平面向量知識(shí)點(diǎn)歸納05736

1、平而向量知識(shí)點(diǎn)歸納05736一.向有關(guān)概念：1 向的概念:既有大小又有方向的雖注總向雖和數(shù)址的區(qū)別。向址常用有向線段來(lái)表示.注總不能說(shuō)向就是 有向線段，為什么?(向址可以平移)。如：2事向:長(zhǎng)度為0的向雖叫零向雖,記作：6，注意向的方向是任意的；3單位向量:長(zhǎng)度為一個(gè)爪位長(zhǎng)度的向雖叫做m位向雖(與a斤共線的單位向雖是AB士鬲);4相等向量:長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向雖叫相等向雖相等向雖有傳遞性：5平行向(也叫共線向)：方向相同或相反的非零向址5叫做平行向址，記作：a /b ,規(guī)定零向 和任何向平行：提醒 相等向址一定是共線向雖.但共線向雖不一定相等； 兩個(gè)向址平行與與兩條直線平行是不同的兩個(gè)概

2、念：兩個(gè)向址平行包含兩個(gè)向雖共線.但兩條直線平行不包 含兩條直線重合： 平行向無(wú)傳遞性！(I大I為有6)； 三點(diǎn)A、B、C共線AB.AC共線;6.相反向長(zhǎng)度相等方向相反的向呆叫做相反向址。的相反向址是如下列命題：(1)若a = b .則方=/； (2)兩個(gè)向雖相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同。(3)若則AB = DC.5)若d =b#=c,則a=c .AB = DC ,則ABCD是平行四邊形。(4)若ABCD是平行四邊形若a/b.b/c.則方7。其中正確的是(答：(4) (5)向量的表示方法：一1. 幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如而，注總起點(diǎn)在前.終點(diǎn)在后；2. 符號(hào)表示法：用

3、一個(gè)小寫的英文字僚來(lái)表示,如：，庁匸等；3 坐標(biāo)表示法:在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系以與X軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向址；，了為基底，則平血內(nèi)的任 向量0可表示為a = xi + yj = (x,y),稱(兀y)為向址a的坐標(biāo),a =(x, y)叫做向址a的坐標(biāo)表示。如 果向的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向址的終點(diǎn)坐標(biāo)相同。三平面向的基本定理：如果和是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向此 那么對(duì)該平曲內(nèi)的任一向雖仏有且只有一 對(duì)實(shí)數(shù)兒、J使0=入8 1+人62。如_ _ 3 (1) 若ci = (1,1),/?= (1,一l),c = (一 1,2),則c=(答:ab );2 2(2) 下列向雖組中.能作為平

4、而內(nèi)所有向雖基底的是A.弓=(0、0),勺=(1,一2) B.弓=(一1,2),勺=(5,7)一 一一一 13C.弓=(3,5),勺=610) D.弓=(2,-3),勺=(,一丁)(答:B)：(3) 已知AD, BE分別是A4BC的邊BC, AC上的中線且人刀= a.BE = b側(cè)3芒可用向雖方/表示為2r 4(答:_a + _b )：33(4) 已知 A4BC 中，點(diǎn) Q 在 BC 邊上，且CD = 2 DB .CD = r AB+ s AC .RiJ r + 5的值是(答：0)四.實(shí)數(shù)與向的積：實(shí)數(shù)幾與向雖a的枳是一個(gè)向雖記作2 a ,它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如 下：(1) Au =|2| a

5、,(2)當(dāng)A 0時(shí)，A a的方向與a的方向相同，當(dāng)幾 0時(shí)，2 的方向與a的方向相反.、i兄=0時(shí)，2 = 0.注意：幾 a HOc五平面向的數(shù)積：1 兩個(gè)向的夾角:對(duì)于非零向址方，bAVOA = a,OB = b . ZAOE = &(09)稱為向址a, b的夾角，當(dāng)8=0時(shí)，同向.勻& =兀時(shí)衛(wèi)上反向，當(dāng)& =牙時(shí).上垂 直。零向雖與任一向雖的數(shù)雖枳是0 注意數(shù)2.平面向的數(shù)積:如果兩個(gè)非零向雖；b 它們的夾角為/ 我們把數(shù)雖GlMlcosO叫做：與庁的 數(shù)雖枳(或內(nèi)積或點(diǎn)積)，記作:方 卩：.b=ab cos。規(guī)定：積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向如(1 )已知a = (L-)丄=(0,一),

6、c = a + &b,d=d c與的夾角為一則k等于224(答：1);(2)已知a =2 =5衛(wèi)厶=一3則a + b等于(答：阿)；(3)已知方/是兩個(gè)非零向：S，且a = b=a-b，則與a + b的夾角為.（答：30 ）3. A在上的投形為bcos0,它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于0。如 已知1：1=3,丨久1=5,且a-b = 2.則向雖:在向址久上的投影為.（答:12T4.a 方的幾何意義：數(shù)雖積：等干：的模1方1與庁在：上的投影的枳。5向數(shù)積的性質(zhì):設(shè)兩個(gè)非零向雖“，/兒其夾角為&,則: a 丄 Z? o “/? = 0 ； a ,b同向時(shí)，“ b = u孑.2 - -*特別地.a =a

7、a- fu ba b :非零向a.b夾角&的計(jì)算公式:cos9 =十。與b反向時(shí)，a b = -cfb0 且);33六.向的運(yùn)算：1.幾何運(yùn)算：向雖加法:利用“平行四邊形法則”進(jìn)行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向雖.如此之外.向址加法還可利用“三角形法則”：設(shè)AB = a.BC=b么向雖疋叫做方與乙的和即a + b = AB + BC = AC;向址的減法：用“三角形法則二設(shè)而=方,疋=從那么方一乙=莊一走=鬲由減向雖的終點(diǎn) 指向被減向雖的終點(diǎn)。注意:此處減向量與被減向量的起點(diǎn)相同。如(1)化:(DAB + BC + Cb = : AB-AD-DC=；(而一CD)-(AC-BD)=(答

8、:人萬(wàn)：厲；d)；（2）若正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為 l.AB = u、BC = b.AC = c 則I “ + /? + c l=.(答：2血)：2.坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)a = (xl,yib = (x2,y2).則：向的加減法運(yùn)算:/? = (xlx2, ” y2) o如(1)已知點(diǎn) A(Z3).B(5,4) C(7,10)，若 AP = AB + AAC(A e R) 則當(dāng) A =時(shí)，點(diǎn) P 在第一、三象限的角平分線上(答：丄);2(2 )已知作用在點(diǎn)A(l, 1)的三個(gè)力斤=(3,4),F； = (2,-5), F； = (3,1),則合力F = F； + F； + F；的終點(diǎn) 坐標(biāo)是(答：(9

9、.1) 實(shí)數(shù)與向的積:Aa = 2(xp x) = (/U,。 若A(x, ” ，則而 =(x2-%! os 一 y )即一個(gè)向址的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向址的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)。如-21 a I l b l + l Z? F ；若a b = 0、則 a = 0或 =0：若a-b = c b,則a = c :側(cè)=a 平面向積：“=召花+兒。如-兀f 已知向址=（sinx, cosx）, b Msinx, s i nx）, c=（ 1. 0）,若乂=求向:S、C 的夾角: 3向的a=ylx + ya =fh=A + r。如已知方幣均為單位向雖，它們的夾角為60 ,那么帀+ 3力二(答：JT

10、亍)；兩點(diǎn)間的距離：若A(jq則1431=齊)+(兒一牙)。七.向的運(yùn)算律:1.交換律：a + l2.結(jié)合律：d + 5 + c = （a + 5） + c,a-Z?-c = a-（ + c）, （2）5 =幾（“）=（/1乙）：3 分配律：（兄+ ）a =加 + “aM（a +石）=Aa + Ab .a+b c = a c+b c 如TTTTTTTfTTfTT下列命題中:“（/?-c） = d/?-dc：u（b c） = （ab）c :（a-/?） =1 a I2已知n =(“上),向雖n丄m，且n = m ,則m的坐標(biāo)是提醒：(1)向雖運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：對(duì)于一個(gè)向雖等式.

11、可以移項(xiàng)兩邊平方、兩邊同乘 以一個(gè)實(shí)數(shù).兩邊同時(shí)取模兩邊同乘以一個(gè)向雖，但不能兩邊同除以一個(gè)向雖即兩邊不能約去一個(gè)向址，切記兩 向不能相除(相約):(2)向的“乘法”不滿足結(jié)合律即方：)工(方初;.為什么？八.向平行(共線)的充要條件:ci/b 0 = Ab O (a - b)2 = (I a b I)2 0 xy2 - yx2 =0。如若向址 = (x,l)/ = (4,x),當(dāng)無(wú)=時(shí)N與為共線且方向相同(答:2)：(2) 已知“ = (l,l)，b = (4,x) , “=a + 2Z?, v = 2xi+ b .且uIIv ,則x=(答：4)：(3) 設(shè)只4 =伙,12),PM = (4,5),PC = (1O,R),則時(shí).A.B, C 共線(答：2 或 1