奇偶性知識(shí)點(diǎn)的歸納與提高訓(xùn)練

1、奇偶性知識(shí)點(diǎn)的歸納與提高訓(xùn)練如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個(gè)X,都有f( - X)= f(x),那么函數(shù)f(x)叫偶函數(shù)如果對(duì)于 f(x)函數(shù)定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有f (- X)=- f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù).結(jié)論通俗而易懂，不 知你是否看透了其中奧妙？定義中，“ f( 一 X)=一 f(x),(或f( x)=f(x)”這句話之涵義，隱含了對(duì)函數(shù)f(x)定義域M內(nèi)的 一切X,f( 一 X)也要有意義，換句話說，當(dāng)xWM時(shí)，一 x也必須w M,體現(xiàn)出函數(shù)的定義域M關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.從 奇、偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性，也體現(xiàn)了這一點(diǎn)，無此條件，函數(shù)f(x)無奇偶性可言.一、抓住f (X)

2、與f(X)的關(guān)系例1對(duì)于兩個(gè)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)f(x)和g(x),在它們的公共定義域內(nèi)，下列命題正確的是0A. 若f(x)和g(x )都是奇函數(shù)，貝IJ F(x)=f(x) g- (x )是奇函數(shù)B. 若f(x)和g(x )都是偶函數(shù)，貝IJ F(x)=f(x) g- (x )是偶函數(shù)C .若f (x)是奇函數(shù)，g( x )都是偶函數(shù)，則F(x) =f (x) g (x )是偶函數(shù)D.若f(x)和g( x )都是奇函數(shù)，則F(x) =f (x) +g( x )不一定是奇函數(shù)分析 該題的最大特點(diǎn)是已經(jīng)告知了函數(shù)F(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此判定F(x)的奇偶性，只要看 F( x)與F(

3、x)的關(guān)系即可.解若 f(x)和 g( x )都是偶函數(shù)，則 f( x) = f(x) , g( x) = g(x)，于是，F(xiàn)( x) = f( x)g( - x) = f(x)g(x) = F(x),又函數(shù)F(x)的定義域是函數(shù)f(x)和g(x)的公共定義域，由題設(shè)可知其必 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故知此時(shí)的函數(shù)F(x)是偶函數(shù).故選項(xiàng)B正確.跟蹤練習(xí)一1. 定義在R上的任何奇函數(shù)f(x)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,都有()A. f(x) - f( -x) 0 B f(x)-f(-x)VO C f(x) f( -x) 0 D f(x) f(一x)Wo2. 若 F(x)=f(x)-f(-x)(x e R),則 F(

4、x)()A 一定是奇函數(shù)B. 一定是偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.無法判斷二、扣緊定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱例2判斷函數(shù)f(x) = 1- x+ V-Xx具有怎樣的奇偶性？分析 函數(shù)f (x) = 1 x+ l-x = 1 x+ l+x( xH 1),若忽略了函數(shù)的定義域，由f (X)=1 一 x1 + x + 1X =f(x),易得出函數(shù)為偶函數(shù)的錯(cuò)誤結(jié)論.因此，判斷函數(shù)的奇偶性，應(yīng)從函數(shù)的定義域入手.i-x2o解要使函數(shù)有意義，只需1+xNo ,即函數(shù)的定義域是一1,1),不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.換句話說， f( 一 xHl1)有意義，而f(l)卻沒有意義，所以函數(shù)f(x)是一個(gè)非奇非偶函數(shù).注：當(dāng)函

5、數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，無須再做任何工作，則否定函數(shù)既不是偶函數(shù)，也不是奇函 數(shù).4 X2例3判斷函數(shù)f(x)= |x 2| 2一的奇偶性分析：求函數(shù)的定義域乃當(dāng)務(wù)之急，只有當(dāng)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，方可進(jìn)一步考慮f(-x)與f (x)之間的矢系為實(shí)施方便應(yīng)設(shè)法將函數(shù)f(x)化簡(jiǎn)解要使函數(shù)有意義，只需0，_ 2W xW 2|X+ 2|_ 2豐即易求得函數(shù)的定義域?yàn)関 -A A . vA0o n I I rn ol d/r圧口定、/+盤牛工 商 占勺十斑【.由定義域的范圍可知，x + 220,f(x)=x+V-s2即f(x)=由f( x)型二xf= f(x) 知該函數(shù)f(x)為奇函數(shù)X注：

6、利用函數(shù)奇偶性的定義判斷奇偶性的步驟：第一步：確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；第二步：確定f(-x)與f(x)的關(guān)系；第三步：根據(jù)定義，作岀相應(yīng)的結(jié)論：若f( x)=f(x),則f(x)是偶函數(shù)；若f( X)=f(x),則f(x) 是奇函數(shù).若第一步中求出的函數(shù)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則不需進(jìn)行第二步和第三步的判斷，而直接得出結(jié)論函數(shù) 既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).跟蹤練習(xí)二2.判定下列函數(shù)1. 已知f(x)-ax 2 + bx + 3a + b是偶函數(shù)，且其定義域?yàn)閍-l,2a,貝U a= , b = 的奇偶性(l)f(x)=2x+x( 1WxW2)2)f(x) = x- 1

7、+ 1- x(3)f (x) = x2-l + 1-x2 +24)f(x) = x2-1 + 1-x2三、用活等價(jià)變形技巧利用f (X)=f (x)或f ( -X)=一 f (x)判定奇偶性是最基本的方法，對(duì)于比較復(fù)雜的函數(shù)，不易看岀其中的關(guān)系時(shí)，則可以借助于等式的變形形式：f (-x) f (x) =0或者=1來判斷函數(shù)的奇偶性.例 4 設(shè) f (x) =ax3-bx-l, f (-5) =11,求 f (5)的值.分析 若想通過求岀a. b的值來求f (5),顯然條件不夠，應(yīng)設(shè)法尋求f (一5)與f (5)的關(guān)系.解法一若注意到g (x) = ax3- bx是奇函數(shù)，g (x)+ g (-

8、 x) = 0對(duì)一切x成立，而 f (x)+ 1= g (x),即 f (x)+ 1 為奇函數(shù)，f (x)+1+ f (x) +1 =g (x) +g (x) =0 對(duì)一切 x 成立，即 f (x) +f (x) +2 = 0 恒成立.令 X = 5,可得 f (5) +f (-5) +2 = 0,故知 f (5) =-2-f (一5) = 13.解法二直接考慮f (x) +f (-x)*.* f (x) =ax一bx1, . f ( x) = ax3 + bx1由此可知 f (x) +f (-X)=一 2. f (5) +f (-5) =-2,求得 f (5) =一 13.注：有關(guān)這一類型的

9、函數(shù)求值，應(yīng)注意到所給函數(shù)由奇、偶函數(shù)兩部分組成，此時(shí)，f (x)與f (-x) 相加，則奇函數(shù)部分的和為零；f (x)與f ( - x)相減，則偶函數(shù)部分的差為零.例5判斷函數(shù)1f (x) = / +x的奇偶性.2-12分析函數(shù)的定義域是xHO,只要考察f (x)與f (x)的結(jié)果即可.解法一(變形法)由2X1H0可知，函數(shù)的定義域是(一8 ,0) U (0,+-),故定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.111- 2X 2 ) =f ( X ).函數(shù)f(X)為偶函數(shù)。注：在將f ( -X)轉(zhuǎn)化為f(X)的過程中，存在的一定的靈活性，尚若不能突破，不妨來換一換口 味，首先，通過取特殊值，如f (1) 、f (

10、-1)來估計(jì)，該函數(shù)是奇函數(shù)還是偶函數(shù)？若猜測(cè)其為偶，則可 將問題轉(zhuǎn)化為考慮f( - X)- f(X)的結(jié)果即可。解法二(轉(zhuǎn)換法).f (- X)(X)X 1 + V ( 2x-X 1 +X2 )2X 1 1 1-(_x) (+ 一+)012X 21 2X 2f(一x)=f(x)注：一般情況下，我們將要證的f( - X)= f(x)轉(zhuǎn)化為f( x)f(x)=0來處理，比較方便運(yùn)算，個(gè)別 情況卜w吋如=1,來得到f( - X)= f(x) 跟蹤練習(xí)三1. 若函數(shù)f(x) = (x+l) (x-a)為偶函數(shù)，則a等于()A. 一 2 B. 一 1C 1D 222. 已知函數(shù) g(x) 1 2x-i

11、 ,則 g(x)()A.是奇函數(shù)B是偶函數(shù) C.既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù) D 是非奇非偶函數(shù)3. 設(shè) f(x) = ax bx + cx + x 1, f( 5)=11,求 f的值.4. 已知函數(shù)f(x) =(m2 + m-2)x2+(m+2)x + n-2是奇函數(shù),判斷函數(shù)g(x)=xm+xn的奇偶性.四、學(xué)會(huì)欣賞函數(shù)圖彖的對(duì)稱美奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸成軸對(duì)稱圖形.利用好函數(shù)圖彖的對(duì)稱特 點(diǎn)，可數(shù)形結(jié)合解題.例6已知f(x)和g(x)都是定義域?yàn)镽的奇函數(shù).若F(x)=af(x)+bg(x)在(0,+oo )上有最大值4,求F(x)在(一,0)的最小值； 若G

12、(x) = af(x) + bg(x) +2在(0,+-)上有最大值4,求G(x)在(一 ,0)的最小值.分析注意觀察F(x)= af(x) +bg(x)奇、偶性，然后利用函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，去觀察所求函數(shù)的最值.解(1) V f(x)和 g(x)都是 R 上奇函數(shù), f( x) = f(x), g(-x)=-g(x),故 F(-x)=af(-x) +bg( x) = af (x) bg(x) = F(x)，: F(x)為奇函數(shù).I F(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.由F(x)=af(x)+bg(x)在(0,)上有最大值4,可知F(x)在(一 ,0)有最小值一 4.(2)由(1)可知G(x) 一 2

13、= af(x) + bg(x)為奇函數(shù)，且在(0,)上有最大值2,G(x) 2 = af (x) + bg (x)在(一00 ,0)有最小值一2,即 G(x) 2= af (x) + bg(x)三一 2,/.G(x) =af (x) +bg(x) +20, :在 6仗)在(00 , 0)有最小值 0.例7設(shè)f(x)的定義域是 5,5上的奇函數(shù)，若當(dāng)x W 0,5時(shí)，f(x)的圖象如圖1.3 9所不，求x f (x) 0的解集.分析利用奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，補(bǔ)上區(qū)間一5,0的圖象，將已知不等式轉(zhuǎn)化后，觀察求解.x 00或6) ,f(x)的定義域是一5,5上的奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

14、稱，可將函數(shù)在0,5上的圖象補(bǔ)充到一5,5,如圖1.3 10所示，由圖或觀察出不等 式的解集為一5, 一 2) U (2,5跟蹤練習(xí)四1. 奇函數(shù)f(x)在區(qū)間10,30上是減函數(shù)，且最小值為8,則f(x)在區(qū)間-30,-10上是()A增函數(shù)，且最大值是8B增函數(shù)，且最小值是 8C減函數(shù)，且最大值是 8 D減函數(shù)，且最小值是82. 函數(shù)f(x) = J 11 - x的圖象關(guān)于()1Ay軸對(duì)稱B.直線y= x對(duì)稱 C.坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱D.直線y= x對(duì)稱3. 己知f( x)是定義域?yàn)?一8,0)U (0, +-)上的奇函數(shù)，在區(qū)間(0, +-)上單調(diào)遞增，當(dāng)x0時(shí)，f(x)的圖象如圖1.3 11所示

15、：若x f(x)f( x) b為常數(shù)，貝【J f (x)在(0,)上的最大值為五、利用自身優(yōu)勢(shì)求解析式1. 由一半求得另一半由于奇函數(shù)、偶函數(shù)圖象特有的對(duì)稱關(guān)系，往往可給出解析式(或圖象)的一半，讓你去聯(lián)想或探求它的另 一半.1例8已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)=x2-s,求當(dāng)x0時(shí)，有f(x) = x2-x1，洛對(duì)小于0的X，法則f并不為它服務(wù)，如何是好？注意到x 0，對(duì)“一X”而言，已經(jīng)取得了適用法則“ f ”的資格證書解法一(依定義逐步求)II當(dāng)XV0時(shí)，一x 0，由已知的函數(shù)解析表達(dá)式可得f(- x) = ( X)2 1 =x2 + 1，(-x)x又f(x)是奇函數(shù)，所以

16、有一f(x) =/+；,X1當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)f(x)的解析表達(dá)式為f (x) = X2/ (x0).X解法二(利用圖象的對(duì)稱性求)設(shè)點(diǎn)P(x, y) ( x 0)是函數(shù)f(x)圖象上的任意一點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)y = f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，故點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)(一 x, - y)必定在函數(shù)y= f(x)的圖象上，則111y=( X) 1 ,即 y= X2x0),就是 f (x) = x2 J (x0時(shí)，f(x)=2x-3,貝lj f( 一 2)等于()1 11A . 1 B C. 1 D .442. 設(shè)f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)=x(l x),則當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)f(x)的解析式為(

17、)A x(x 1) B x(x+ 1) C. x(x + l) D x(x + l)3. 若函數(shù)f(x)、g(x)分別為R上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且滿足f(x) 一 g(x) = e：則有()A f(2) f(3) g(0) B. g(0)f(3)f(2) C. f(2) g(0) f(3) D. g(0) f (2) f (3)六、偶函數(shù)孕育了 f(- x)= f(x) = f( x|)在偶函數(shù)中，f(-x)=f(x)對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x都成立，這也就說明，f( x)=f(x) = f(|x|),運(yùn)用 該結(jié)論，不但可以提高解題效率，往往還可以岀奇制勝.例10若函數(shù)y = f (x)是偶函數(shù)，

18、當(dāng)x0時(shí)，y時(shí)增函數(shù)，對(duì)于xi0,且|xi| |x2|,貝【J ()A. f ( Xl) f ( X2) B. f (Xl) Xl0,得到f(X2)f (-X2),其過程頗費(fèi)周折.若運(yùn)用上面結(jié)論，可謂是手到擒來.解函數(shù)y = f (x)是偶函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，y時(shí)增函數(shù)，故函數(shù)y= f (x)在(0, + )上是減函 數(shù)，由 0 |xi I f ( I X 2 I ),而 f(XI)=f ( Xl) , f ( I X 2 I ) =f (X2), /. f ( Xl) f ( X2),故選 A.例11已知f (x)是定義在(一1,1)上的偶函數(shù)且在0,1)上為增函數(shù)，若f (a-2) f (4

19、-a2) 0, 求實(shí)數(shù)a的取值范圍.分析求a的取值范圍，即要得到關(guān)于a的不等式或不等式組.又f (x)為偶函數(shù)，故有f (|a-2|) f (|4解由 f (a2) f (4 a2) 0 得，f (a 2) f (4_a2)一云|),由函數(shù)f (x)在0,1)上為增函數(shù)，依題意，得到1 a 2 1la31 4aXl ,即 3a5a 2 | 14 a-iI a 2 | | a- 2 | ,亦即 a+ 2la33a 5,: a + 21 且 aH 2解此不等式組，得3a 5且a2, /.a的取值范圍是3,2) U (2, 5)跟蹤練習(xí)六n 31. f (x)是偶函數(shù)，且在(0,+ )上為增函數(shù)，貝

20、IJ a=f (- 2) , b= f (/) ()c = f (23)的大小關(guān)系是A b acB. acbC. b caD. cab2. 偶函數(shù)f (x)在(一8 , 0)內(nèi)是減函數(shù)，若f ( 1) f (a),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是3若 f (x)是偶函數(shù)，當(dāng) xG0 , + s)時(shí)，f (x)= (x + 1) 一 4,則 f (a-1) 0 的解集是4設(shè)f (x)在R上是偶函數(shù)，在區(qū)間(一00 , 0)上遞增，且有f (2a2 + a+1) f (3a2 2a+l),求a的取 值范圍.七、奇函數(shù)或許隱含“ f (0) =0” 奇函數(shù)f (x)若在x = 0處有意義，則有f (一0) =-

21、 f (0),即f (0) = 0.這說明，在x = 0處有 定義的奇函數(shù)1必過原點(diǎn)，當(dāng)然，對(duì)于在x = 0處沒有定義的奇函數(shù)，那就要另當(dāng)別論了，如 f (x)是奇函數(shù)，但它并不X過原點(diǎn)，還有一點(diǎn)值得注意，就是過原點(diǎn)的函數(shù)未必是奇函數(shù)但在可以應(yīng)用“ f (0) = 0”時(shí)，則會(huì)給運(yùn) 算帶來許多便宜.例12若f (x) = ? +a是奇函數(shù)，貝V a=.卄1分析該題就在于怎么樣應(yīng)用奇函數(shù)的條件來求a.1 1 1解因?yàn)閒(x) = 2X+1 i + a是奇函數(shù)，且定義域?yàn)镽,故有f(0) =0,即20+1 i+ a= 0, /. a= 當(dāng)a=一；時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，a=-；為所求.1注

22、：應(yīng)用f(0) =0的大前提是奇函數(shù)必須在x = 0有意義，若將函數(shù)換為f(x)= x1 +a,這種便宜就不2 1存了.這時(shí)需考慮 應(yīng)用f( x)= f(x)恒成立來求解，也可取特殊的f( 一 1)=- f(l)來求解.x + a7+b卄1是奇函數(shù)，且xe 1,1,試判斷其單調(diào)性并證明你的結(jié)論.分析判斷函數(shù)f(x)單調(diào)性，只有應(yīng)用奇函數(shù)之條件來確定兩個(gè)參數(shù) 8、b后，方可順利進(jìn)行.解因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù)，且x = 0有意義，故知其圖象必過坐標(biāo)原點(diǎn)，即有f(0) =0,從而可得a=0.一 1 1又由 f ( 1) f 得，2-b = 2+ b ,解得 b 0.X此時(shí)，函數(shù)f(x) = 2+】

23、，易知，該函數(shù)為奇函數(shù).；+ 1XI X2(X2 Xl)(X1X21)2*3八1-心72+1 3+1 飛2+1)(寇2+1)-得 f(X 1) f(X2),函數(shù)f(x)在一1,1上單調(diào)遞增.注：x = 0處有定義的奇函數(shù)必過原點(diǎn)，但過原點(diǎn)的函數(shù)未必是奇函數(shù)，同樣奇函數(shù) f(x)必滿足f (1) =一 f(l),但滿足f(- 1)=一 f(l)的函數(shù)也未必是奇函數(shù)，因此采用這種特殊值法的時(shí)候，回頭檢驗(yàn)后才能 有說服力.跟蹤練習(xí)七1. 下列說法中正確的是(A圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)一定是奇函數(shù).B.奇函數(shù)一定是單調(diào)函數(shù)C.奇函數(shù)的圖象一定經(jīng)過原點(diǎn).D.圖象過原點(diǎn)的函數(shù)一定是奇函數(shù).2.己知定義在R上

24、的奇函數(shù)f(x)滿足f(x + 2)= f(x),則f的值為()1 B. 0C- 1D. 2a-9x-1已知函數(shù)f(x) = x為奇函數(shù)，則a的值為階段性目標(biāo)測(cè)試七已知f (x) = (ml)x + 2mx + 3為偶函數(shù)，則f(x)在區(qū)間(2,5)上是()1 A .增函數(shù)B.減函數(shù)C 有增有減D 增減性不確定若y = f(x) (x e R)是奇函數(shù)，則下列坐標(biāo)表示的點(diǎn)一定在y= f(x)的圖象上的是()2 A. (m, f(m) B. (m, f(m) C(m, f( m) D (m, f( m)下面四個(gè)結(jié)論：偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交；奇函數(shù)的圖象一定過原點(diǎn)；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì) 稱；

25、沒有一個(gè)函數(shù)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù).其中正確的命題個(gè)數(shù)是()3A1B-2C3D4己知函數(shù)f(x)在一5,5上是偶函數(shù)，f(x)在0,5上是單f(-3)f(1)，則下列不等式中一定成 調(diào)函數(shù)，且立的是()A f( l)f(3)B f(2) f(3) C. f( 3)f(1)4 1F(x) = 9 3X - f (x)是偶函數(shù)，且f(x)不恒等于0,則f(x)()A.是奇函數(shù)B是偶函數(shù) C.既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)D是非奇非偶函數(shù)已知 f(x)=ax7-bx + 2 且 f (一5)=17,貝lj f (5)=5偶函數(shù)f (x)在(一8 ,0)內(nèi)是減函數(shù)，若f (l)f (2a1),則實(shí)數(shù)8的取值范

26、圍是 已知函數(shù)y = f(x)(xWR且xHO),對(duì)任意非零實(shí)數(shù)xi, X2恒有f (xi - x2) = f(xi)+f(x2)，試判斷函數(shù)f(x) 的奇偶性.6如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間2,7上是增函數(shù)，且最大值為10,最小值為6,那么f(x)在一7, 2上是 增函數(shù)還是減函數(shù)？求函數(shù)f(x)在一 7, 2上的最大值和最小值.10.已知函數(shù)y= f(x)是奇函數(shù)，在(0, + )內(nèi)是減函數(shù)，且f(X) a- 1，可知a = 3，由f( 一 x) = f(x)恒成立，可得2bx = 0恒成立，二b = 0 52 解：(1)函數(shù)的定義域?yàn)橐?1,2，不矢于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，故知其既不是奇函數(shù)，也不

27、是偶函數(shù)；(2) 函數(shù)的定義域1，不矢于原點(diǎn)對(duì)稱一該函數(shù)也是非奇非偶函數(shù)；(3) 函數(shù)的定義域?yàn)?1,1， 1、1矢于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，同時(shí)又有f( x) = f(x)，故(3)為偶函 數(shù)；(4) 函數(shù)的定義域?yàn)?1,1，因?yàn)閒(-1) = 0，f(1) = 0，函數(shù)f(x)不僅滿足f(-x)=f(x)，也滿足f(- x)= f(x)，故知此函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)注：函數(shù)的定義域不一定是區(qū)間的形式，也可以是一些孤立的點(diǎn)構(gòu)成的集合，只要矢于原點(diǎn)對(duì)稱，就可由 定義判斷奇偶性11. a = 3. b = 0.3由f(x)是偶函數(shù)可知，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； f( x)=f(x)恒成立.由2a= (al

28、)跟蹤練習(xí)三1. C.由 f (x) = (x+1)(X a) =x2+ (1a)x a,可得 f (x) f ( x) =2(1 a)x,因?yàn)楹瘮?shù) f(x)為偶函數(shù)，故 f(x) -f(-x)=O 恒成立，故 1一8=0, .I a=l.2 2s+ (11-22 22. A 因?yàn)間(x)的定義域?yàn)閤HO,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且g( x) + g(x) = 1+ x+ X ) = 2+X +21212 2 2s- 22x-i = 2+ i-2x 2 2 = 0,即 g( x) = g(x) , g(x)是奇函數(shù).3. 解:注意到函數(shù)g(x)=ax1. Cf(x)是奇函數(shù)，f( 一 2)= f-bx，

29、+ cxl為偶函數(shù)，由g(x)-g(-x)= 0可解.f (x) =ax6 bx ： + cx + x_ 1 CD.f ( x) =ax bx + cx x1 一，得 f(x) 一 f( -x)= 2x,令 x = 5,得 f(5) 一 f(- 5)= 2X5,又 f(- 5) = 11,f(5)=21.4. 解：由已知函數(shù)是奇函數(shù)可聯(lián)想到，f(- x)= f(x)恒成立，即f( -x) + f(x) =0恒成立。如此，有 2(m2+ m 2) x2 + 2 (n 2) = 0 恒成立.m2 + m 2=m =0由題設(shè)可知m + 2工0，解得1g(x) =x + x2 此函數(shù)的定義域?yàn)閤GR,

30、但g(- X)一 g(x) =一 2x , g( x) + g(x) = 2x 2,均不恒等于0,故g( x)Hg(x) ,g( x) H g(x),故g(x)既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)。注：該題隱含著條件mH 2,若不注意，則會(huì)導(dǎo)至解的情況增多，同時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤的判斷.跟蹤練習(xí)四1. C.由奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可以觀察出.12. C0) U (0, +),且對(duì)定義域內(nèi)每一個(gè) x,都有 f (x) = x+x= f (x) , .I該函數(shù) f(x)x=是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱.(2 2 3)= 1.X2. B.當(dāng) x0 時(shí)，x0, .I f (x) = (x) (1+x)，又 f(x

31、)奇，二一f (x) =( x)(l + x),f (x) =x(l +x) X-XX I-X-e ee 十 e3. D 用一x 代換 x,得 f( x) g( x) =e :即 f (x) +g(x)=e 解得 f (x) = 2 , g(x) = 2 ,而 f(x)單調(diào)遞增且大于等于0, g(0) =一 1.跟蹤練習(xí)六3 31 3 JI 1. B .f(x)是偶函數(shù)，f(一 2)=f( 2).又f(x)在(0, +-)上為增函數(shù),222,f( 2)f(2)f(2),即a c b.2. a 1.因?yàn)榕己瘮?shù)f (x)在(0, + 上為增函數(shù)，故f(-l)f(a)可化為f(l) f ( a|),即1 1 3. a|0a2.因?yàn)?f(l)=0,故不等式 f(a-l)0 即 f(a- l)f(l),又 f(x)是偶函數(shù)，故有 f(|a 1|) f(l),易看岀 f (x) = (x+ l)2 4 在0, + )上單調(diào)遞增，故有