第一章1.41.4.2第一課時(shí)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性與奇偶性

1、1. 4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)第一課時(shí) 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性與奇偶性課前自主學(xué)習(xí)基穩(wěn)才能樓高1. 周期函數(shù)周期函數(shù)的槪念條件對(duì)于函數(shù),存在一個(gè)非零常數(shù)T當(dāng)X取泄義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有/(x+T) = (-)結(jié)論函數(shù)/Cr)叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期最小正周期條件周期函數(shù)加)的所有周期中存在一個(gè)最小的住結(jié)論這個(gè)最小正數(shù)叫做f(x)的最小正周期點(diǎn)睛對(duì)周期函數(shù)的兩點(diǎn)說(shuō)明(1) 并不是每一個(gè)函數(shù)都是周期函數(shù)，若函數(shù)具有周期性，則其周期也不一定唯一如果T是函數(shù)/的一個(gè)周期，則nT(nZ且n0)也是f(x)的周期2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性和奇偶性函數(shù)y=sin XJ=COS

2、A周期2k(kZ 且 kHO)2竝伙 Z且k0)最小正周期22奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)小試身手1. 判斷下列命題是否正確.(正確的打W、錯(cuò)誤的打“X”) 因Sin(+) = SinP貝礙是正弦函數(shù)y=sin a的一個(gè)周期.()(2) 若T是函數(shù)/S)的周期，則好；k2也是函數(shù)7U)的周期.()(3) 函數(shù)y=3sin 2*是奇函數(shù).()(4) 函數(shù)=一CoS刼是偶函數(shù).()答案：(I)X丁 (3)J2. 函數(shù) /U)=2是()A. T= 2的奇函數(shù)B. T=2的偶函數(shù)C. T=II的奇函數(shù)D. T=的偶函數(shù)答案:B3. 下列函數(shù)中，周期為號(hào)的是(A y=sin XC. y=cos y答案：D4. 函

3、數(shù) /U)=Sin cos x 是)B. y=sin IXD y=cos4x(填“奇”或“偶”)函數(shù)課堂講練設(shè)計(jì)舉-能通類題三角函數(shù)的周期典例求下列函數(shù)的周期.(1(X)=COS(2x+#)： (2)(x)=lSin I.解I (1)法一 定義法=COS 2(x + ) + j = f( + Tr) I答案：奇即 /() = (x) f.函數(shù) f(x) = COS(ZV + 扌)的周期 T=.法二公式法y = cos(2x + 號(hào) J . = 2.V 2 2 又 T=H=T = -.函數(shù) /(x) = COS(ZV + 尋的周期 T=.(2)法一定義法() = ISin xl,:J(X ) =

4、 ISin(X ) = ISin .d = f(x) J .()的周期為.法二圖象法.函數(shù)y = lsinxl的圖象如圖所示由圖象可知T=.求函數(shù)最小正周期的常用方法除了走義法外，求三角函數(shù)的周期,般還有兩種方法：(1)公式法,即將函數(shù)化為y2=ASin(Ox + ) + B或y二Acos(x + 0)十B的形式，再利用T=著求得；圖象法,利用變換 的方法或作出函數(shù)的圖象，通過(guò)觀察得到最小正周期活學(xué)活用求下列函數(shù)的周期.(1) y=3sin(+3)；(2) y=IcosxI.解：(l)=y = 4,2:.y = 3sin(-v + 3 ,1的周期為 4.題型二三角函數(shù)的奇偶性(2)函數(shù)y =

5、ICOS Ai的圖象如圖所示，丿r衛(wèi)3 /2T由圖象知T二.典例I函數(shù),A)=2sin IX的奇偶性為()A. 奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)(2)判斷函數(shù)/(x)=Sin(Ir+乎)的奇偶性.(1)解析M)的定義域是R.且./( - X)= 2sin 2( - )= - 2sin Zv= -f(x) I函數(shù)為奇函數(shù)答案1 A解 I .y(x)二 Sin(Ir + y )= -CosIV ,.函數(shù)f() = Sin(IV +茅為偶函數(shù).判斷函數(shù)奇偶性的方法活學(xué)活用I判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1) /U)=AcOS();(2) /(A)=Sin(COS x)解：(1)函數(shù)

6、巾)的定義域?yàn)镽 ,/(.)= XCOS(Jr X)= - C0S X ,/./( - .)= - ( - )C0S( - X)= XCOS X= - f(x) J.J(X)為奇函數(shù).函數(shù)/的定義域?yàn)镽 ,.f( - a) = sincos( - )J = Sin(COS x) = f(x),Jb)為偶函數(shù).金三角函數(shù)的奇偶性與周期性的應(yīng)用典例左義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若(U)的最小正周期是, 且當(dāng) XW 0, 7 時(shí)，(O)=Sinx,求 f ()的值.解I 1CY)的最小正周期是兀，(T)=(-2)=z(-lf(x)是R上的偶函數(shù)ff (I) = / (I) = Si

7、nl = ()=一題多變1. I變條件I若本例中“偶”變“奇”苴他條件不變，求/ 節(jié)的值. 解:)=(-f)= -)=- sin彳=-爭(zhēng).2. I變?cè)O(shè)問(wèn)若本例條件不變，求/ (一罟)的值. 解：/(-V)=(3+83. 變條件若本例條件為：函數(shù)/(*)為偶函數(shù)且/ (x+?)=/(x)，/ (彳)=1，求/ Iy,) 的值.-/U),:./(X + ) = f(x),即 T=7 ,f (T)=/ (2)=/ (=/ S)=I-解決三角函數(shù)的奇偶性與周期性綜合問(wèn)題的方法利用函數(shù)的周期性，可以把x + nT(nZ)的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為X的函數(shù)值利用奇偶性，可以找到f與X的函數(shù)值的關(guān)系，從而可解決求值問(wèn)題

8、課后層級(jí)訓(xùn)練,步步提升能力層級(jí)一 學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1函數(shù)U）=sin（ X）的奇偶性是（）B.偶函數(shù)A.奇函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)解析：選A由于疋R,且./( - x) - Sin = - sin( - x) = -fix) J所以./U）為奇函數(shù)2. 函數(shù)y=-WSx的部分圖象是下圖中的（）解析：選D因?yàn)楹瘮?shù)），二-cos X是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以排除A.C;當(dāng) w（o ,申）時(shí)，y 二-XCOS X0)的最小正周期為尋 則/()= 解析：由已知養(yǎng)二辛得3二3,CO J3答案：-59. 判斷下列函數(shù)的奇偶性.(1) /(x)=cos(彳+2r)cos(+x):(2)

9、 /(x)=-lsinx +pl-sinx解：(I)XWR I/(x) = COS( ZV)COS( + a)二-Sin Zv-(- COS X)= Sin 2cos x.:./(-X) = sin( - 2)cos( - x)=-Sin ZvcosX= - f(x)該函數(shù)/(x)是奇函數(shù)對(duì)任意 XWR I - lsinxl IAl + sin 心0,1 - SinX0.U) = y 1 + Sin x + 寸 1 -Sin X 的定義 域?yàn)镽.-sin( - x)/( - a) = 1 + sin( - x) + y 1 - Sin x+ l+sin = (x) I該函數(shù)是偶函數(shù)10. 已知

10、函數(shù) y=Sinx+sin I,(1) 畫(huà)出函數(shù)的簡(jiǎn)圖；(2) 此函數(shù)是周期函數(shù)嗎？若是，求英最小正周期. 解：(I)V = ISin % + IlSin x =Sin X I e2k J 2k + (Z) J0)的最小正周期不大于2,則正整數(shù)k的最小值應(yīng)是()A10B11C12D13解析：選 D VT = Y = y2 , .,4 I4又畑Z , .正整數(shù)R的最小值為13.4. 函數(shù)f(x)=sin(2-i)為R上的奇函數(shù)，則的值可以是()兀A. JB- 2Cn 3CD.解析：選C要使函數(shù)f(x) = sin(2 + )為R上的奇函數(shù)，需 = k f ke乙故選C.3 7COSXf ZX0t

11、5. 若函數(shù)y的定義域?yàn)镽,最小正周期城，且滿足心)=2則.sin 9 0A /-)=解析:.T=y , (-,v)=(-+T3)=()=sin= 姣案.口涼.26. 函數(shù)y=ISin外的最小正周期是.解析：Ty二Sin t的最小正周期為T = 4 ,而y二Sin的圖象是把,y = sin 的圖象在X軸下方的部分翻折到X軸上方,:.y = sin*的最小正周期為T = 2.答案:27. 已知f(A)是以兀為周期的偶函數(shù)，且x 0,號(hào)時(shí)，/(x)=l SinX,當(dāng)3訂時(shí),求f()的解析式3 - 0,7 ,因?yàn)?AO I 目時(shí)I f(x) = 1 - Sin X I 所以 /(3 - x)=1 - sin(3 -X)=I - SinX 又/(A)是以為周期的偶函數(shù)，所以 /(3 - x) = f( - x)二 f(x),所以 /(x)的解析式為 /(a)二 1 - Si