多邊形及其內(nèi)角和講解

1、復(fù)習(xí)與知識回顧 學(xué)習(xí)新知識之前，看看你的知識貯備過關(guān)了嗎？ 多邊形及其內(nèi)角和 一、目標(biāo)與策略 明確學(xué)習(xí)目標(biāo)及主要的學(xué)習(xí)方法是提高學(xué)習(xí)效率的首要條件，要做到心中有數(shù)！ 學(xué)習(xí)目標(biāo)： 了解多邊形，多邊形的對角線，正多邊形等有關(guān)的概念； 掌握多邊形內(nèi)角和與外角和公式； 靈活運用多邊形內(nèi)角和與外角和公式解決有關(guān)問題， 體驗并掌握探索、 歸納圖形性質(zhì)的推理方法， 進(jìn)一步培養(yǎng)說理 和進(jìn)行簡單推理的能力。 重點難點： 重點：多邊形內(nèi)角和及外角和公式的靈活應(yīng)用。 難點：多邊形內(nèi)角和公式的推導(dǎo)；多邊形內(nèi)角和及外角和公式的應(yīng)用。 學(xué)習(xí)策略： 通過把多邊形轉(zhuǎn)化為三角形體會轉(zhuǎn)化思想在幾何中的運用， 探索多邊形內(nèi)角和公式

2、， 同時體會從特殊到一般的認(rèn)識 問題的方法。 二、學(xué)習(xí)與應(yīng)用 凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢”?？茖W(xué)地預(yù)習(xí)才能使我們上課聽講更有目的性和針對性。 一）三角形的內(nèi)角和等于， 外角和是。 二）三角形的一個等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和， 三角形的一個外角 與它不相鄰的任何一個內(nèi)角 三）三角形任意兩邊 大于第三邊，三角形任意兩邊 小于第三邊。 知識要點預(yù)習(xí)和課堂學(xué)習(xí) 認(rèn)真閱讀、理解教材，嘗試把下列知識要點內(nèi)容補(bǔ)充完整，帶著自己預(yù)習(xí)的疑惑認(rèn)真聽 課學(xué)習(xí)，請在虛線部分填寫預(yù)習(xí)內(nèi)容，在實線部分填寫課堂學(xué)習(xí)內(nèi)容。課堂筆記或者其它補(bǔ) 充填在右欄。詳細(xì)內(nèi)容請參看網(wǎng)校資源ID ：#tbjx5# 242807。 知識點一：多邊

3、形及有關(guān)概念 1 （一）多邊形的定義： 在平面內(nèi)，由一些線段 相接組成的圖形叫做多 邊形。 （1）多邊形的一些要素： 邊：組成多邊形的各條叫做多邊形的邊。 頂點：每相鄰兩條邊的公共叫做多邊形的頂點。 內(nèi)角：多邊形 兩邊組成的角叫多邊形的內(nèi)角， 一個 n 邊形有 個內(nèi)角。 外角：多邊形的邊與它的鄰邊的 組成的角叫做多邊形的外角。 （2）在定義中應(yīng)注意： 一些線段（多邊形的邊數(shù)是大于等于 的正整數(shù)）； 首尾順次相連，二者缺一不可； 理解時要特別注意“在同一 內(nèi)”這個條件，其目的是為了排除 幾個點不共面的情況，即空間多邊形。 （二）多邊形的分類： （ 1）多邊形可分為多邊形和 多邊形，畫出多邊形的任

4、何一 條邊所在的直線，如果整個多邊形都在這條直線的同一側(cè)，則此多邊形為 多 邊形，反之為 多邊形（見圖 1）。本章所講的多邊形都是指多邊形。 凹多邊形 凸多邊形 圖1 2）多邊形通常還以 命名，多邊形有 n 條邊就叫做邊形 三角形、四邊形都屬于多邊形，其中三角形是邊數(shù)最少的多邊形。 知識點二：正多邊形 各個角都 ，各條邊都 的多邊形叫做正多邊形。如正三角形、 正方形、正五邊形等。 正方形 正三角形 要點詮釋： 正六邊形 正十二邊形 是正多邊形的必備條件，二者缺一不可。如四 條邊都相等的四邊形不一定是正方形，四個角都相等的四邊形也不一定是正方形，只 有滿足四邊都相等且四個角都相等的四邊形才是 _

5、。 知識點三：多邊形的對角線 多邊形的對角線 ：連接多邊形 的兩個頂點的線段，叫做多邊形的 對角線。如圖 2，為四邊形 ABCD 的一條對角線。 要點詮釋： （ 1）從 n 邊形一個頂點可以引條對角線，將多邊形分成 個三角形。 （2）n 邊形共有_條對角線。 證明：過一個頂點有條對角線 （n3 的正整數(shù)），又共有個 頂點，共有 對角線，但過兩個不相鄰頂點的對角線重復(fù)了 次， 凸 n 邊形，共有 條對角線。 知識點四：多邊形的內(nèi)角和公式 （一）公式： n 邊形的內(nèi)角和為 （ n 3） 。 （二）公式的證明： 證法 1：在 n邊形內(nèi)任取一點，并把這點與各個頂點連接起來，共構(gòu)成個 三角形， 這 個三

6、角形的內(nèi)角和為 ，再減去一個 角，即得到 n 邊形的內(nèi)角和為 。 證法 2：從 n 邊形一個頂點作對角線， 可以作 條對角線， 并且 n 邊形被分成 個三角形，這個三角形內(nèi)角和恰好是 n 邊 形的 ，等于 。 證法 3：在 n 邊形的一邊上取一點與各個頂點相連， 得 個三角形， n 邊 形內(nèi)角和等于這 個三角形的內(nèi)角和減去所取的一點處的一個 角 的度數(shù)，即 。 要點詮釋： （ 1）注意：以上各推導(dǎo)方法體現(xiàn)出將多邊形問題轉(zhuǎn)化為問題來 解決的基礎(chǔ)思想。 （2）內(nèi)角和定理的應(yīng)用： 已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和； 已知多邊形內(nèi)角和，求其邊數(shù)。 知識點五：多邊形的外角和公式 （ 1）公式： 多邊形的外角

7、和等于。 （ 2）多邊形外角和公式的證明： 多邊形的每個內(nèi)角和與它相鄰的外角都是 ，所以 n 邊形的內(nèi)角和加外角和為，外角和等于 。 注意： n 邊形的外角和恒等于 ，它與邊數(shù)的多少無關(guān)。 要點詮釋： （ 1）外角和公式的應(yīng)用： 已知外角度數(shù)，求正多邊形邊數(shù)； 已知正多邊形邊數(shù)，求外角度數(shù)。 （ 2 ）多邊形的邊數(shù)與內(nèi)角和、外角和的關(guān)系： n 邊形的內(nèi)角和等于（n3，n 是正整數(shù)），可見多邊形內(nèi) 角和與邊數(shù) n 有關(guān)，每增加 1 條邊，內(nèi)角和增加 。 多邊形的外角和等于 ，與邊數(shù)的多少無關(guān)。 知識點六：鑲嵌的概念和特征 （一）定義： 用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分 覆蓋，通常把這 類問

8、題叫做用多邊形覆蓋平面（或平面鑲嵌） 。這里的多邊形可以形狀相同，也可以形 狀不相同。 （二）實現(xiàn)鑲嵌的條件： 拼接在同一點的各個角的和恰好等于 ；相鄰的多 邊形有 。 （三）常見的一些正多邊形的鑲嵌問題： （1）用正多邊形實現(xiàn)鑲嵌的條件：邊長相等；頂點公用；在一個頂點處各正多邊 形的內(nèi)角之和為 。 （2）只用一種正多邊形鑲嵌地面 對于給定的某種正多邊形， 怎樣判斷它能否拼成一個平面圖形， 且不留一點空隙？ 解決問題的關(guān)鍵在于正多邊形的 的特點。當(dāng)圍繞一點拼在一起的幾個正多 邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個 角 時，就能鋪成一個平面圖形。 事實上，正 n 邊形的每一個內(nèi)角為 ，要求 k 個正 n

9、 邊形各有一個內(nèi) 角拼于一點，恰好覆蓋地面，這樣 360 ，由此導(dǎo) 出 k 2n 2+，而 k是正整數(shù)，所以 n 只能取 。因而， n2 用相同的正多邊形地磚鋪地面， 只有正 角形、正方形、 正 邊形的地磚可以用。 注意： 任意四邊形的內(nèi)角和都等于 。所以用一批形狀、大小完全相 同但不規(guī)則的四邊形地磚也可以鋪成無空隙的地板，用任意相同的三角形也可以鋪滿 地面。 （3）用兩種或兩種以上的正多邊形鑲嵌地面 用兩種或兩種以上邊長相等的正多邊形組合成平面圖形， 關(guān)鍵是相關(guān)正多邊形 “交 接處各角之和能否拼成一個 角”的問題。例如，用正三角形與正方形、正三 角形與正六邊形、正三角形與正十二邊形、正四邊形

10、與正八邊形都可以作平面鑲嵌， 見下圖： 又如，用一個正三角形、兩個正方形、一個正六邊形結(jié)合在一起恰好能夠鋪滿地 面，因為它們的交接處各角之和恰好為一個周角 經(jīng)典例題 - 自主學(xué)習(xí) 認(rèn)真分析、解答下列例題，嘗試總結(jié)提升各類型題目的規(guī)律和技巧，然后完成舉一反 三。若有其它補(bǔ)充可填在右欄空白處。 更多精彩請參看網(wǎng)校資源 ID ：#jdlt0#242807 類型一：多邊形內(nèi)角和及外角和定理應(yīng)用 例 1 一個多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的 5 倍，它是幾邊形？ 思路點撥： 本題實際告訴了這個多邊形的內(nèi)角和是 解析： 總結(jié)升華： 舉一反三： 【變式 1】若一個多邊形的內(nèi)角和與外角和的總度數(shù)為1800 ，求

11、這個多邊形的邊 數(shù)。 答案： 【變式 2】一個多邊形除了一個內(nèi)角外，其余各內(nèi)角和為2750，求這個多邊形的內(nèi)角 和是多少？ 答案： 【變式 3】一個多邊形的內(nèi)角和與某一個外角的度數(shù)總和為1350，求這個多邊 形的邊數(shù)。 答案： 類型二：多邊形對角線公式的運用 例 2 某校七年級六班舉行籃球比賽， 比賽采用單循環(huán)積分制 （即每兩個班都進(jìn)行一次 比賽）。你能算出一共需要進(jìn)行多少場比賽嗎？ 思路點撥： 本題體現(xiàn)與體育學(xué)科的綜合，解題方法參照多邊形 條數(shù)的求法， 即多邊形的對角線條數(shù)加上邊數(shù)。如圖： 一班 二班 五班 四班 解析： 總結(jié)升華： 舉一反三： ）。 變式 1】一個多邊形共有 20 條對角線

12、，則多邊形的邊數(shù)是（ A 6 B 7 C 8 D 9 答案： 【變式 2】一個十二邊形有幾條對角線。 解析： 總結(jié)升華： 類型三：可轉(zhuǎn)化為多邊形內(nèi)角和問題 例 3如圖，求 A+B+C+D+E+F+G 的度數(shù)。 思路點撥： 設(shè)法將這幾個角轉(zhuǎn)移到 中，然后利用多邊形內(nèi)角和公式求解。 解析： 總結(jié)升華： 舉一反三： 變式 2】如圖所示，求 A+B+C+D+E+F 的度數(shù) 解析： 類型四：實際應(yīng)用題 例 4如圖，一輛小汽車從 P市出發(fā)，先到 B 市，再到 C市，再到 A 市，最后返回 P 市，這輛小汽車共轉(zhuǎn)了多少度角？ C 思路點撥： 根據(jù)多邊形的 定理解決。 解析： 總結(jié)升華： 舉一反三： 【變式

13、1】如圖所示，小亮從 A 點出發(fā)前進(jìn) 10m，向右轉(zhuǎn) 15，再前進(jìn) 10m，又向 右轉(zhuǎn) 15，這樣一直走下去，當(dāng)他第一次回到出發(fā)點時，一共走了 m 答案： 總結(jié)升華： 【變式 2】小華從點 A 出發(fā)向前走 10 米，向右轉(zhuǎn) 36，然后繼續(xù)向前走 10 米，再向 右轉(zhuǎn) 36，他以同樣的方法繼續(xù)走下去，他能回到點A 嗎？若能，當(dāng)他走回點 A 時共走了多少米？若不能，寫出理由。 答案： 變式 3】如圖所示是某廠生產(chǎn)的一塊模板， 已知該模板的邊 AB CF，CDAE 。 按 規(guī)定 AB 、CD 的延長線相交成 80角， 因交點不在模板上，不便測量。 這時師 傅告訴徒弟只需測一個角，便知道 AB、 CD

14、 的延長線的夾角是否合乎規(guī)定，你知 道需測哪一個角嗎？說明理由。 D 解析： 類型五：鑲嵌問題 例 5 分別畫出用相同邊長的下列正多邊形組合鋪滿地面的設(shè)計圖 10 （1）正方形和正八邊形； （2）正三角形和正十二邊形； （3）正三角形、正方形和正六邊形。 思路點撥： 只要在拼接處各多邊形的內(nèi)角的和能構(gòu)成一個周角，那么這些多邊形就能 作平面鑲嵌。 解析： 總結(jié)升華： 舉一反三： 【變式 1】分別用形狀、大小完全相同的三角形木板；四邊形木板；正五邊形木 板；正六邊形木板作平面鑲嵌，其中不能鑲嵌成地板的是（ ） A BCD 答案： 【變式 2】用三塊正多邊形的木板鋪地， 拼在一起并相交于一點的各邊完

15、全吻合， 其中 兩塊木板的邊數(shù)都是 8，則第三塊木板的邊數(shù)應(yīng)是（） A 4B5C6D8 答案： 三、總結(jié)與測評 11 要想學(xué)習(xí)成績好，總結(jié)測評少不了！課后復(fù)習(xí)是學(xué)習(xí)不可或缺的環(huán)節(jié)，它可以幫助我們 鞏固學(xué)習(xí)效果，彌補(bǔ)知識缺漏，提高學(xué)習(xí)能力。 總結(jié)規(guī)律和方法 - 強(qiáng)化所學(xué) 認(rèn)真回顧總結(jié)本部分內(nèi)容的規(guī)律和方法，熟練掌握技能技巧 相關(guān)內(nèi)容請參看網(wǎng)校資源 ID ：#tbjx16#242807 。 一）內(nèi)角和與邊數(shù)成正比： 邊數(shù)增加， 內(nèi)角和增加； 邊數(shù)減少， 內(nèi)角和減少。 每增加一條邊， 內(nèi)角的和就增加 過來也成立） ，且多邊形的內(nèi)角和必須是 180的倍 二） 多邊形外角和恒等于 ，與邊數(shù)的多少無關(guān) （

16、三）多邊形最多有 個內(nèi)角為銳角，最少沒有銳角（如矩形） ；多邊形的外角中最多有 個鈍角，最少沒有鈍角。 （四）在運用多邊形的內(nèi)角和公式與外角的性質(zhì)求值時，常與方程思想相結(jié)合，運用方程思想是解決本節(jié)問題的常用方法。 （五）在解決多邊形的內(nèi)角和問題時，通常轉(zhuǎn)化為與三角形相關(guān)的角來解決。 三角形是一種基本圖形，是研究復(fù)雜圖形的基 礎(chǔ)，同時注意轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。 成果測評 現(xiàn)在來檢測一下學(xué)習(xí)的成果吧！請到網(wǎng)校 測評系統(tǒng) 和 模擬考試系統(tǒng) 進(jìn)行相關(guān)知識點的 測試。 知識點： 多邊形 測評系統(tǒng) 分?jǐn)?shù)： 模擬考試系統(tǒng) 分?jǐn)?shù)： 如果你的分?jǐn)?shù)在 80 分以下，請進(jìn)入網(wǎng)校資源 ID ： #cgcp0#242807做基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)部分的練習(xí)，如果你的分?jǐn)?shù)在80 分以上， 你可以進(jìn)行能力提升題目的測試。 自我反饋 學(xué)完本節(jié)知識，你有哪些新收獲？總結(jié)本節(jié)的有關(guān)習(xí)題，將其中的好題及錯題分類整 理。如有問題，請到北京四中網(wǎng)校的“名師答疑”或“互幫互學(xué)”交流。 我的收獲 12 習(xí)題整理 題目或題目出處 所屬類型或知識點 分析及注意問題 好題 錯題 注： 本表格為建議樣式，請同學(xué)們單獨建立錯題本，或者使用四中網(wǎng)校錯題本進(jìn)行記錄。 知識導(dǎo)學(xué) ： 多邊形及其內(nèi)角和（ #242807） 視聽課堂：多邊形的內(nèi)角和與外角和（選學(xué)）（#