專題2.10 函數(shù)的綜合應(yīng)用（解析版）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練寶典（新高考專用）

第二章函數(shù)專題2.10函數(shù)模型的應(yīng)用1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長速度的差異.2.理解“指數(shù)爆炸”“對數(shù)增長”“直線上升”等術(shù)語的含義.3.能選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律，了解函數(shù)模型在社會生活中的廣泛應(yīng)用．考點一用函數(shù)圖象刻畫變化過程考點二已知函數(shù)模型的實際問題考點三構(gòu)造函數(shù)模型的實際問題知識梳理1．三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值的變化而各有不同2．常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)反比例函數(shù)模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b為常數(shù)，k≠0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)對數(shù)函數(shù)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)冪函數(shù)模型f(x)＝axα＋b(a，b，α為常數(shù)，a≠0，α≠0)第一部分核心典例題型一用函數(shù)圖象刻畫變化過程1．為了預(yù)防流感，某學(xué)校對教室采用藥熏消毒法進行消毒.已知在藥熏過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（單位：mg）與時間t（單位：h）的關(guān)系如圖所示，函數(shù)關(guān)系式為（a為常數(shù)）.據(jù)測定，當(dāng)室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量降到0.25mg以下時，學(xué)生方可進教室.從藥熏開始，至少經(jīng)過小時后，學(xué)生才能回到教室，則（

）

A．， B．，C．， D．，【答案】C【詳解】當(dāng)時，，代入解析式得，得，令，解得，即，，故選；C2．甲、乙二人從A地沿同一方向去B地,途中都使用兩種不同的速度v1與v2（v1＜v2）,甲前一半的路程使用速度v1,后一半的路程使用速度v2；乙前一半的時間使用速度v1,后一半的時間使用速度v2,關(guān)于甲、乙二人從A地到達(dá)B地的路程與時間的函數(shù)圖象及關(guān)系,有如圖所示的四個不同的圖示分析（其中橫軸t表示時間,縱軸s表示路程,C是AB的中點）,則其中可能正確的圖示分析為A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題意可知,開始時,甲、乙速度均為v1,所以圖象是重合的線段,由此排除C,D,再根據(jù)v1＜v2可知兩人的運動情況均是先慢后快,圖象是折線且前“緩”后“陡”,故圖示A正確．故選:A.3．某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)溫度不變時，氣球內(nèi)氣體的氣壓P（千帕）是氣球體積V（立方米）的反比例函數(shù)，其圖像如圖所示，則這個函數(shù)的解析式為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為氣球內(nèi)氣體的氣壓是氣球體積的反比例函數(shù)，所以可設(shè)，由題圖可知，點在函數(shù)圖像上，所以，解得，故．故選：D．題型二已知函數(shù)模型的實際問題4．北京時間2020年11月24日4時30分，中國在文昌航天發(fā)射場用長征五號遙五運載火箭，成功將嫦娥五號月球探測器送人地月轉(zhuǎn)移軌道，發(fā)射取得圓滿成功．在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度和燃料的質(zhì)量、火箭（除燃料外）的質(zhì)量的函數(shù)關(guān)系是．按照這個規(guī)律，若火箭的最大速度可達(dá)到第三宇宙速度，則火箭的燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量之比（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．0.008350 B．1.008385 C．1.000035 D．0.008385【答案】D【詳解】由題意得，解得.故選：D5．著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家牛頓曾提出：物體在空氣中冷卻，如果物體的初始溫度為℃，空氣溫度為℃，則分鐘后物體的溫度（單位：℃，滿足：)若常數(shù)，空氣溫度為℃，某物體的溫度從℃下降到℃，大約需要的時間為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．39分鐘 B．41分鐘 C．43分鐘 D．45分鐘【答案】B【詳解】由題知，，，，，，，.故選：B.6．某地有一片長期被污染水域，經(jīng)過治理后生態(tài)環(huán)境得到恢復(fù)，在此水域中生活的魚類數(shù)量可以采用阻滯增長模型進行預(yù)測，其中為年后的魚類數(shù)量，為自然增長率，（單位：萬條）為飽和量，（單位：萬條）為初始值.已知2022年底該水域的魚類數(shù)量為20萬條，以此為初始值，若自然增長率為，飽和量為1600萬條，那么預(yù)計2032年底該水域的魚類數(shù)量約為（參考數(shù)據(jù)）（

）A．68萬條 B．72萬條 C．77萬條 D．83萬條【答案】C【詳解】根據(jù)題中所給函數(shù)模型，代入有關(guān)數(shù)據(jù)，以2022年的數(shù)量為初始值，所以有，所以預(yù)計2032年底該水域的魚類數(shù)量約為77萬條，故選：C題型三構(gòu)造函數(shù)模型的實際問題7．關(guān)于數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識：①數(shù)學(xué)建?；顒邮菍ΜF(xiàn)實問題進行抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)知識與方法構(gòu)建模型解決問題的過程；②數(shù)學(xué)建模過程主要包括：問題描述、模型假設(shè)、模型建立、模型求解、模型分析與檢驗和推廣應(yīng)用；③數(shù)學(xué)建模作為連接數(shù)學(xué)與實際問題的橋梁，建立既符合實際又能夠利用現(xiàn)有方法求解的合理數(shù)學(xué)模型是解決實際問題的關(guān)鍵步驟之一；④按照數(shù)學(xué)建模的流程，模型求解之后，還需要對模型解的正確性進行檢驗.以上說法正確的是（

）A．② B．①② C．①②③ D．①②③④【答案】D【詳解】對于①，數(shù)學(xué)建?；顒邮菍ΜF(xiàn)實問題進行抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)知識與方法構(gòu)建模型解決問題的過程，正確，對于②，數(shù)學(xué)建模過程主要包括：問題描述、模型假設(shè)、模型建立、模型求解、模型分析與檢驗和推廣應(yīng)用，正確，對于③，數(shù)學(xué)建模作為連接數(shù)學(xué)與實際問題的橋梁，建立既符合實際又能夠利用現(xiàn)有方法求解的合理數(shù)學(xué)模型是解決實際問題的關(guān)鍵步驟之一，正確，對于④，按照數(shù)學(xué)建模的流程，模型求解之后，還需要對模型解的正確性進行檢驗，正確，故選：D8．如圖（俯視圖），學(xué)校決定投資12000元在風(fēng)雨操場建一長方體狀體育器材倉庫，利用圍墻靠墻角（直角）而建節(jié)省成本（長方體一條長和一條寬靠墻角而建），由于要求器材倉庫高度恒定，不靠墻的長和寬所在的面的建造材料造價每米100元（不計高度，按長度計算），頂部材料每平方米造價300元.在預(yù)算允許的范圍內(nèi)，倉庫占地面積最大能達(dá)到平方米（

）A．32 B．36 C．38 D．40【答案】B【詳解】設(shè)倉庫不靠墻的長為x米，寬為y米，，，則，整理得，，，∴由基本不等式可得，，，解得：，故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以倉庫占地面積最大能達(dá)到平方米.故選：B9．在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)是指每名感染者平均可傳染的人數(shù).假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)為，個感染者在每個傳染期會接觸到個新人，這個人中有個人接種過疫苗（稱為接種率），那么個感染者傳染人數(shù)為.已知某種傳染病在某地的基本傳染數(shù)，為了使個感染者傳染人數(shù)不超過，則該地疫苗的接種率至少為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】為了使得個感染者傳染人數(shù)不超過，只需，即，因為，故，可得.故選：D.第二部分課堂達(dá)標(biāo)一、單選題1．下列函數(shù)中，增長速度最快的是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】指數(shù)函數(shù)時呈爆炸式增長，并且隨值的增大，增長速度越快，在一次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)中，增長速度最快的是指數(shù)函數(shù).故選：A2．小明的父親飯后出去散步，從家中走20分鐘到一個離家900米的報亭看20分鐘報紙后，用20分鐘返回家里，下面圖形中能表示小明的父親離開家的時間x與距離y之間的關(guān)系的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【詳解】小明父親行走的前20分鐘路程一直在增加，到900米之后停下看報紙，20分鐘至40分鐘路程不增加，40分鐘至60分鐘回家過程中，路程減少至0，因此A中圖象符合題意.故選：A3．燕子每年秋天都要從北方飛到南方去過冬，研究燕子的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，成年燕子的飛行速度（單位：）可以表示為函數(shù)，其中表示燕子的耗氧量．當(dāng)一只成年燕子的飛行速度時，它的耗氧量為（

）A．30 B．60 C．40 D．80【答案】C【詳解】因為，將代入，則，則，所以，所以，故選：C4．在我國大西北，某地區(qū)荒漠化土地面積每年平均比上一年增長，專家預(yù)測經(jīng)過x年可能增長到原來的y倍，則函數(shù)的圖象大致為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【詳解】由題設(shè)，由，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象知：D符合要求.故選：D5．設(shè)某批產(chǎn)品的產(chǎn)量為（單位：萬件），總成本（單位：萬元），銷售單價（單位：元/件）．若該批產(chǎn)品全部售出，則總利潤（總利潤銷售收入-總成本）最大時的產(chǎn)量為（

）A．7萬件 B．8萬件 C．9萬件 D．10萬件【答案】B【詳解】總利潤，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，最大，故總利潤最大時的產(chǎn)量為8萬件．故選：B．6．新風(fēng)機的工作原理是，從室外吸入空氣，凈化后輸入室內(nèi)，同時將等體積的室內(nèi)空氣排向室外．假設(shè)某房間的體積為，初始時刻室內(nèi)空氣中含有顆粒物的質(zhì)量為m．已知某款新風(fēng)機工作時，單位時間內(nèi)從室外吸入的空氣體積為v（），室內(nèi)空氣中顆粒物的濃度與時刻t的函數(shù)關(guān)系為，其中常數(shù)為過濾效率．若該款新風(fēng)機的過濾效率為，且時室內(nèi)空氣中顆粒物的濃度是時的倍，則v的值約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A．1.3862 B．1.7917 C．2.1972 D．3.5834【答案】B【詳解】由題意得，，因為，所以，整理得，令，因為，所以，則，解得（舍去）或，故，解得.故選：B7．2023年7月12日9時0分，由中國“藍(lán)箭航天”自主研制的朱雀二號遙二運載火箭的發(fā)射任務(wù)取得圓滿成功，該火箭由此成為全球首款成功入軌的液氧甲烷火箭，標(biāo)志著我國運載火箭在新型低成本液體推進劑應(yīng)用方面取得重大突破.在火箭研發(fā)的有關(guān)理論中，齊奧爾科夫斯基單級火箭的最大理想速度公式至關(guān)重要.其公式為，其中v為單級火箭的最大理想速度（單位:），q為發(fā)動機的噴射速度（單位:），，分別為火箭的初始質(zhì)量和發(fā)動機熄火（推進劑用完）時的質(zhì)量（單位:kg），稱為火箭的初末質(zhì)量比．要使火箭達(dá)到某個速度，應(yīng)當(dāng)提升火箭的初末質(zhì)量比以及噴射速度，但由于火箭可能的結(jié)構(gòu)（各類動力、連接裝置等）所制約，初末質(zhì)量比不可能大于10．現(xiàn)有某型號單級火箭的發(fā)動機能獲得的最大噴射速度約為，那么它能獲得的最大理想速度約為（

）（參考數(shù)據(jù):，）A．4.44 B．7.2 C．9.2 D．8.8【答案】C【詳解】由題意得，初末質(zhì)量比最大為10，則該型號單級火箭能獲得的最大理想速度．故選：C．8．某企業(yè)在生產(chǎn)中為倡導(dǎo)綠色環(huán)保的理念，購人污水過濾系統(tǒng)對污水進行過濾處理，已知在過濾過程中污水中的剩余污染物數(shù)量N（mg/L）與時間t（h）的關(guān)系為，其中為初始污染物的數(shù)量，k為常數(shù)．若在某次過濾過程中，前2個小時過濾掉了污染物的30%，則可計算前6小時共能過濾掉污染物的（

）A．49% B．51% C．65.7% D．72.9%【答案】C【詳解】依題意，前2個小時過濾后剩余污染物數(shù)量為，于是，解得，因此前6小時過濾后剩余污染物數(shù)量為，所以前6小時共能過濾掉污染物的.故選：C二、多選題9．設(shè)，當(dāng)時，對這三個函數(shù)的增長速度進行比較，下列結(jié)論中，錯誤的是（

）A．的增長速度最快，的增長速度最慢B．的增長速度最快，的增長速度最慢C．的增長速度最快，的增長速度最慢D．的增長速度最快，的增長速度最慢【答案】ACD【詳解】畫出函數(shù)的圖象，如圖所示，結(jié)合圖象，可得三個函數(shù)中，當(dāng)時，函數(shù)增長速度最快，增長速度最慢.所以選項B正確；選項ACD不正確.故選：ACD.

10．下列說法正確的是（

）A．若，則：B．若，則的最小值為2C．若都是正數(shù)，且，則的最小值是3D．下列選項是四種生意預(yù)期的收益關(guān)于時間的函數(shù)，從足夠長遠(yuǎn)的角度看，更有前途的生意是：②；①

②

③

④【答案】AC【詳解】對于A，因為，所以，所以，A正確；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)即不成立，所以，無最小值，B錯誤；對于C，因為，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)即時取得等號，所以的最小值是3，C正確；對于D，指數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于1，隨著時間的推移增長速度越來越快，所以最有前途的生意是①，D錯誤，故選:AC.三、填空題11．用指數(shù)模型：描述累計一個池塘甲種微生物的數(shù)量y隨時間t（單位：天）的變化規(guī)律，則該池塘甲種微生物的數(shù)量增加到原來的3倍需要的時間約為天.（，結(jié)果精確到0.1）.【答案】2.5【詳解】由題意，池塘甲種微生物的數(shù)量增加到原來的3倍，則，即，所以，則有，所以（天）.故答案為：2.512．中美關(guān)系日趨嚴(yán)峻，為此各相關(guān)企業(yè)在積極拓展市場的同時，也積極進行企業(yè)內(nèi)部細(xì)化管理，某集裝箱碼頭在貨物裝卸與運輸上進行大力改進，改進后單次裝箱的成本（單位：萬元）與貨物量（單位：噸）滿足函數(shù)關(guān)系式，單次裝箱收入（單位：萬元）與貨物量的函數(shù)關(guān)系式，已知單次裝箱的利潤，且當(dāng)時，,則單次裝箱利潤最大值為．【答案】6【詳解】由題意可得單次裝箱的利潤與貨物量的函數(shù)關(guān)系式為，因為當(dāng)時，,即，解得，即，當(dāng)時，為單調(diào)遞減函數(shù)，故當(dāng)時，的最大值為，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取最大值，綜上所述，當(dāng)每日產(chǎn)量為噸時，單次裝箱利潤取得最大值，故答案為：四、解答題13．甲市民計劃對長6米，寬2米的陽臺進行改造，設(shè)計圖如圖所示，區(qū)域用來打造休閑區(qū)域，區(qū)域用來種植辣椒，區(qū)域用來種植青菜，區(qū)域用來種植大蒜.已知，兩區(qū)域是邊長為米的全等正方形，打造體閑區(qū)域每平方米需花費30元，打造辣椒區(qū)域每平方米需花費40元，打造青菜區(qū)域每平方米需花費20元，打造大蒜區(qū)域每平方米需花費25元.(1)用（單位：平方米