四法破解條件最值

1、四法破解條件最值方法 1、利用均值不等式例 1、如果 lg1x lg y 2, 則1的最小值是 （)xy111A. 2B.C.D.2520例 2 、若正數(shù)x, y 滿足 x2 y 1 ，求 11得最小值xy例 3、設 a,b,c R , 且a b c 1，求 4a 1 4b 1 4c 1得最大值方法 2、三角換元 例 4、已知實數(shù) a、b、x、y 滿足 a2+b2=m， x2+y 2=n，則 ax+by 的最大值是（ ）A mn B m nCm2 n2 D m2 n22 2 2例5、設a、b、x、y均為正數(shù) ,且a、b為常數(shù), x、y為變量.若x y 1,則 ax by的 最大值為 （ ）A.

2、 ab B. a b 1 C.a b D.（ab）22 2 2 例 6、已知實數(shù)x、y 滿足3x2 2y2 6，則 2xy 的最大值為（）A 4 B 13 C 2 3D 11方法 3、數(shù)形結合圖解法例 7、已知實數(shù) x ， y 滿足 2x y 5 0 ，那么 x2 y2 的最小值為A 5B 10C 2 5D 2 10x0例 8、實數(shù) x 、y 滿足不等式組y 0 ，則 x2y2 的最小值為xy1例9、若a,b,x,y R, a 2b 4 0，x 2y 1 0，求 （a x）2 （b y）2的最小值。例 10、已知 3x 4y 4 0 ，求函數(shù) f（x,y） （x 3）2 （y 5）2 + （x

3、 2）2 （y 15）2 的最小值 .例 11、實系數(shù)方程 f（x）=x2+ax+2b=0 的一個根在（ 0， 1）內，另一個根在（ 1， 2）內， 求：（1） b 2的值域；（2）（a1）2+（b2）2的值域；（3）a+b3的值域 .a1方法 4、不等式性質2例 12.已知函數(shù) f （x）= 3x2 2bx c 在區(qū)間1，2 上函數(shù)值恒為非正數(shù)，那么 bcA有最大值 15B有最大值 15C有最小值 15 D 有最小值 152 2 2 2 例 13、 a2 b2 1,b2 c2 2,c2 a2 2, 則ab bc ca 的最小值為（）A 3 121 1 1 3 C 3 D + 32教師用)B2

4、2 四法破解條件最值 方法 1、利用均值不等式11例1、如果 lg x lg y 2, 則 的最小值是 yA. 21B.2C.解析：lg x lg y 2, 得 xy 100,1511 x答案：C.若正數(shù) x, y 滿足 x 2 y1，解析：首先將條件整體代入，1 1 x xy1D.20x y 2 xy 1 xyxy 5x y 10時取等號求1x2y x 2y 3 2y x 3 2 2 x y x y2 時，取最小值 3 2 2 .21 得最小值 .yx 2y當且僅當 2 y x ，即 x 2 1, y 1 xy例 3、設 a,b,c R , 且a b c 1，求 4a 14b 14c1得最大

5、值解 1 ：設 4a 1 4b 1 4c 1 k ，平方，得k2 4a 1 4b 1 4c 1 2 4c 1 4a 1 2 4a14b124b1 4c 17 2 4c 1 4a 1 2 4a 1 4b 1 2 4b14c17 (4c 1 4a 1) (4a 1 4b 1) (4b 1 4c 1) =21，當且僅當 a b c 時，取最大值 21.m 4a 11 m (4 a 1) ，所以， k 21 解 2 ： m 4a等號成立的條件是m 4a 1 ，其中 m21413因此， 4a 14b 1 4c 137(4a 1)37(4b 1)73 (4c 1)3 37 4a 1 73 4b 1 37

6、4c 1727 4(a b c) 372 方法 2、三角換元 例 4 、已知實數(shù)7 21 .a、A mnB2解析： m2n2b、 x、y 滿足 a2+b2=m，22m n m nCD 2222a,x y b，22x2+y 2=n，則 ax+by 的最大值是( 22mn則令 m a cos ,na sin, xb cos, y b sinmx ny ab (coscossinsin ) ab cos() ab例5、設a、b、x、y均為正數(shù) ,且a、b為常數(shù), x、y為變量.若x y 1,則 ax by的 最大值為 ( )A. a b B. a b 1 C. a b D. (a b)2 2 222

7、解析 ：令 x sin ,y cos ， (0, )2ax by asin bcos a bsin( ) ， tan bax by a b ， 時取等號2mx 當且僅當 時取最大值 . 這里， 等價于 .) ny例 6、已知實數(shù) x、y 滿足 3x2 2y2 6，則 2x y 的最大值為()A 4B 13 C 2 3 D 1122解析： 3x2 2y2 6 可化成 x y 1，令x 2cos ,y 3sin232x y =2 2cos 3sin 11sin( ),(tan，則 2x y 的最大值為11.方法 3、數(shù)形結合圖解法例 7、已知實數(shù) x ， y 滿足 2x y 5 0 ，那么 x2

8、y2 的最小值為A 5B 10C2 5 D 2 10解析： 2x y 5 0看成直線方程， x2 y2 可以看成坐標原點到直線上的點的距離，x2 y2 的最小值則是坐標原點到直線的最短距離.由點到直線的距離公式，得答案：A 5.x0例8、實數(shù) x、 y滿足不等式組y 0 ，則 x2 y 2的最小值為xy12 解析：令 r2 x2 y2 ，圓與區(qū)域向切于直線x+y=1 上一點，此時圓的半徑最小22 2 1x2 y2 的最小值為 .2例9、若a,b,x,y R, a 2b 4 0，x 2y 1 0，求 (a x)2 (b y)2的最小值。22解析：(a x)2 (b y)2可以看成是點 (a,b)

9、與點 ( x, y)之間的距離的平方。 而點 (a,b)在 直線 x 2y 4 0上運動， x 2y 1 0可化為 ( x) 2( y) 1 0故點 ( x, y) 在直線 x 2y 1 0上運動。故兩平行線 x 2y 4 0與 x 2y 1 0距離的平方 5 即為所求。例 10、已知 3x 4y 4 0 ，求函數(shù) f(x,y) (x 3)2 (y 5)2 + (x 2)2 (y 15)2 的最小值 .解析： f (x, y)可看成動點 (x,y)到定點 A( 3,5) ， B(2,15)的距離的和 .而點 (x,y)在直線 3x 4y 4 0上運動，因此求函數(shù) f (x,y) 的最小值即是求

10、直線 3x 4y 4 0上的動點（x, y）到點 A（ 3,5） ， B（2,15）的距離和的最小值 .4y 4 0 的 對 稱 點 是 A (3, 3) ， 連 A B 交 直 線 3x 4y 4 0于點 P，則有f(x,y)min=AB=5 13 .例 11、實系數(shù)方程 f（x）=x2+ax+2b=0 的一個根在（ 0， 1）內，另一個根在（ 1， 2）內， 求：（1） b 2的值域；（2）（a1）2+（b2）2的值域；（3）a+b3的值域 .a1b0 a+b+10f（0）0f（ 1） 0f（ 2） 0如圖所示 . A（ 3， 1）、 B（ 2，0）、C（ 1，0）.又由所要求的量的幾何意義知，1 值域分別為（ 1）（ 1 ，1）；（2）（8，17）；（3）（ 5，4）.4方法 4、不等式性質例 12.已知函數(shù) f （x）= 3x2 2bx c 在區(qū)間1，2 上函數(shù)值恒為非正數(shù)，那么 bc A 有最大值 15B 有最大值 1522 C有最小值 15D 有最小值 1522 解析： f（ 1） 3 2b c 0， f （2） 12 4b c 0兩式相加，得 2b 2c 1515 b c . 答案： B 2 例 1