讓勾股定理與列方程合作共處

1、讓勾股定理與列方程合作共處勾股定理是幾何中最重要的定理之一，也是直角三角 形的一條重要性質(zhì) . 方程思想是初中數(shù)學(xué)中一種基本的數(shù)學(xué) 思想方法，方程是溝通已知量和未知量的橋梁 . 利用勾股定 理作為相等關(guān)系建立方程可以解決許多相關(guān)問題 . 下面舉例 說明利用勾股定理列方程解決問題常見的兩個數(shù)學(xué)模型 .模型一：找到一個聯(lián)系已知和未知的直角三角形，利用 a2+b2=c2 建立方程例1(2006?廈門)有古詩葭生池中一一今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水 深、葭長各幾何( 1 丈 =10 尺)？【解析】這是我國古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)中的一個問題.在如圖1所示的Rt ABC中，可

2、設(shè)水深BC=x尺，則 葭長 =( x+1 )尺， AB=5 尺，根據(jù)勾股定理可列出方程 x2+52= ( x+1 ) 2，解得 x=12 尺，故水深、葭長各為 12 尺、 13 尺.例 2 （2002?南通）如圖 2，有一張直角三角形紙片， 兩 直角邊AC=6 cm , BC=8 cm，現(xiàn)將直角邊 AC沿直線AD折 疊，使點 C 落在斜邊 AB 上的點 E 處，求 CD 的長 .【解析】結(jié)合題意易知 BE=4 cm , CD=DE ,在RtA BDE 中，可設(shè)DE=x cm，貝 DB= （8-x） cm，根據(jù)勾股定理可列 方程x2+42= （8-x） 2,解得x=3，故CD的長為3 cm.例

3、3 （ 2012?菏澤）如圖 3， OABC 是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的長方形紙片，O為原點，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，OA=10 , OC=8，在0C邊上 取一點D，將紙片沿AD翻折，使點0落在BC邊上的點E 處，求D、E兩點的坐標(biāo).【解析】要求D、E兩點的坐標(biāo)，只需求出 0D、CE的 長即可，根據(jù)題意依次可知AE=10 , BE=6 , CE=4，可得E（4, 8）,在 Rt CDE 中，可設(shè) DE=x，貝U OD=x , CD=8-x , 根據(jù)勾股定理可列方程 （8-x） 2+42=x2，解得x=5，故D （0, 5）.例 4（ 2006?涼山州）如圖 4，直線 y=

4、-x+8 與 x 軸、 y軸分別相交于點 A、B,設(shè)M是OB上一點，若將 ABM沿 AM折疊，使點B恰好落在x軸上的點B 處.求：（1） 點B 的坐標(biāo)：.2） 直線 AM 所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式【解析】易得0A=6,0B=8 , AB=AB =10,因此，OB =4，所以B (-4, 0),要求直線AM的解析式，只需再求 出點M的坐標(biāo)，也就是0M的長度，由題意可知 BM=B M , 在 Rt OB M 中，設(shè) OM=x ,貝 B M=BM=8-x，根據(jù)勾 股定理可列方程 42+x2= (8-x) 2,解得x=3 ,所以M (0, 3), 再由 A( 6, 0)可求得直線 AM 的解析式為 y=-0

5、.5x+3.例 5 (2012?鄂爾多斯)如圖 5,將兩張長為 4,寬為 1 的矩形紙條交叉并旋轉(zhuǎn),使重疊部分成為一個菱形 . 旋轉(zhuǎn)過 程中,當(dāng)兩張紙條垂直時,菱形周長的最小值是 4,求菱形 周長的最大值 .【解析】當(dāng)兩紙條如圖乙重疊時,得到的菱形的周長最大，在 Rt ABC中，設(shè) AC=AD=x，貝U AB=4-x，根據(jù)勾股 定理可列方程12+ (4-x) 2=x2，解得x=，所以該菱形周長 的最大值為 8.5.例 6(2013?隨州)如圖 6,正方形 ABCD 中, AB=3,點E在邊CD上，且CD=3DE.將厶ADE沿AE對折至 AFE , 延長EF交邊BC于點G,連接AG , CF.求

6、CG的長.【解析】根據(jù)條件可以用HL證明 ABG AFG，得到 BG=FG，在 Rt GCE 中，設(shè) CG=x , 則BG=FG=3-x , EF=1 , CE=2 ,根據(jù)勾股定理可列方程 22+x2= (4-x)2，解得x=1.5，所以CG=1.5.本題若是要證明點 G 是 BC 的中點，難度就會顯著增加了 .【點評】以上幾例都是通過找到一個能聯(lián)系已知條件和 未知問題的直角三角形，然后利用勾股定理解決問題的實 例，希望同學(xué)們能夠?qū)⑦@個方法作為算術(shù)思維方法的很好補(bǔ) 充.模型二：找到兩個聯(lián)系已知和未知的有相等邊或有公共 邊的直角三角形， 利用 a2 1+b2 1=a2 2+b2 2 或者 c2

7、1-a2 1=c2 2-a2 2 建立方程例7如圖7， ABC是小新家的門口的一塊空地，三邊的長分別是 AB=13 米， BC=14 米， AC=15 米，現(xiàn)準(zhǔn)備以每平方米 50 元的單價請承包商種植草皮，問共需要多少費用？【解析】求費用，就得求面積，要求面積，就得求高，不妨過點A作AD丄BC ,垂足為D ,這樣就得到了兩個有公 共直角邊的直角三角形，設(shè)BD=x，貝U CD=14-x，根據(jù)勾股定理可列方程132-x2=152- (14-x) 2,解得x=5，再根據(jù)勾 股定理求得AD=12米，這樣種植草皮的費用為 0.5 X 14X 12 X 50=4 200 (元).同學(xué)們可以試一試其他作高的方法例8（2000?海南）鐵路上 A、B兩站（視為直線上兩點）相距25 km , C、D為兩村莊（視為兩個點）,DA丄AB 于 A , CB 丄 AB 于 B （如圖 8）,已知 DA=15 km , CB=10 km , 現(xiàn)在要在鐵路 AB上建設(shè)一個土特產(chǎn)品收購站E，使得C、D兩村到 E 站的距離相等，則 E 站應(yīng)建在距 A 站多遠(yuǎn)處？【解析】根據(jù)題目要求CE=DE，圖中有兩個斜邊相等的 直角三角形，可設(shè) AE=x km，貝U BE=（ 25-x） km，根據(jù)勾 股定理可列方程152+x2=102+ （25-x） 2,解得x=10 ,所以E 站應(yīng)