常用方法MATLAB求解

1、1 數(shù)學(xué)建模競賽數(shù)學(xué)建模競賽 2 一、曲線擬合及一、曲線擬合及matlab軟件求解軟件求解 已知離散點上的數(shù)據(jù)集 1122 ( ,)(,)(,), nn x yxyxy 求得一解析函數(shù)y=f(x)使y=f(x)在原離散點 i x 接近給定 i y 曲線擬合是最小二乘法曲線擬合，擬合結(jié)果可使誤差的 上盡可能 的值，這一過程叫曲線擬合。最常用的 平方和最小，即找出使 2 1 ( ) n ii i f xy 最小的f(x). 幾種常見的數(shù)學(xué)方法及軟件求解幾種常見的數(shù)學(xué)方法及軟件求解 3 格式：p=polyfit(x,y,n). 說明：求出已知數(shù)據(jù)x,y 的n次擬合多項式f(x)的系 數(shù)p,x 必須是

2、單調(diào)的。 例1 已知某函數(shù)的離散值如表 xixi0.50.51.01.01.51.52.02.02.52.53.03.0 yiyi1.751.752.452.453.813.814.804.807.007.008.658.65 求二次擬合多項式. 先畫函數(shù)離散點的圖形 輸入命令 ： x=0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0; y=1.75 2.45 3.81 4.80 7.00 8.60; scatter(x,y,5) 結(jié)果見圖 4 由圖可看出可用二次多項式擬合。 再再輸入命令 ： p=polyfit(x,y,2) p = 0.5614 0.8287 1.1560 即二次擬合多項式為

3、 2 ( )0.56140.82871.1560f xxx 5 畫出離散點及擬合曲線： 輸入命令 ： x1=0.5:0.05:3.0; y1=polyval(p,x1); plot(x,y,*r,x1,y1,-b) 結(jié)果見圖5.4 6 1 1、一維插值的定義、一維插值的定義 已知已知 n+1個節(jié)點個節(jié)點, 1 , 0(),(njyx jj 其中其中 j x 互不相同，不妨設(shè)互不相同，不妨設(shè)), 10 bxxxa n 求任一插值點求任一插值點)( * j xx 處的插值處的插值. * y 0 x 1 x n x 0 y 1 y * x * y 二、一維插值二、一維插值 7 構(gòu)造一個構(gòu)造一個(相對

4、簡單的相對簡單的)函數(shù)函數(shù)),(xfy 通過全部節(jié)點通過全部節(jié)點, 即即 ), 1 ,0()(njyxf jj 再用再用 )(xf 計算插值，即計算插值，即).( * xfy 0 x 1 x n x 0 y 1 y * x * y 8 稱為拉格朗日插值基函數(shù)拉格朗日插值基函數(shù)。 n 0i iin y)x(l)x(p 已知函數(shù)f(x)在n+1個點x0,x1,xn處的函數(shù)值為 y0,y1,yn 。求一n次多項式函數(shù)pn(x)，使其滿足： pn(xi)=yi,i=0,1,n. 解決此問題的拉格朗日插值多項式公式如下 其中l(wèi)i(x) 為n次多項式： )xx()xx)(xx()xx)(xx( )xx()

5、xx)(xx()xx)(xx( )x(l ni1ii1ii1i0i n1i1i10 i 拉格朗日拉格朗日(lagrange)插值插值 9 拉格朗日拉格朗日(lagrange)插值插值 特別地特別地: 兩點一次兩點一次(線性線性)插值多項式插值多項式: 1 01 0 0 10 1 1 y xx xx y xx xx xl 三點二次三點二次(拋物拋物)插值多項式插值多項式: 2 1202 10 1 2101 20 0 2010 21 2 y xxxx xxxx y xxxx xxxx y xxxx xxxx xl .,滿足插值條件直接驗證可知xln 10 分段線性插值分段線性插值 其它,0 , ,

6、 )( )()( 1 1 1 1 1 1 0 jj jj j jj jj j j n j jjn xxx xx xx xxx xx xx xl xlyxl 計算量與n無關(guān); n越大，誤差越小. nn n xxxxgxl 0 ),()(lim xjxj-1xj+1x0 xnx o y 11 比分段線性插值更光滑。比分段線性插值更光滑。 x y xi-1 xiab 在數(shù)學(xué)上，光滑程度的定量描述是：函數(shù)(曲 線)的k階導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，則稱該曲線具有k階光 滑性。 光滑性的階次越高，則越光滑。是否存在較低 次的分段多項式達到較高階光滑性的方法？三次 樣條插值就是一個很好的例子。 三次樣條插值三次樣條插

7、值 12 三次樣條插值 , 1,),()( 1 nixxxxsxs iii ,)()3 ), 1 ,0()()2 ), 1()()1 0 2 23 n ii iiiii xxcxs niyxs nidxcxbxaxs ) 1, 1()()(),()(),()( 111 nixsxsxsxsxsxs iiiiiiiiiiii 自然邊界條件）(0)()()4 0 n xsxs )(,)4)3)2xsdcba iiii g g( (x x) )為被插值函數(shù)為被插值函數(shù)。 )()(limxgxs n 13 2、一維插值的、一維插值的matlab軟件命令：軟件命令： 已知離散點上的數(shù)據(jù)集 1122 (

8、,)(,)(,), nn x yxyxy 求得一解析函數(shù)連接自變量相鄰的兩個點，并求得兩點 間的數(shù)值，這一過程叫插值。 matlab在一維插值函數(shù)interp1中，提供了四種 插值方法選擇：線性插值、三次樣條插值、立方插值 和最近鄰點插值。interp1的本格式為： yi=interp1(x，y，xi，method) 其中x,y分別表示數(shù)據(jù)點的橫、縱坐標(biāo)向量，x 必須 單調(diào)，xi為需要插值的橫坐標(biāo)數(shù)據(jù)（或數(shù)組），xi不能 超出x的范圍，而method為可選參數(shù)，有四種選擇： nearest ：最鄰近插值 linear ： 線性插值； 14 spline ： 三次樣條插值； cubic ： 立方

9、插值。 缺省時： 分段線性插值。 例2 在1-12的11小時內(nèi)，每隔1小時測量一次溫度，測 得的溫度依次為：5，8，9，15，25，29，31，30， 22，25，27，24。試估計在 3.2,6.5,7.1,11.7小時的溫 度值。 解解 輸入命令 ： hours=1:12; temps=5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24; t=interp1(hours,temps,3.2 6.5 7.1 11.7) %線性插值 t = 10.2000 30.0000 30.9000 24.9000 15 t=interp1(hours,temps,3.2 6.5 7.1 1

10、1.7,spline) %三次樣條插值 t = 9.6734 30.0427 31.1755 25.3820 比較發(fā)現(xiàn)，兩種結(jié)果有差異，這是因為插值是一 個估計或猜測的過程。 兩種插值的畫圖如下； 輸入命令 ： t0=1:0.1:12; t0=interp1(hours,temps,t0,spline); plot(hours,temps,+,t0,t0,hours,temps,r:) xlabel(時間); ylabel(溫度) 16 gtext(線性插值) gtext(三次樣條插值) 結(jié)果見圖5.5 17 三、二維插值三、二維插值 對二維插值問題，matlab分別給出了針對插值基 點為網(wǎng)格

11、節(jié)點的插值函數(shù)及針對插值基點為散亂節(jié)點的 插值函數(shù)調(diào)用格式。 1、 用matlab作網(wǎng)格節(jié)點數(shù)據(jù)的插值 ;1,2,m jn ijij 已知mn個節(jié)點：(x ,y ,z ),(i=1,2,) 12 ; n xxx且 * (,)( ,). ij xyx yz求點處的插值 12 , n yyy 對上述問題，matlab提供了二維插值函數(shù) interp2,其基本格式為： 18 z=interp2(x0,y0,z0,x,y,method) 其中x0,y0是自變量。x0,y0的分量值必須是單調(diào) 遞增的。x0和y0分別是m維和n維向量，分別表示已 知數(shù)據(jù)點的橫、縱坐標(biāo)向量，z0是m*n維矩陣，標(biāo)明 相應(yīng)于所

12、給數(shù)據(jù)網(wǎng)格點的函數(shù)值。向量x,y是待求函數(shù) 值所給定網(wǎng)格點的的橫、縱坐標(biāo)向量，x,y的值分別不 能超出x0,y0的范圍。 而method為可選參數(shù)，有四種選擇： nearest 最鄰近插值 linear 線性插值 spline 三次樣條插值 cubic 三次插值 缺省時, 是線性插值 19 例3：測得平板表面35網(wǎng)格點處的溫度分別為： 82 81 80 82 84 79 63 61 65 81 84 84 82 85 86 試求在平板表面坐標(biāo)為（1.5,1.5）,（2,1.6）,（2.5,2） （3.5,4.5）處的溫度，并作平板表面的溫度分布曲面 z=f(x,y)的圖形， （1）先在三維坐標(biāo)

13、畫出原始數(shù)據(jù)，畫出粗糙的溫 度分布曲圖. 輸入以下命令： x0=1:5; y0=1:3; temps=82 81 80 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86; 20 mesh(x0,y0,temps) 結(jié)果見圖5.6 分別用線性性插值和三次樣條插值求已知點的溫度。 輸入命令 ： 21 t=interp2(x0,y0,temps,1.5 2 2.5 3.5,1.5 1.6 2 4.5,liner) t = 76.2500 70.2000 62.0000 nan t=interp2(x0,y0,temps,1.5 2 2.5 3.5,1.5 1.6 2 4.5,s

14、pline) t = 71.4531 65.5200 60.9688 188.8906 （2）以平滑數(shù)據(jù),在x、y方向上每隔0.2個單位的地方 進行插值畫出線性和三次樣條插值的溫度分布曲面圖. 輸入以下命令得溫度的線性插值曲面圖: x=1:0.2:5; y=1:0.2:3; z=interp2(x0,y0,temps,x,y,linear); mesh(x,y,z) 22 xlabel(x軸); ylabel(y軸); zlabel(z軸) title(線性插值曲面圖) 結(jié)果見圖5.7 23 再輸入以下命令得溫度的三次樣條插值曲面圖: z=interp2(x0,y0,temps,x,y,spl

15、ine); mesh(x,y,z) xlabel(x軸); ylabel(y軸); zlabel(z軸) title(三次樣條插值曲面圖) 結(jié)果見圖5.7 24 例 4 山區(qū)地貌： 在某山區(qū)測得一些地點的高程如下表。平面區(qū)域 為 1200=x=4000,1200=y x0=0:400:5600; y0=0:400:4800; z0=370 470 550 600 670 690 670 620 580 450 400 300 100 150 250;. 510 620 730 800 850 870 850 780 720 650 500 200 300 350 320;. 650 760 8

16、80 970 1020 1050 1020 830 900 700 300 500 550 480 350;. 740 880 1080 1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700 780 750 650 550;. 830 980 1180 1320 1450 1420 1400 1300 700 900 850 840 380 780 750;. 880 1060 1230 1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950 870 900 930 950;. 910 1090 1270 1500 1200 1100 1350 1450

17、 1200 1150 1010 880 1000 1050 1100;. 950 1190 1370 1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 1070 900 1050 1150 1200;. 1430 1430 1460 1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1550 1500 1500 1550 1550;. 1420 1430 1450 1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980 850 750 550 500;. 1380 1410 1430 1450 1470 1320 1280 1200

18、 1080 940 780 620 460 370 350;. 1370 1390 1410 1430 1440 1140 1110 1050 950 820 690 540 380 300 210;. 1350 1370 1390 1400 1410 960 940 880 800 690 570 430 290 210 150; 26 meshz(x0,y0,z0) xlabel(x軸); ylabel(y軸); zlabel(z軸) title(原始數(shù)據(jù)山區(qū)表面圖) 結(jié)果見圖5.8 27 （1）線性插值 輸入命令 ： z2=interp2(x0,y0,z0,x,y,linear); su

19、rfc(x,y,z2) xlabel(x軸); ylabel(y軸); zlabel(z軸) title(線性插值表面圖) 結(jié)果見圖5.10 每隔50加密網(wǎng)格，分別作線性插值、三次樣條插值， 作出插值后的表面圖： 28 （2） 三次樣條插值 輸入命令 ： z3=interp2(x0,y0,z0,x,y,spline); surfc(x,y,z3) xlabel(x軸); ylabel(y軸); zlabel(z軸) title(三次樣條插值表面圖) 結(jié)果見圖5.11 29 2、 用matlab作散亂節(jié)點數(shù)據(jù)的插值 n iii 已知n個節(jié)點：(x ,y ,z ),(i=1,2,) * (,)(

20、,). ii xyx yz求點處的插值 對上述問題，matlab提供了二維插值函數(shù) griddata,其基本格式為： z =griddata（x0，y0，z0， x， y，method） 其中x0、y0、z0均是n維向量，分別表示已知數(shù)據(jù) 點的橫、縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)向量。向量x,y是待求函數(shù)值 所給定網(wǎng)格點的的橫、縱坐標(biāo)向量。 而method為可選參數(shù)，有四種選擇： nearest 最鄰近插值 linear 線性插值 cubic 三次插值 30 v4 matlab提供的插值方法 缺省時, 線性插值 例5 在某海域測得一些點(x,y)處的水深z由下表5.3給 出，船的吃水深度為5英尺，在矩形區(qū)域（7

21、5，200） *（-50，150）里的哪些地方船要避免進入。 x129.0140.0103.588.0185.5195.0105.5 157.5107.577.081.0162.0162.0117.5 y7.5141.523.0147.022.5137.585.5 6.581.03.056.566.584.033.5 z4868688 9988949 31 (1)作出測量點的分布圖 matlab命令： x0=129 140 103.5 88 185.5 195 105.5 157.5 107.5 77 81 162 162 117.5; y0=7.5 141.5 23 147 22.5 137

22、.5 85.5 -6.5 - 81 3 56.5 -66.5 84 -33.5; plot(x0,y0,+); 結(jié)果見圖5.13 32 （2）作出三次插值海底地形圖 輸入命令 ： x0=129 140 103.5 88 185.5 195 105.5 157.5 107.5 77 81 162 162 117.5; y0=7.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.5 -6.5 -81 3 56.5 -66.5 84 -33.5; z0=-4 -8 -6 -8 -6 -8 -8 -9 -9 -8 -8 -9 -4 -9; y=-70:0.5:150; z=griddata(x

23、0,y0,z0,x,y,cubic); meshz(x,y,z); xlabel(x軸); ylabel(y軸); zlabel(z軸) title(三次插值海底地形圖) x=75:0.5:200; 33 結(jié)果見圖 34 （3）作出水深低于5英尺的海域范圍 輸入命令 ： contour(x,y,z,-5,-5,-k); grid, xlabel(x軸); ylabel(y軸); title(船不能進入?yún)^(qū)域) 結(jié)果見圖 35 從圖可以看出，船應(yīng)避免進入危險區(qū)域 （-10-10，110110）。）。（110，190） 36 四四、matlab軟件在優(yōu)化中的應(yīng)用軟件在優(yōu)化中的應(yīng)用 在研究與解決具體問

24、題中，經(jīng)常遇到有關(guān)優(yōu)化問 題，下面介紹用matlab軟件求解一些優(yōu)化問題，包 括求解線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃等問題。 線性規(guī)劃是運籌學(xué)的一個重要分支，它起源于工 業(yè)生產(chǎn)組織管理的決策問題。在數(shù)學(xué)上它用來確定多 變量線性函數(shù)在變量滿足線性約束條件下的最優(yōu)值； 隨著計算機的發(fā)展，出現(xiàn)了如單純形法等有效算法， 它在工農(nóng)業(yè)、軍事、交通運輸、決策管理與規(guī)劃等領(lǐng) 域中有廣泛的應(yīng)用。 37 問題一問題一 ： 任務(wù)分配問題：某車間有甲、乙兩臺機床，可用于 加工三種工件。假定這兩臺車床的可工作時間分別為 800和900，三種工件的數(shù)量分別為400、600和500， 且已知車床甲加工單位數(shù)量三種工件所需的時間和加工

25、費分別為0.4、1.1、1和13、9、10，車床乙加工單位數(shù) 量三種工件所需的時間和加工費分別為0.5、1.2、1.3和 11、12、8。問怎樣分配車床的加工任務(wù)，才能既滿足 加工工件的要求，又使加工費用最低？ 38 解 設(shè)在甲車床上加工工件1、2、3的數(shù)量分別為x1、 x2、x3，在乙車床上加工工件1、2、3的數(shù)量分別為 x4、x5、x6。 可建立以下線性規(guī)劃模型： 39 問題二：問題二： 某廠每日8小時的產(chǎn)量不低于1800件。為 了進行質(zhì)量控制，計劃聘請兩種不同水平的檢驗員。 一級檢驗員的標(biāo)準(zhǔn)為：速度25件/小時，正確率98%， 計時工資4元/小時；二級檢驗員的標(biāo)準(zhǔn)為：速度15件/ 小時，

26、正確率95%，計時工資3元/小時。檢驗員每錯 檢一次，工廠要損失2元。為使總檢驗費用最省，該工 廠應(yīng)聘一級、二級檢驗員各幾名？ 1212 8 48 33224xxxx 解解 設(shè)需要一級和二級檢驗員的人數(shù)分別為x1、 x2人, 則應(yīng)付檢驗員的工資為： 因檢驗員錯檢而造成的損失為： 1212 (8 25 2%8 15 5%) 2812xxxx 121212 min(3224)(812)4036zxxxxxx 故目標(biāo)函數(shù)為： 40 12 1 2 12 8 258 151800 8 251800 8 151800 0,0 xx x x xx 約束條件為： 線性規(guī)劃模型： 12 min4036zxx 1

27、2 1 2 12 5345 9 . . 15 0,0 xx x st x xx 41 丁的蛙泳成績退步到丁的蛙泳成績退步到115”2；戊的自由泳成績進；戊的自由泳成績進 步到步到57”5, 組成接力隊的方案是否應(yīng)該調(diào)整組成接力隊的方案是否應(yīng)該調(diào)整？ 如何選拔隊員組成如何選拔隊員組成4 4 100100米混合泳接力隊米混合泳接力隊? ? 問題三問題三 混合泳接力隊的選拔混合泳接力隊的選拔 甲甲乙乙丙丙丁丁戊戊 蝶泳蝶泳106”857”2118”110”107”4 仰泳仰泳115”6106”107”8114”2111” 蛙泳蛙泳127”106”4124”6109”6123”8 自由泳自由泳58”6

28、53”59”457”2102”4 5名候選人的名候選人的百米成績百米成績 窮舉法窮舉法：組成接力隊的方案共有組成接力隊的方案共有5!=120種種。 42 目標(biāo)目標(biāo) 函數(shù)函數(shù) 若選擇隊員若選擇隊員i參加泳姿參加泳姿j 的比賽，記的比賽，記xij=1, , 否則記否則記xij=0 0-1規(guī)劃模型規(guī)劃模型 cij( (秒秒) )隊員隊員i 第第j 種泳姿的百米成績種泳姿的百米成績 約束約束 條件條件 每人最多入選泳姿之一每人最多入選泳姿之一 ciji=1i=2i=3i=4i=5 j=166.857.2787067.4 j=275.66667.874.271 j=38766.484.669.683.8

29、 j=458.65359.457.262.4 4 1 5 1ji ijij xczmin 每種泳姿有且只有每種泳姿有且只有1 1人人 5, 1, 1 4 1 ix j ij 4, 1, 1 5 1 jx i ij 43 模型求解模型求解 最優(yōu)解：最優(yōu)解：x14 = x21 = x32 = x43 = 1, 其它變量為其它變量為0; 成績?yōu)槌煽優(yōu)?53.2( (秒秒) )=413”2 min 66.8x11+75.6x12+87x13+58.6x14 + +67.4x51+71 x52+83.8x53+62.4x54 subject to x11+x12+x13+x14 =1 x41+x42+x

30、43+x44 =1 x11+x21+x31+x41+x51 =1 x14+x24+x34+x44+x54 =1 end int 20 輸入輸入lindo求解求解 甲甲乙乙丙丙丁丁戊戊 蝶泳蝶泳106”857”2118”110”107”4 仰泳仰泳115”6106”107”8114”2111” 蛙泳蛙泳127”106”4124”6109”6123”8 自由泳自由泳58”653”59”457”2102”4 甲甲 自由泳、乙自由泳、乙 蝶泳、蝶泳、 丙丙 仰泳、丁仰泳、丁 蛙泳蛙泳. . 44 丁蛙泳丁蛙泳c43 = =69.675.2，戊自由泳，戊自由泳c54= =62.4 57.5, , 方案是

31、否調(diào)整？方案是否調(diào)整？ 乙乙 蝶泳、丙蝶泳、丙 仰泳、仰泳、 丁丁 蛙泳、戊蛙泳、戊 自由泳自由泳 最優(yōu)解：最優(yōu)解：x21 = x32 = x43 = x51 = 1, 成績?yōu)槌煽優(yōu)?17”7 c43, c54 的新數(shù)據(jù)重新輸入模型，用的新數(shù)據(jù)重新輸入模型，用lindo求解求解 指派指派( (assignment) )問題問題：每項任務(wù)有且只有一人承擔(dān)，每項任務(wù)有且只有一人承擔(dān)， 每人只能承擔(dān)一項每人只能承擔(dān)一項，效益不同，怎樣分派使總效益最大，效益不同，怎樣分派使總效益最大. 討論討論 甲甲 自由泳、乙自由泳、乙 蝶泳、蝶泳、 丙丙 仰泳、丁仰泳、丁 蛙泳蛙泳. . 原原 方方 案案 45

32、為了選修課程門數(shù)最少，應(yīng)學(xué)習(xí)哪些課程為了選修課程門數(shù)最少，應(yīng)學(xué)習(xí)哪些課程 ？ 問題四問題四 選課策略選課策略 要求至少選兩門數(shù)學(xué)課、三門運籌學(xué)課和兩門計算機課要求至少選兩門數(shù)學(xué)課、三門運籌學(xué)課和兩門計算機課 課號課號課名課名學(xué)分學(xué)分所屬類別所屬類別先修課要求先修課要求 1微積分微積分5數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) 2線性代數(shù)線性代數(shù)4數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) 3最優(yōu)化方法最優(yōu)化方法4數(shù)學(xué)；運籌學(xué)數(shù)學(xué)；運籌學(xué)微積分；線性代數(shù)微積分；線性代數(shù) 4數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)3數(shù)學(xué)；計算機數(shù)學(xué)；計算機計算機編程計算機編程 5應(yīng)用統(tǒng)計應(yīng)用統(tǒng)計4數(shù)學(xué)；運籌學(xué)數(shù)學(xué)；運籌學(xué)微積分；線性代數(shù)微積分；線性代數(shù) 6計算機模擬計算機模擬3計算機；運籌學(xué)計算機；運

33、籌學(xué)計算機編程計算機編程 7計算機編程計算機編程2計算機計算機 8預(yù)測理論預(yù)測理論2運籌學(xué)運籌學(xué)應(yīng)用統(tǒng)計應(yīng)用統(tǒng)計 9數(shù)學(xué)實驗數(shù)學(xué)實驗3運籌學(xué)；計算機運籌學(xué)；計算機微積分；線性代數(shù)微積分；線性代數(shù) 選修課程最少，且學(xué)分盡量多，應(yīng)學(xué)習(xí)哪些課程選修課程最少，且學(xué)分盡量多，應(yīng)學(xué)習(xí)哪些課程 ？ 46 0-1規(guī)劃模型規(guī)劃模型 決策變量決策變量 目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù) xi=1 選修課號選修課號i 的的 課程（課程（xi=0 不選）不選） 9 1i i xzmin 選修課程總數(shù)最少選修課程總數(shù)最少 約束條件約束條件 2 54321 xxxxx 3 98653 xxxxx 2 9764 xxxx 課號課號課名課名所

34、屬類別所屬類別 1微積分微積分數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) 2線性代數(shù)線性代數(shù)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué) 3最優(yōu)化方法最優(yōu)化方法數(shù)學(xué)；運籌學(xué)數(shù)學(xué)；運籌學(xué) 4數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)；計算機數(shù)學(xué)；計算機 5應(yīng)用統(tǒng)計應(yīng)用統(tǒng)計數(shù)學(xué)；運籌學(xué)數(shù)學(xué)；運籌學(xué) 6計算機模擬計算機模擬計算機；運籌學(xué)計算機；運籌學(xué) 7計算機編程計算機編程計算機計算機 8預(yù)測理論預(yù)測理論運籌學(xué)運籌學(xué) 9數(shù)學(xué)實驗數(shù)學(xué)實驗運籌學(xué)；計算機運籌學(xué)；計算機 最少最少2門數(shù)學(xué)課，門數(shù)學(xué)課， 3門運籌學(xué)課，門運籌學(xué)課， 2門計算機課。門計算機課。 47 先修課程要求先修課程要求 74 xx 02 215 xxx 0 76 xx 0 58 xx 02 219 xxx 最優(yōu)解：最優(yōu)解： x

35、1 = x2 = x3 = x6 = x7 = x9 =1, 其它為其它為0；6門課程，總學(xué)分門課程，總學(xué)分21 02 213 xxx 0-1規(guī)劃模型規(guī)劃模型 約束條件約束條件 x3=1必有必有x1 = x2 =1 2313 ,xxxx 0 74 xx 模型求解（模型求解（lindo） 課號課號課名課名先修課要求先修課要求 1微積分微積分 2線性代數(shù)線性代數(shù) 3最優(yōu)化方法最優(yōu)化方法微積分；線性代數(shù)微積分；線性代數(shù) 4數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)計算機編程計算機編程 5應(yīng)用統(tǒng)計應(yīng)用統(tǒng)計微積分；線性代數(shù)微積分；線性代數(shù) 6計算機模擬計算機模擬計算機編程計算機編程 7計算機編程計算機編程 8預(yù)測理論預(yù)測理論應(yīng)用

36、統(tǒng)計應(yīng)用統(tǒng)計 9數(shù)學(xué)實驗數(shù)學(xué)實驗微積分；線性代數(shù)微積分；線性代數(shù) 48 學(xué)分最多學(xué)分最多 多目標(biāo)優(yōu)化的處理方法：化成單目標(biāo)優(yōu)化。多目標(biāo)優(yōu)化的處理方法：化成單目標(biāo)優(yōu)化。 兩目標(biāo)兩目標(biāo)( (多目標(biāo)多目標(biāo)) )規(guī)劃規(guī)劃 9876 54321 3223 43445 xxxx xxxxxwmax ,wzmin 討論：選修課程最少，學(xué)分盡量多，應(yīng)學(xué)習(xí)哪些課程？討論：選修課程最少，學(xué)分盡量多，應(yīng)學(xué)習(xí)哪些課程？ 9 1i i xzmin 課程最少課程最少 以以學(xué)分最多為目標(biāo)，不學(xué)分最多為目標(biāo)，不 管課程多少。管課程多少。 以課程最少以課程最少為目標(biāo)，不為目標(biāo)，不 管學(xué)分多少。管學(xué)分多少。 最優(yōu)解如上，最優(yōu)解如

37、上，6門課門課 程，總學(xué)分程，總學(xué)分21 。 最優(yōu)解顯然是選修所最優(yōu)解顯然是選修所 有有9門課程門課程 。 49 多目標(biāo)規(guī)劃多目標(biāo)規(guī)劃 在在課程最少的前提下課程最少的前提下 以以學(xué)分最多為目標(biāo)。學(xué)分最多為目標(biāo)。 最優(yōu)解：最優(yōu)解： x1 = x2 = x3 = x5 = x7 = x9 =1, 其它為其它為0；總總 學(xué)分由學(xué)分由21增至增至22。 注意：最優(yōu)解不唯一！注意：最優(yōu)解不唯一！ 課號課號課名課名學(xué)分學(xué)分 1微積分微積分5 2線性代數(shù)線性代數(shù)4 3最優(yōu)化方法最優(yōu)化方法4 4數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)3 5應(yīng)用統(tǒng)計應(yīng)用統(tǒng)計4 6計算機模擬計算機模擬3 7計算機編程計算機編程2 8預(yù)測理論預(yù)測理論2

38、9數(shù)學(xué)實驗數(shù)學(xué)實驗3 lindo無法告訴優(yōu)化無法告訴優(yōu)化 問題的解是否唯一。問題的解是否唯一。 可將可將x9 =1 易為易為x6 =1 增加約束增加約束 ， 以學(xué)分最多為目標(biāo)求解。以學(xué)分最多為目標(biāo)求解。 6 9 1 i i x 50 多目標(biāo)規(guī)劃多目標(biāo)規(guī)劃 對學(xué)分數(shù)和課程數(shù)加權(quán)形成一個目標(biāo)，例如三七開。對學(xué)分數(shù)和課程數(shù)加權(quán)形成一個目標(biāo)，例如三七開。 9876 54321 3223 43445 xxxx xxxxxw 9 1i i xz 最優(yōu)解：最優(yōu)解： x1 = x2 = x3 = x4 = x5 = x6 = x7 = x9 =1， 其它為其它為0；總學(xué)分總學(xué)分28。 課號課號課名課名學(xué)分學(xué)分

39、 1微積分微積分5 2線性代數(shù)線性代數(shù)4 3最優(yōu)化方法最優(yōu)化方法4 4數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)3 5應(yīng)用統(tǒng)計應(yīng)用統(tǒng)計4 6計算機模擬計算機模擬3 7計算機編程計算機編程2 8預(yù)測理論預(yù)測理論2 9數(shù)學(xué)實驗數(shù)學(xué)實驗3 wzwzymin3 . 07 . 0 21 51 討論與思考討論與思考 wzymin 21 3/2 1 1,0, 1 2121 最優(yōu)解最優(yōu)解與與 1=0， 2=1的結(jié)果相同的結(jié)果相同學(xué)分最多學(xué)分最多 4/3 1 多目標(biāo)規(guī)劃多目標(biāo)規(guī)劃 9876 54321 3223 43445 xxxx xxxxxw 9 1i i xz 最優(yōu)解最優(yōu)解與與 1=1， 2=0的結(jié)果相同的結(jié)果相同課程最少課程最少

40、 52 一般線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)表達式：一般線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)表達式： max(min)f= nn xcxcxc 2211 s.t 11212111 ),(bxaxaxa nn , 22222121 ),(bxaxaxa nn , mnmnmm bxaxaxa),( 2211 0, 21 n xxx . 用矩陣向量符號表示：用矩陣向量符號表示： max(min)f=cx .( , )staxb 0x 53 其中 11121 21222 11 n n mmmn aaa aaa a aaa 1 2 n x x x x 1 2 n b b b b 1,2, , n cc cc max(min)f=cx

41、 .( , )staxb 0x 54 用matlab優(yōu)化工具箱解線性規(guī)劃的命令如下： 1、模型： minz=cx s.t axb 命令：x=linprog（c，a，b） 2、模型：min z=cx . staxb aeq xbeq 命令：x=linprog(c,a,b,aeq,beq) 如果沒有不等式：ax b 存在，則令a=,b=. 55 3、模型：min z=cx . staxb aeq xbeq vlb x vub 命令：x=linprog(c,a,b,aeq,beq,vlb,vub) 如果沒有等式約束：aeqx beq 則令aeq=,beq=. 存在， 4、命令：x,fval=linp

42、rog() 返回最優(yōu)解及處的目標(biāo)函數(shù)值fval. 56 解 用命令3，編寫m文件xxgh1.m如下： c=-0.4 -0.28 -0.32 -0.72 -0.64 -0.6; a=0.01 0.01 0.01 0.03 0.03 0.03;0.02 0 0 0.05 0 0;0 0.02 0 0 0.05 0;0 0 0.03 0 0 0.08; b=850;700;100;900; aeq=; beq=; vlb=0;0;0;0;0;0; vub=; 57 x,fval=linprog(c,a,b,aeq,beq,vlb,vub) 結(jié)果： x = 1.0e+004 * 3.5000 0.50

43、00 3.0000 0.0000 0.0000 0.0000 fval = -2.5000e+004 58 例2 232221131211 12846510minxxxxxxf s.t 60 131211 xxx 100 232221 xxx 50 2111 xx 70 2212 xx 40 2313 xx ij x 0 , i=1,2 j=1,2,3. 解 用命令3，編寫m文件xxgh2.m如下： c=10 5 6 4 8 12; a=; b=; aeq=1 1 1 0 0 0;0 0 0 1 1 1;1 0 0 1 0 0;0 1 0 0 1 0;0 0 1 0 0 1; 59 beq=60;100;50;70;40; vlb=0;0;0;0;0;0; vub=; x,fval=linprog(c,a,b,aeq,beq,vlb,vub) 結(jié)果： x = 0.0000 20.0000 40.0000 50.0000 50.0000 0.0000 fval = 940.0000 60 例3 用matlab求問題一： 編