平面向量知識點歸納05736

1、平而向量知識點歸納05736一.向有關(guān)概念：1 向的概念:既有大小又有方向的雖注總向雖和數(shù)址的區(qū)別。向址常用有向線段來表示.注總不能說向就是 有向線段，為什么?(向址可以平移)。如：2事向:長度為0的向雖叫零向雖,記作：6，注意向的方向是任意的；3單位向量:長度為一個爪位長度的向雖叫做m位向雖(與a斤共線的單位向雖是AB士鬲);4相等向量:長度相等且方向相同的兩個向雖叫相等向雖相等向雖有傳遞性：5平行向(也叫共線向)：方向相同或相反的非零向址5叫做平行向址，記作：a /b ,規(guī)定零向 和任何向平行：提醒 相等向址一定是共線向雖.但共線向雖不一定相等； 兩個向址平行與與兩條直線平行是不同的兩個概

2、念：兩個向址平行包含兩個向雖共線.但兩條直線平行不包 含兩條直線重合： 平行向無傳遞性！(I大I為有6)； 三點A、B、C共線AB.AC共線;6.相反向長度相等方向相反的向呆叫做相反向址。的相反向址是如下列命題：(1)若a = b .則方=/； (2)兩個向雖相等的充要條件是它們的起點相同，終點相同。(3)若則AB = DC.5)若d =b#=c,則a=c .AB = DC ,則ABCD是平行四邊形。(4)若ABCD是平行四邊形若a/b.b/c.則方7。其中正確的是(答：(4) (5)向量的表示方法：一1. 幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如而，注總起點在前.終點在后；2. 符號表示法：用

3、一個小寫的英文字僚來表示,如：，庁匸等；3 坐標表示法:在平面內(nèi)建立直角坐標系以與X軸、y軸方向相同的兩個單位向址；，了為基底，則平血內(nèi)的任 向量0可表示為a = xi + yj = (x,y),稱(兀y)為向址a的坐標,a =(x, y)叫做向址a的坐標表示。如 果向的起點在原點，那么向量的坐標與向址的終點坐標相同。三平面向的基本定理：如果和是同一平面內(nèi)的兩個不共線向此 那么對該平曲內(nèi)的任一向雖仏有且只有一 對實數(shù)兒、J使0=入8 1+人62。如_ _ 3 (1) 若ci = (1,1),/?= (1,一l),c = (一 1,2),則c=(答:ab );2 2(2) 下列向雖組中.能作為平

4、而內(nèi)所有向雖基底的是A.弓=(0、0),勺=(1,一2) B.弓=(一1,2),勺=(5,7)一 一一一 13C.弓=(3,5),勺=610) D.弓=(2,-3),勺=(,一丁)(答:B)：(3) 已知AD, BE分別是A4BC的邊BC, AC上的中線且人刀= a.BE = b側(cè)3芒可用向雖方/表示為2r 4(答:_a + _b )：33(4) 已知 A4BC 中，點 Q 在 BC 邊上，且CD = 2 DB .CD = r AB+ s AC .RiJ r + 5的值是(答：0)四.實數(shù)與向的積：實數(shù)幾與向雖a的枳是一個向雖記作2 a ,它的長度和方向規(guī)定如 下：(1) Au =|2| a

5、,(2)當A 0時，A a的方向與a的方向相同，當幾 0時，2 的方向與a的方向相反.、i兄=0時，2 = 0.注意：幾 a HOc五平面向的數(shù)積：1 兩個向的夾角:對于非零向址方，bAVOA = a,OB = b . ZAOE = &(09)稱為向址a, b的夾角，當8=0時，同向.勻& =兀時衛(wèi)上反向，當& =牙時.上垂 直。零向雖與任一向雖的數(shù)雖枳是0 注意數(shù)2.平面向的數(shù)積:如果兩個非零向雖；b 它們的夾角為/ 我們把數(shù)雖GlMlcosO叫做：與庁的 數(shù)雖枳(或內(nèi)積或點積)，記作:方 卩：.b=ab cos。規(guī)定：積是一個實數(shù)，不再是一個向如(1 )已知a = (L-)丄=(0,一),

6、c = a + &b,d=d c與的夾角為一則k等于224(答：1);(2)已知a =2 =5衛(wèi)厶=一3則a + b等于(答：阿)；(3)已知方/是兩個非零向：S，且a = b=a-b，則與a + b的夾角為.（答：30 ）3. A在上的投形為bcos0,它是一個實數(shù)，但不一定大于0。如 已知1：1=3,丨久1=5,且a-b = 2.則向雖:在向址久上的投影為.（答:12T4.a 方的幾何意義：數(shù)雖積：等干：的模1方1與庁在：上的投影的枳。5向數(shù)積的性質(zhì):設(shè)兩個非零向雖“，/兒其夾角為&,則: a 丄 Z? o “/? = 0 ； a ,b同向時，“ b = u孑.2 - -*特別地.a =a

7、a- fu ba b :非零向a.b夾角&的計算公式:cos9 =十。與b反向時，a b = -cfb0 且);33六.向的運算：1.幾何運算：向雖加法:利用“平行四邊形法則”進行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向雖.如此之外.向址加法還可利用“三角形法則”：設(shè)AB = a.BC=b么向雖疋叫做方與乙的和即a + b = AB + BC = AC;向址的減法：用“三角形法則二設(shè)而=方,疋=從那么方一乙=莊一走=鬲由減向雖的終點 指向被減向雖的終點。注意:此處減向量與被減向量的起點相同。如(1)化:(DAB + BC + Cb = : AB-AD-DC=；(而一CD)-(AC-BD)=(答

8、:人萬：厲；d)；（2）若正方形 ABCD的邊長為 l.AB = u、BC = b.AC = c 則I “ + /? + c l=.(答：2血)：2.坐標運算：設(shè)a = (xl,yib = (x2,y2).則：向的加減法運算:/? = (xlx2, ” y2) o如(1)已知點 A(Z3).B(5,4) C(7,10)，若 AP = AB + AAC(A e R) 則當 A =時，點 P 在第一、三象限的角平分線上(答：丄);2(2 )已知作用在點A(l, 1)的三個力斤=(3,4),F； = (2,-5), F； = (3,1),則合力F = F； + F； + F；的終點 坐標是(答：(9

9、.1) 實數(shù)與向的積:Aa = 2(xp x) = (/U,。 若A(x, ” ，則而 =(x2-%! os 一 y )即一個向址的坐標等于表示這個向址的有向線段的終點坐標減去起點坐標。如-21 a I l b l + l Z? F ；若a b = 0、則 a = 0或 =0：若a-b = c b,則a = c :側(cè)=a 平面向積：“=召花+兒。如-兀f 已知向址=（sinx, cosx）, b Msinx, s i nx）, c=（ 1. 0）,若乂=求向:S、C 的夾角: 3向的a=ylx + ya =fh=A + r。如已知方幣均為單位向雖，它們的夾角為60 ,那么帀+ 3力二(答：JT

10、亍)；兩點間的距離：若A(jq則1431=齊)+(兒一牙)。七.向的運算律:1.交換律：a + l2.結(jié)合律：d + 5 + c = （a + 5） + c,a-Z?-c = a-（ + c）, （2）5 =幾（“）=（/1乙）：3 分配律：（兄+ ）a =加 + “aM（a +石）=Aa + Ab .a+b c = a c+b c 如TTTTTTTfTTfTT下列命題中:“（/?-c） = d/?-dc：u（b c） = （ab）c :（a-/?） =1 a I2已知n =(“上),向雖n丄m，且n = m ,則m的坐標是提醒：(1)向雖運算和實數(shù)運算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個向雖等式.

11、可以移項兩邊平方、兩邊同乘 以一個實數(shù).兩邊同時取模兩邊同乘以一個向雖，但不能兩邊同除以一個向雖即兩邊不能約去一個向址，切記兩 向不能相除(相約):(2)向的“乘法”不滿足結(jié)合律即方：)工(方初;.為什么？八.向平行(共線)的充要條件:ci/b 0 = Ab O (a - b)2 = (I a b I)2 0 xy2 - yx2 =0。如若向址 = (x,l)/ = (4,x),當無=時N與為共線且方向相同(答:2)：(2) 已知“ = (l,l)，b = (4,x) , “=a + 2Z?, v = 2xi+ b .且uIIv ,則x=(答：4)：(3) 設(shè)只4 =伙,12),PM = (4,5),PC = (1O,R),則時.A.B, C 共線(答：2 或 1