有限元理論與技術(shù)

1、填空題：1、 利用有限單元法求解彈性力學(xué)問題時(shí)，簡(jiǎn)單來說包含結(jié)構(gòu)離散化、單元分析_、整體分析三個(gè)主要步驟。2、 有限單元法首先將連續(xù)體變換成為離散化結(jié)構(gòu)，然后再用結(jié)構(gòu)力學(xué)位移法進(jìn)行求解。其具體步驟分為單元分析和整體分析兩部分。3、 每個(gè)單元的位移一般總是包含著兩部分：一部分是由本單元的形變引起的，另一部分是由于其他單元發(fā)生了形變而連帶引起的。4、每個(gè)單元的應(yīng)變一般總是包含著兩部分：一部分是與該單元中各點(diǎn)的位置坐標(biāo)有關(guān)的，是各點(diǎn)不相同的，即所謂變量應(yīng)變；另一部分是與位置坐標(biāo)無關(guān)的,是各點(diǎn)相同的，即所謂常量應(yīng)變。5、 為了能從有限單元法得出正確的解答，位移模式必須能反映單元的剛體位移 和 常量應(yīng)變

2、，還應(yīng)當(dāng)盡可能反映相鄰單元的位移連續(xù)性。6、 為了使得單元內(nèi)部的位移保持連續(xù)，必須把位移模式取為坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù) ，為 了使得相鄰單元的位移保持連續(xù)， 就不僅要使它們?cè)?公共結(jié)點(diǎn)處 具有相同的位移時(shí),也 能在 整個(gè)公共邊界上 具有相同的位移。7、 在有限單元法中，單元的形函數(shù)Ni在丄結(jié)點(diǎn)1 ；在其他結(jié)點(diǎn) Ni= 0及刀Ni= 。8、 為了提高有限單元法分析的精度， 一般可以采用兩種方法： 一是 將單元的尺寸減小 ， 以便較好地反映位移和應(yīng)力變化情況； 二是采用包含更高次項(xiàng)的位移模式，使位移和應(yīng) 力的精度提高。9、 在有限單元法中，結(jié)點(diǎn)力是指結(jié)點(diǎn)對(duì)單元的作用力。（V）10、 在平面三結(jié)點(diǎn)三角形

3、單元的公共邊界上應(yīng)變和應(yīng)力均有突變。（V ）11、形函數(shù) Ni（xi,yi）= （i=j）Ni（xi,yi）= （i 豐 j）簡(jiǎn)答題:1、有限元分析的基本思路答：首先，將物體或求解域離散為有限個(gè)互不重疊僅通過節(jié)點(diǎn)互相連接的子域（即單元） 原始邊界條件也被轉(zhuǎn)化為節(jié)點(diǎn)上的邊界條件，此過程稱為離散化。其次，在單元內(nèi)，選擇簡(jiǎn)單近似函數(shù)來分片逼近未知的求解函數(shù)，即分片近似。具體做將微分方程中的變量改寫成由各法是在單元上選擇一些合適的節(jié)點(diǎn)作為求解函數(shù)的插值點(diǎn)，變量或其導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達(dá)式，這是有限元法的創(chuàng)意和精華所在。而整體區(qū)域上的解函數(shù)就是這些單元上的簡(jiǎn)單近似函數(shù)的組合。最后，

4、基于與原問題數(shù)學(xué)模型（基本方程和邊界條件）等效的變分原理或加權(quán)殘值法，建立有限元方程（即剛度方程），從而將微分方程轉(zhuǎn)化為一組變量或其導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)值為未知量的代數(shù)方程組。從而借助矩陣表示和計(jì)算機(jī)求解代數(shù)方程組得到原問題的近似解。2、簡(jiǎn)述有限元法求解中離散處理所遵循原則。答：（1）幾何逼真，（2）受力真實(shí)，（3）計(jì)算準(zhǔn)確，（4）計(jì)算量少，（5）單元編號(hào)遵循右手 準(zhǔn)則（相鄰單元編號(hào)差值最小）。3、針對(duì)附圖所示的有限元結(jié)構(gòu)，組集出整體剛度矩陣K。（單元?jiǎng)偠染仃囉?Ke表示，單元?jiǎng)偠染仃囋赜肒j表示）。54單元?jiǎng)偠染仃?kiik21*31k12k131k22k23k32 k33 - 3k22k42*32

5、k24k44k34k232k43k33 -463254k44k46k434 K=k22k25k24 1k64k66k636k52k55k54k34k36k333k42k45k44K單元?jiǎng)偠蓉暙I(xiàn)矩陣:1kkk0kk12kk22k320kklk001Q0k22k23k24000k32k33k34000k42k43k4400123456123456000000 11-00000000000020kk220k24k25000k33k340k363000000K=00k43k440k4640k420k44k45000000050k520k54k550衛(wèi)0k63k640k66 -6000000 一K整體剛

6、度矩陣:kk：k： kk-kk03213+k0kk1230k k k： k k23、用有限元法分析實(shí)際工程問題有哪些基本步驟？需要注意什么問題?答：1.結(jié)構(gòu)的離散化，2單元分析2.1選擇位移函數(shù)2.2載荷等效2.3單元?jiǎng)偠染仃?整體分析3.1集成等效節(jié)點(diǎn)載荷3.2集成整體剛度 矩陣3.3約束邊界條件 1）建立實(shí)際工程問題的計(jì)算模型利用幾何、載荷的對(duì)稱性簡(jiǎn)化模型建立等效模型2）選擇適當(dāng)?shù)姆治龉ぞ邆?cè)重考慮以下幾個(gè)方面：多物理場(chǎng)耦合問題大變形網(wǎng)格重劃分3）前處理（Preprocessing）建立幾何模型（Geometric Modeling，自下而上，或基本單元組合）有限單元?jiǎng)澐郑∕eshing ）

7、與網(wǎng)格控制4）求解（Solution）給定約束（Constraint）和載荷（Load）求解方法選擇計(jì)算參數(shù)設(shè)定5）后處理（Postprocessing）后處理的目的在于分析計(jì)算模型是否合理，提出結(jié)論。用可視化方法（等值線、等值面、色塊圖）分析計(jì)算結(jié)果，包括位移、應(yīng)力、應(yīng)變、溫 度等；最大最小值分析；特殊部位分析。4、在有限單元法中，位移模式應(yīng)滿足哪些基本條件。答：（1）位移模式必須包含單元?jiǎng)傮w位移；（2）位移模式必須包含單元的常應(yīng)變；（3）位移模式在單元內(nèi)要連續(xù)，且唯一在相鄰單元之間要協(xié)調(diào)。5、簡(jiǎn)述有限單元法結(jié)構(gòu)剛度矩陣的特點(diǎn)。答：（1 ）對(duì)稱性；（2）奇異性；（3）主對(duì)角元恒正；（4 ）稀

8、疏性；（5）非零元素帶狀分布。6、簡(jiǎn)述有限單元法中單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)。答：（1）單元?jiǎng)偠染仃嚍閷?duì)稱矩陣;（2）單元?jiǎng)偠染仃嚍槠娈惥仃?（3）單元?jiǎng)偠染仃囍鲗?duì)角線元素恒為正值；（4）單元?jiǎng)偠染仃噧H與單元本身有關(guān)。7、簡(jiǎn)述有限單元法中形函數(shù)的性質(zhì)。 答 ：（ 1）形函數(shù) Ni 在節(jié)點(diǎn) i 處的值為 1，在其他兩個(gè)節(jié)點(diǎn) j，m 處的值為 0；（ 2）在單元上任意一點(diǎn)處， 3 個(gè)形函數(shù)的和都等于 1。8、簡(jiǎn)述有限元法中選取單元位移函數(shù)（多項(xiàng)式）的一般原則。 答：一般原則：（1）廣義坐標(biāo)的個(gè)數(shù)應(yīng)該與結(jié)點(diǎn)自由度數(shù)相等；（2）選取多項(xiàng)式時(shí)，常數(shù)項(xiàng)和坐標(biāo)的一次項(xiàng)必須完備；（3）多項(xiàng)式的選取應(yīng)由低階到高階；（4

9、）盡量選取完全多項(xiàng)式以提高單元的精度。9、要保證有限單元法計(jì)算結(jié)果的收斂性，位移函數(shù)必須滿足那些條件？ 答：（1）位移函數(shù)必須能夠反映單元的常量應(yīng)變；（2）位移函數(shù)必須能夠反映單元的剛性位移；（3）位移函數(shù)在單元內(nèi)部必須是連續(xù)函數(shù)；（4）位移函數(shù)必須保證相鄰單元間唯一協(xié)調(diào)。10、為了保證有限單元法解答的收斂性，位移模式應(yīng)滿足哪些條件？ 答：為了保證有限單元法解答的收斂性，位移模式應(yīng)滿足下列條件：（1）位移模式必須能反映單元的剛體位移；（ 2）位移模式必須能反映單元的常量應(yīng)變；（3）位移模式應(yīng)盡可能反映位移的連續(xù)性。11、以三節(jié)點(diǎn)三角形單元為例，簡(jiǎn)述有限單元法求解離散化結(jié)構(gòu)的具體步驟。 答：（1

10、）取三角形單元的結(jié)點(diǎn)位移為基本未知量。（2）應(yīng)用插值公式，由單元的結(jié)點(diǎn)位移求出單元的位移函數(shù)。（3）應(yīng)用幾何方程，由單元的位移函數(shù)求出單元的應(yīng)變。（ 4）應(yīng)用物理方程，由單元的應(yīng)變求出單元的應(yīng)力。（5）應(yīng)用虛功方程，由單元的應(yīng)力出單元的結(jié)點(diǎn)力。（ 6）應(yīng)用虛功方程，將單元中的各種外力荷載向結(jié)點(diǎn)移置，求出單元的結(jié)點(diǎn)荷載。 （7）列出各結(jié)點(diǎn)的平衡方程，組成整個(gè)結(jié)構(gòu)的平衡方程組。12、在有限單元法中，為什么要求位移模式必須能反映單元的剛體位移？答：每個(gè)單元的位移一般總是包含著兩部分： 部分是由本單元的形變引起的， 另一部分是本單元的形變無關(guān)的， 即剛體位移， 它是由于其他單元發(fā)生了形變而連帶引起的。

11、 甚至在彈 性體的某些部位， 例如在靠近懸臂梁的自由端處， 單元的形變很小， 單元的位移主要是由于 其他單元發(fā)生形變而引起的剛體位移。因此， 為了正確反映單元的位移形態(tài)， 位移模式必須能反映該單元的剛體位移。13、在有限單元法中，為什么要求位移模式必須能反映單元的常量應(yīng)變？ 答：每個(gè)單元的應(yīng)變一般總是包含著兩部分：一部分是與該單元中各點(diǎn)的位置坐標(biāo)有關(guān)的， 是各點(diǎn)不相同的，即所謂變量應(yīng)變； 另一部分是與位置坐標(biāo)無關(guān)的，是各點(diǎn)相同的，即所謂 常量應(yīng)變。 而且，當(dāng)單元的尺寸較小時(shí)， 單元中各點(diǎn)的應(yīng)變趨于相等， 也就是單元的應(yīng)變趨 于均勻，因而常量應(yīng)變就成為應(yīng)變的主要部分。因此，為了正確反映單元的形變

12、狀態(tài)， 位移 模式必須能反映該單元的常量應(yīng)變。14、采用有限單元法怎么樣求解彈性力學(xué)問題（ 基本思路和基礎(chǔ)步驟 ） ？答： 基本思想：根據(jù)近似分割和能量極值原理， 把求解區(qū)域離散為有限個(gè)單元的組合， 研究每個(gè)單元的 特性，組裝各單元，通過變分原理，把問題化成線性代數(shù)方程組求解?；静襟E： （1）將結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散化，包括單元?jiǎng)澐帧⒔Y(jié)點(diǎn)編號(hào)、單元編號(hào)、結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算、位移 約束條件確定；（2）等效結(jié)點(diǎn)力的計(jì)算；（ 3）剛度矩陣的計(jì)算（先逐個(gè)計(jì)算單元?jiǎng)偠?，再組裝成整體剛度矩陣）；（4）建立整體平衡方程，引入約束條件，求解結(jié)點(diǎn)位移；（ 5）應(yīng)力計(jì)算。15、簡(jiǎn)述有限單元法常分析的問題。 答：（1）靜力學(xué)分析，（2）模態(tài)分析，（3）動(dòng)力學(xué)分析，（4）熱力學(xué)分析，（5）其他：接觸 分析、壓桿穩(wěn)定性分析、結(jié)構(gòu) - 流體耦合分析等。16、有限元法的單元分析中如何導(dǎo)出單元?jiǎng)偠染仃?17、在有限元方法中如何形成整體剛度矩陣？如何進(jìn)行載荷的等效處理？18、單元節(jié)點(diǎn)數(shù)目、位移函數(shù)、計(jì)算精度三者之間存在何種關(guān)系？19、什么是等參變換單元？為什么要采用等參變化？答： （1） 是在取位移模式和進(jìn)行圖形變換時(shí)所取變換參數(shù)相同，