二次方程根的分布情況歸納

1、二次方程根的分布與二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值歸納 2 1、一元二次方程ax bx c 0根的分布情況 設(shè)方程ax bx c 0 a 0的不等兩根為X|,X2且X.x?,相應(yīng)的二次函數(shù)為f x ax bx c 0, 方程的根即為二次函數(shù)圖象與 x軸的交點(diǎn)，它們的分布情況見下面各表（每種情況對應(yīng)的均是充要條件） :（兩根與0的大小比較即根的正負(fù)情況） 分布情況 a:O 1 % 兩 卷 z0 0 敢兩 X c i o Xo 即 0 根2 于于 大致圖象 F 得出的結(jié)論 ) O o a 2 巾O XI o o o b - 2ao f oof 得出的結(jié)論 O o a 2 O O o o o b2ao f

2、oof 綜合結(jié)論(不討論3 a o o 2 4 o XI a o o o bl 羽 f 0 a o o f a 表二：（兩根與k的大小比較） 分布情況 1 廠 M 1 1 M k 11X1 1 I k k 于卷 1 Ic F 小5 - r iz 1 F , 卜 _ 0 大致圖象 a If If 得出的結(jié)論 O O b,22l b 羽 fk a )r b 去 fk a o k f a 表三：（根在區(qū)間上的分布） 分布情況 n m、 和n 一 只-kH , q 0 在 根 另 q n 2- D 在 n 根 D大改劉 更丿 得出的結(jié)論 n o o b- a o : b - 2 f f m O n f

3、 m f o o n q fl fl mfp M 亠或 o o on p o m q fl fl fl fl 大改勾象 a 得出的結(jié)論 3 o o ru f f m o n f m f o o n q fi fi m S fi 亠或 o o llon p o m q fi XI XI fi 綜合結(jié)論-不討論a V o n f m f oonqffm pff 根在區(qū)間上的分布還有一種情況：兩根分別在區(qū)間夕卜，即在區(qū)間兩側(cè) 為m,X2n,（圖形分別如下） 需滿足的條件是 fnOfnO 對以上的根的分布表中一些特殊情況作說明： (1)兩根有且僅有一根在m, n有以下特殊情況: 1 若f m 0或f

4、n 0,則此時f mg f n 0不成立，但對于這種情況是知道了方程有一根為 可以求出另外一根，然后可以根據(jù)另一根在區(qū)間m,n,從而可以求出參數(shù)的值。如方程mx2 m 2 x 2 0 在區(qū)間1,3有一根，因?yàn)閒10,所以mxm 2、x呎彳mx 2,另一根為，由13 mm 2 得爭2即為所求; 2 方程有且只有一根，且這個根在區(qū)間m, n,即0,此時由0可以求出參數(shù)的值，然后再將參數(shù)的 值帶入方程，求出相應(yīng)的根，檢驗(yàn)根是否在給疋的區(qū)間，如右不在，舍去相應(yīng)的參數(shù)。如方程x4mx 2m 60 有且一根在區(qū)間3,0,求m的取值圍 O分析：由 f 3gf 0 0 即 14m 15 m 3 0得出 15

5、3 3 m；由0 即 16m2 4 2m 60得出m 1 或 m , 2 當(dāng)m1時，根x 2 3,0, 14 j3 L!|J m1滿足題意；當(dāng)m時，根x3 m1 3,0,故 m -不滿足題意； 2 綜上分析，得出3 m 至或 14 根的分布練習(xí)題 例1、已知二次方程2m 1 x2 2mx m 1 0有一正根和一負(fù)根，數(shù)m的取值圍。 1 解：由2m 1 gf 0 0即2m 1 m 1 0,從而得m 1即為所求的圍。 例2、已知方程2x2 m 1 x m 0有兩個不等正實(shí)根，數(shù)m的取值圍。 解:由 0 0 m 1 2g2 8m 0 m32.邁或 m3 2、2 m 0 f 0 0 0 m 3 2.2

6、 或 m 3 2.2即為所求的圍。 例3、已知二次函數(shù)y m 2 x? 2m 4 x 3m 3與x軸有兩個交點(diǎn)，一個大于1, 一個小于1,數(shù)m的取值圍。 1 解：由m 2 gf 10即m 2g2m 10m -一即為所求的圍。 2 例4、已知二次方程mx2m3x40只有一個正根且這個根小于1,數(shù)m的取值圍。 ,. 一, ” . 1 解：由題意有方程在區(qū)間 0,1上只有一個正根，則f 0 gf 1 0 4g 3m 1 0 m即為所 3 求圍。 （注：本題對于可能出現(xiàn)的特殊情況方程有且只有一根且這個根在0,1,由0計算檢驗(yàn)，均不復(fù)合題意, 計算量稍大） 2、二次函數(shù)在閉區(qū)間m,n的最大、最小值問題探

7、討 設(shè)fx ax bxcCO ,則二次函數(shù)在閉區(qū)間n% n上的最大、最小值有如下的分布情況: 最小值 b m n 2a jr - ax2 + 加 + c = 0 a Q b n即b 2a2a 吋 jTx I = +bx + 0 f x max max f n , f m ln m X f b m n 2a /z J = ax2 4b 忑+ 廠=0 匕 (P A max in m X 口向下的情況，討論類似。 其實(shí)無論開 口向上還是向下， 都只有以下兩種結(jié)論： b 2a m n，貝 ij f x max . h max f m. ff n 2a b 2a .f n b 若m n ,則 f Fax

8、 max f m , f n , 2a J 另外，當(dāng)二次函數(shù)開口向上時，自變量的取值離開 f X min min f m , f n x軸越遠(yuǎn)，則對應(yīng)的函數(shù)值越大；反過來，當(dāng)二次函數(shù)開 口向下時，自變量的取值離開X軸越遠(yuǎn)，則對應(yīng)的函數(shù)值越小。 二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值練習(xí) 二次函數(shù)在閉區(qū)間上求最值，討論的情況無非就是從三個方面入手：開口方向、對稱軸以及閉區(qū)間，以下三 個例題 各代表一種情況。 例1、函數(shù)f x ax2 2ax 2 b a 0在2,3上有最大值5和最小值2,求a, b的值。 解：對稱軸Xo 1 2,3,故函數(shù)fx在區(qū)間2,3 單調(diào)。 (1)當(dāng)aO時, 函數(shù) x在區(qū)間2,3上是增函

9、數(shù)，故 (2)當(dāng)a 0時, 函數(shù) x在區(qū)間2,3 是減函數(shù)，故 X max 3a b 2 5 a 1 x min 2b2 b o X b25 a 1 max V 3ab2 2 b 3 例2、求函數(shù)fx x2 2ax 1 ,x 1,3的最小值。 (1) 、| a i 時,ymin f 12 2a ； (2) 當(dāng) 1 a3 時，ymjn 1 f a a2 (3) a 彳時,ymin f 3 10 6a 解:對稱軸xo a 當(dāng) 當(dāng) 當(dāng) 改：1.本題若修改為求函數(shù)的最大值，過程又如何? 解：（1）當(dāng) a2 時，f xf 3 10 6a ； (2)當(dāng) a 2 時，f Xmax f 12 2ao 解： 當(dāng)

10、 (1) 勺a 1時，f X max f 3 10 、土 (2 當(dāng)1 a 2時， f X f 3 max 、比 (3 當(dāng)2 a 3時， f X f 1 max 當(dāng) (4 ） 當(dāng)a3時，f :Xf 12 max1 1J 例3、求函數(shù)yx2 4x3在區(qū)間t,t 1 . 上的最小值。 解：對稱軸Xo 2 2本題若修改為求函數(shù)的最值，討論又該怎樣進(jìn)行? %, fxmin f 1 2 2a ； 10 6a f X f a 1 a2； min 2 2a,f Xf a 1 a2； min 2a, f x minf 3 1 0 6a o (2)當(dāng) t 2 t 1 即 1 t 2 時，yminf 2 1； (3)當(dāng)2 t 1即t 1時， 例4、討論函數(shù)fX2X X a 1的最小值。 2X x a 1 x a 解:f x x2x a 1 當(dāng) 2t 即 t 2 nt, yminf 112