立方程，只能求出三個未知數(shù)。上式有三個獨立方程，只能求出三個未知數(shù)。 0x 0 y 0)( io fm 一矩式一矩式 例例 已知：p, a , 求：a、b兩點的支座反力？ 解：選ab梁研究 畫受力圖（以后注明 解除約束，可把支反 力直接畫在整體結(jié)構(gòu) 的原圖上） 0)( ia fm由 3 2 , 032 p nanap bb 0x0 a x 0y 3 , 0 p ypny abb 解除約束 設(shè)有f1, f2 fn 各平行力 系，向o點簡化得： 合力作用線的位置為： 平衡的充要條件為： 主矢 =0，主矩mo =0 f xf r m x iio r frr o 主矢 iiio

9、o xffmm)(主矩 3-5 3-5 平面平行力系的平衡方程平面平行力系的平衡方程 平面平行力系平面平行力系:各力的作用線在同一平面內(nèi)且相互 平行的力系叫 。 r 所以 平面平行力系的平衡 方程為： 0)( ia fm 0)( ib fm 二矩式二矩式 條件：條件：ab連線不能平行連線不能平行 于力的作用線于力的作用線 0y 0)( io fm 一矩式一矩式 實質(zhì)上是各力在x 軸上的 投影恒等于零，即 恒成立，所以只有兩個獨 立方程，只能求解兩個獨 立的未知數(shù)。 0x 0, 0 a xx由 02 2 ; 0)( apm a aqar fm b a 0y0pqary ba )kn(12202

10、8 . 0 16 2 8 . 020 2 2 p a mqa rb )kn(24128 . 02020 ba rqapy 例例 已知：p=20kn, m=16knm, q=20kn/m, a=0.8m 求：a、b的支反力。 解：研究ab梁 解得： 3-6 3-6 靜定與靜不定問題的概念靜定與靜不定問題的概念 物體系統(tǒng)的平衡物體系統(tǒng)的平衡 一、靜定與靜不定問題的概念一、靜定與靜不定問題的概念 我們學(xué)過： 平面匯交力系 兩個獨立方程，只能求兩個 獨未知數(shù)。 一個獨立方程，只能求一個獨立未 知數(shù)。 三個獨立方程，只能求三 個獨立未知數(shù)。 0x 0y 0 i m 0x 0y 0)( io fm 力偶系

11、 平面任意力系 獨立方程數(shù)目獨立方程數(shù)目未知數(shù)數(shù)目時，是靜定問題未知數(shù)數(shù)目時，是靜定問題 獨立方程數(shù)目獨立方程數(shù)目 =未知力數(shù)目為靜定 獨立方程數(shù) 未知力數(shù)目為靜不定 五、物系平衡五、物系平衡 物系平衡時，物系中每個構(gòu)件都平衡， 解物系問題的方法：由整體由整體 局部局部 單體單體 六、解題步驟與技巧六、解題步驟與技巧 解題步驟解題步驟 選研究對象選研究對象 畫受力圖（受力分析）畫受力圖（受力分析） 選坐標(biāo)、取矩點、選坐標(biāo)、取矩點、 列平衡方程列平衡方程 解方程求出未知數(shù)解方程求出未知數(shù) 七、注意問題七、注意問題 力偶在坐標(biāo)軸上投影不存在；力偶在坐標(biāo)軸上投影不存在； 力偶矩力偶矩m =常數(shù)，它與

12、坐標(biāo)軸與取矩點的選擇無關(guān)。常數(shù)，它與坐標(biāo)軸與取矩點的選擇無關(guān)。 解題技巧解題技巧 選坐標(biāo)軸最好是未知選坐標(biāo)軸最好是未知 力投影軸；力投影軸； 取矩點最好選在未知取矩點最好選在未知 力的交叉點上；力的交叉點上； 充分發(fā)揮二力桿的直充分發(fā)揮二力桿的直 觀性；觀性； 靈活使用合力矩定理。靈活使用合力矩定理。 )mn(100011000 b m 解解： 選整體研究 受力如圖 選坐標(biāo)、取矩點、bxy, b點列方程為: 解方程得 0x ; 0 b x 0 b m0depmb 0y; 0py b pyb 例例1 已知各桿均鉸接，b端插入地內(nèi)，p=1000n， ae=be=ce=de=1m，桿重不計。 求ac

13、 桿內(nèi)力？b 點的反力？ 八、例題分析八、例題分析 受力如圖 取e為矩心，列方程 解方程求未知數(shù) 045sin, 0 edpcesm o cae )n(1414 1707. 0 11000 45sin ce edp s o ca 再研究cd桿 例例2 已知已知:p=100n，ac=1.6m，bc=0.9m，cd= ec =1.2m，ad=2m且ab水平，ed鉛垂，bd垂直于 斜面； 求求 ?和a點的支座反力？ 解解：研究整體，畫受力圖， 選坐標(biāo)列方程 bd s 02 . 15 . 2, 0 pym ab 0sincossin , 0 pyx x aa 5 3 2 2 . 1 cos ; 5 4 2 6 . 1 sin ad cd ad ac 而 n48 ;n136 : aa yx解得 再研究ab桿，受力如圖 0sin , 0 acycbsm abc 由 n7 .106 5 4 9 . 0 6 . 1)48( sin : bc acy s a b 解得 例例3 已知：連續(xù)梁上，p=10kn,