圓錐曲線定點(diǎn)定直線定值問(wèn)題精編版

1、最新資料推薦 定點(diǎn)、定直線、定值專(zhuān)題 1、已知橢圓 C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上，橢圓 C 上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為 3，最小值為 1 ()求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程； ()若直線 l:y kx m與橢圓 C相交于 A，B兩點(diǎn)( A，B不是左右頂點(diǎn)) ，且以 AB 為直徑的圓過(guò)橢 圓 C 的右頂點(diǎn)，求證：直線 l 過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo) 【標(biāo)準(zhǔn)答案】 22 (I) 由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2 y2 1(a b 0) a2 b2 22 2 x y a c 3,a c 1，a 2,c 1,b 3 1. 43 得 (3 4k2)x2 8mkx 4(m2 3) 0 ， 1 y kx m (

2、II) 設(shè) A(x1,y1),B(x2,y2) ，由 x2 y2 22 3 4k2 m2 0 . 43 64m2k2 16(3 4k2 )(m2 3) 0 ， 8mk x1 x23 4k2 ,x1 4(m2 3) 3 4k2 22 y1 y2 (kx1 m) (kx2 m) k x1x2 mk(x1 x2) m 3(m2 4k2 ) 3 4k2 以 AB 為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn) D (2,0), kAD kBD 1 ，y1y21， x1 2 x2 2 (最好是用向量點(diǎn)乘來(lái) ) y1y2 x1x2 2(x1 x2) 4 0， 3(m2 4k2) 4(m2 3) 16mk 2 2 2 3 4k2

3、3 4k2 3 4k2 22 7m2 16mk 4k2 0 ，解得 m1 2k,m2 2k 2 2 ，且滿(mǎn)足 3 4k2 m2 0 . 7 當(dāng) m 2k 時(shí)， l:y k(x 2) ，直線過(guò)定點(diǎn) (2,0), 與已知矛盾； 2k22 當(dāng) m時(shí)， l : y k(x ) ，直線過(guò)定點(diǎn) ( ,0). 777 2 綜上可知，直線 l 過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為 ( ,0). 7 2、已知橢圓 C的離心率 e 3 ，長(zhǎng)軸的左右端點(diǎn)分別為 A1 2,0 ，A2 2,0 。()求橢圓 C的方程； )設(shè)直線 x my 1與橢圓 C交于 P、Q兩點(diǎn)，直線 A1P與A2Q交于點(diǎn) S。試問(wèn)：當(dāng) m 變化時(shí)，點(diǎn) S 是否恒

4、在一條定直線上？若是，請(qǐng)寫(xiě)出這條直線方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由。 最新資料推薦 解法一：（）設(shè)橢圓 22 C 的方程為 x2 y 2 1 a b 0 。 1分 a 2， e c 3 a 橢圓 C 的方程為 2 2 x 42 c 3 ，b a2 c2 1。 4分 5分 1, 23 ,Q 1, 3 2 2 )取 m 0,得 P ，直線 A1P的方程是 y 3 x 3, 63 直線 A 2Q的方程是 y 3 x 3, 交點(diǎn)為 S1 4, 3 . 7分, 若P 1, 23 ,Q 1, 23 ，由對(duì)稱(chēng)性可知交點(diǎn)為 S2 4, 3 . 若點(diǎn) S在同一條直線上，則直線只能為 :x 4。 8分

5、2 x2 y 1 得 記 P x1,y1 ,Q x2,y2 ，則 y1 y2 2m m2 4,y1y2 設(shè)A1P與 交于點(diǎn) S0(4,y0),由 4y02 y1 x1 2 ,得 y0 m2 4 6y1 x1 2 9分 設(shè)A2Q與 交于點(diǎn) S0(4,y0 ),由4y02 y2 ,得 y02y2 x 2 2 10 6y12y26y1my 2 1 2y2my134my1y26y1y2 y0 y0 x1 2 x2 2 x1 2 x 2 2 x1 2 x 2 2 12m 12m 22 m2 4 m2 4 ， 0， 12分 x1 2 x 2 2 y0 y0 ，即 S0與 S0 重合，這說(shuō)明，當(dāng) m 變化時(shí)

6、，點(diǎn) S恒在定直線 :x 4上。 13分 解法二： （）取 m 0, 得 P 1, , 2 ,Q 1, 33 ，直線 A1P 的方程是 y3x3,直線 A 2Q的方程是 3 y 3 x 3, 交點(diǎn)為 S1 4, 3 . 7分 取m 1,得P 58,53 , 若交點(diǎn) S 在同一條直線上，則直線只能為 :x 4。 11 0, 1 ，直線 A 1P的方程是 y 1x 1,直線 A 2Q的方程是 63 1 y 12x 1, 交點(diǎn)為 S2 4,1 . 8分 以下證明對(duì)于任意的 m,直線 A1P與直線 A2Q 的交點(diǎn) S均在直線 :x 4上。事實(shí)上，由4 x my 1 22 my 1 4y2 4, 即 m

7、2 4 y2 2my 3 0， 最新資料推薦 以下證明對(duì)于任意的 m,直線 A1P與直線 A2Q 的交點(diǎn) S均在直線 :x 4上。事實(shí)上，由 x22 4 y 1得 x my 1 22 my 1 4y 4, 即m2 4 y2 2my 3 0 ， 記 P 1 x 1 , 2則Q 2m m22 4,y y 3 。 2 1 。2 m2 4 A 1P 的方程是 yy1 x 2 , A 2Q 的方程是 yy 2 x 2 , 消去 y, 得 y1 x 2 x1 2 x 2 2x1 2 y1 y 9分 以下用分析法證明 x 4 時(shí)，式恒成立。要證明式恒成立，只需證明 y2 2 x 2 x2 2 6y12y2

8、, 即證 x1 2 x 2 2 3y1my21y2my13 即, 證2my1y23 y1y 2. 點(diǎn) S恒在定直線 :x 4上。 2my1y 3 y y26m26m 20, 式恒成立。 這說(shuō)明， 當(dāng) m 變化時(shí)，1 m2 4 m2 4 2 x y 2 1 解法三：（）由 4 y 1得 my 1 4y2 4, 即 m2 4 y2 2my 3 0。 x my 1 2m 3 2,y1y 22 。 m 4 m 4 A1P的方程是 yy1 x 2 , A 2Q的方程是 y y2 x 2 , x1 2 x 2 2 記 P x1,y1 ,Q x2,y2 ，則 y1 y2 6分 7分 yy1 x 由x1 2

9、yy2x x 2 2 3 2m 2m 2 3 2y1 m 4 m 4 2 y1 2m 3 m22m4 y1 y 4. 12 分 2 , y y 9分 2 ,得 x1y1 2 x 2 x2y22 x 2 , 即x2 y2 x12y1x2 22 y2 my13y1 my212 2my1y23y2y1 y2 x12y1x 2 2y 2 my13y1 my213y2y1 13 分 這說(shuō)明，當(dāng) m 變化時(shí)，點(diǎn) S恒在定直線 : x 4 上。 3、 已知橢圓 E 的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值 為 2 1 ，離心率為 e 2 2 （）求橢圓 E 的方程； （）過(guò)點(diǎn) 1,0

10、作直線 交 E于P 、Q兩點(diǎn)，試問(wèn)：在 x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn) M ，MP MQ 為定值？ 若存在，求出這個(gè)定點(diǎn) M 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 最新資料推薦 22 解：( I)設(shè)橢圓 E 的方程為 x2 y2 1 ,由已知得： ab a c 2 1 c2 a2 。 2 分 a 2 b2 a2 c2 1 橢圓 E 的方程為 x c 1 2 ()法一：假設(shè)存在符合條件的點(diǎn) M(m,0) ，又設(shè) P(x 1,y 1),Q(x 2,y2) ，則： MP (x1 m, y1),MQ (x2 m, y2 ),MP MQ (x1 m) (x 2 m) y1y2 2 x1x2 m(x 1 x2) m y1

11、y2 。 5分 當(dāng)直線 l 的斜率存在時(shí)，設(shè)直線 l 的方程為： y k(x 1) ，則 x2 y2 1 由 2 y 1 得x2 2k2(x 1)2 2 0 y k(x 1) 2 2 2 2 (2k2 1)x2 4k2x (2k2 2) 0 x1 x2 4k 2 , x 2k 2 1, x1 22 y1y2 k (x1 1)(x2 1) k x 1x2 (x1 x2) 1 2k 2 所以 MP MQ 2k 2 2 2k 2 1 對(duì)于任意的 k 值， MP MQ 3分 x2 2k2 2 7 分 2 2k2 1 k2 2 2k2 1 2 2 2 (2m2 4m 1)k2 (m2 2) 9 分 2

12、2 2 2 4k 2 2 k 2 m 2 m 2 2k 2 1 2k2 1 為定值，所以 2m2 4m 1 2(m2 2) ，得 m 2 2k 2 1 5， 4， 57 所以 M( 5,0),MP MQ 7 ； 4 16 11分 1 當(dāng)直線 l 的斜率不存在時(shí)，直線 l: x 1,x1 x2 2,x 1x2 1,y 1y 21 2 由 m 5 得 MP MQ 7 4 16 綜上述知，符合條件的點(diǎn) M 存在，起坐標(biāo)為 (5,0) 4 法二：假設(shè)存在點(diǎn) M(m,0) ，又設(shè) P(x1,y1),Q(x 2,y 2),則： MP (x1 m, y 1),MQ (x 2 2 MP MQ (x1 m) (

13、x2 m) y1y2= x1x2 m(x1 x2) m y1y2. 當(dāng)直線 l 的斜率不為 0 時(shí)，設(shè)直線 l 的方程為 x ty 1， 2 x2 y 13 分 5分 m,y2) y 1 2 2t 1 由 2 得 (t2 2)y 22ty 1 0 y1y22,y 1y22 2 1 2t22 1 2t 22 x ty 1 7分 2 2 2 2 t 2t t 2 2t 2 x1x2 (ty1 1) (ty2 1) t2y1y2 t(y 1 y2) 1 t2 2 2 t2 22 2t 2 2t 2 4 x1 x2 t(y 1 y2) 2 2 t 2 2 2t 2 2 4m 2 MP MQ 2 2 m

14、 2 t2 2 t2 2 t2 2 2 2 2 4 t2 2 2 2 2 1(m 2 2)t 2 2m2 4m 1 t2 2 9分 設(shè) MP MQ則 (m2 2)t2 22m2 4m 1 (m2 (m2 2)t2 2m2 4m 1 (t 2 2) 22 2 )t 2 2m 2 4m 1 2 0 m2 2 0 2m2 4m 1 2 0 5 m 45 M( ,0) 74 16 11分 當(dāng)直線 l 的斜率為 0 時(shí)，直線 l: y 0，由 M( 5,0) 得： 4 最新資料推薦 55 257 MP MQ ( 2 ) ( 2 ) 2 44 1616 綜上述知，符合條件的點(diǎn) M 存在，其坐標(biāo)為 (5,0

15、) 。 13 分 4、已知橢圓的焦點(diǎn)在 x 軸上， 它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線x2 4y 的焦點(diǎn)，離心率 e 2 ，過(guò)橢圓的右 焦點(diǎn) F 作與坐標(biāo)軸不垂直的直線 l ，交橢圓于 A、 B 兩點(diǎn)。 (I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； ()設(shè)點(diǎn) M (m,0) 是線段 OF 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且 (MA MB) AB，求 m的取值范圍； ()設(shè)點(diǎn) C是點(diǎn) A關(guān)于 x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，在 x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn) N ，使得 C、B、N 三點(diǎn)共線？若存在，求出定點(diǎn) N 的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。 22 解法一： ( I) 設(shè)橢圓方程為 x2 y2 1(a b 0) ，由題意知 b 1 a2 b2 22 ab 2 a )

16、由 2 2 2x22 a2 5 故橢圓方程為y 1 I)得 F (2,0) ，所以 0 m 2，設(shè) l 的方程為 y k(x 2)(k 0) x 2 2 2 2 2 代入y2 1，得 (5k2 1)x2 20k2x 20k2 5 0 設(shè) A(x1,y1),B(x2, y2), 則 x1 x2 5k 1 5k 1 B (x1 m,y1) (x2 m,y2) (x1 x2 2m,y1 y2 ), AB 5 22 20k20k 5 2,x1x22 ,y1y2k(x1x24), y1y2k(x1x2) k 15k 1 (x2 x1, y2 y1) MA MB (MA MB) AB, (MA MB) A

17、B 0, (x1 x2 2m)(x2 x1) (y2 y1)( y1 y2) 0 22 202k2m 42k0, (8 5m)k2 m 0由k2 m 0, 0 m 8 ， 5k2 1 5k2 1 8 5m 5 8 當(dāng) 0 m 時(shí)，有 (MA MB) AB 成立。 5 5 )在 x軸上存在定點(diǎn) N( ,0) ，使得 C、 B、 N三點(diǎn)共線。依題意知 C(x1, y1)，直線 BC 的方 2 程為 y y1y2y1(xx1)，令 y 0，則x y1(x2 x1)x1y1x2y2x1 x2x1 y2y1 y2y1 l的方程為 y k(x 2),A、 B在直線 l上， y1 k(x1 2),y2 k(

18、x2 2) x 2kx1x2 2k(x1 x2 ) k(x1 x2) 4k k(x1 1)x2 k(x2 1)x1 k(x1 x2 ) 4k 22 20k2 520k2 5 2 在 x軸上存在定點(diǎn) N(5,0) ，使得 C B N三點(diǎn)共線。 2 2k 2 2k 2 5k2 1 5k2 1 20k2 k 2 4k 5k2 1 解法二：( )由( I)得 F (2,0) ，所以 0 m 2。設(shè) l的方程為 y k(x 2) (k 0), 2 代入 x y2 1，得 (5k2 1)x2 20k2 20k2 5 0設(shè) A(x1,y1),B(x2,y2), 則 5 20k220k2 5 4k x1x2

19、2,x1x22y1y2k(x1x24) 2,y1y2k(x1x2) 5k 1 5k 1 5k 1 最新資料推薦 (x2 m)2 y2, (MA MB) AB, |MA| |MB|, (x1 m)2 y1 (x1 x2 2m)( x1 x2) (y1 y2)( y1 y2) 0, (1 k 2)(x1 x2) 2m 4k2 0, (8 5m)k2 m 0 2 m 82k882 ) k 0, k2 0 0 5k2 1 5 5(5k2 1 8 當(dāng) 0 m 時(shí)，有 (MA MB) AB 成立。 5 5 )在 x軸上存在定點(diǎn) N( ,0) ，使得 C、B、N三點(diǎn)共線。 設(shè)存在 N (t,0), 使得 C、B、 N三點(diǎn)共線，則 CB / CN ， CB ( 1x 2x, 2y1y) , CN (t1 ,x，1 )y(x2 x1)y1(t x1)( y1y2)0 即 (x2 x1)k(x1 2)(t x1)k(x1x24) 02x1x2 (t2)(x1 x2)4t0 20k2 5 20k2 5 5 2 2 (t 2) 2 4t 0， t 存在 N( ,0) ，使得 C B N 三點(diǎn)共線。