初中數(shù)學(xué)論文：新課標(biāo)下“SSA”課堂教學(xué)的實(shí)踐

1、新課標(biāo)下“ssa”課堂教學(xué)的實(shí)踐去年九月份開(kāi)始，浙江教育出版社出版的義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)（七年級(jí)下）在我市推廣使用，我有幸成為使用該教材的初一數(shù)學(xué)教師。在過(guò)去使用老的浙江版教材的時(shí)候，全等三角形教學(xué)中，常常會(huì)碰到兩個(gè)三角形滿足兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的條件?，F(xiàn)在的新教材中，這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)仍被放在相當(dāng)重要的地位。例如課本中p23課內(nèi)練習(xí)3：如果兩個(gè)三角形有兩邊和一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，這樣的兩個(gè)三角形一定全等嗎？又如課本p31作業(yè)題5：（1）已知和線段a、b。用尺規(guī)作abc，使b=，bc=a，ac=b；（2）已知兩邊及其中一邊的對(duì)角，一定能作出滿足這樣條件的三角形嗎？有幾種可能？還有在作業(yè)

2、本（1）p7和作業(yè)本（2）p6以及其它教輔材料里也有類似的題目。其實(shí)我早就關(guān)注這個(gè)問(wèn)題了，因?yàn)闈M足這樣條件的兩個(gè)三角形往往具備一些很重要的性質(zhì)，許多學(xué)生難以理解和掌握，他們不會(huì)利用這種幾何模型，只知道兩個(gè)三角形滿足兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等是不能判定兩個(gè)三角形全等，甚至錯(cuò)誤地認(rèn)為滿足這樣條件的兩個(gè)三角形一定不全等，這個(gè)問(wèn)題一直成為教學(xué)上的一個(gè)難點(diǎn)。我是如何在課堂教學(xué)中突破這個(gè)難點(diǎn)的呢？一、問(wèn)題的引入在進(jìn)行全等三角形“邊角邊”公理教學(xué)時(shí)，我常喜歡問(wèn)學(xué)生這么一個(gè)問(wèn)題：（圖1）想一想，能否把邊角邊公理說(shuō)成“有兩邊和一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等”？（結(jié)合圖形回答）這是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)知識(shí)，在這里包

3、括了兩個(gè)命題，其一就是sas公理，它是真命題。其二就是“有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等”，這顯然是一個(gè)假命題。例如在上面的圖1中，ab=a1b1，b=b1，ac=a1c1，那么可以使abca1b1c1，也可以使這兩個(gè)三角形不全等（如abc與a1b1c2）。二、定義我們把兩個(gè)三角形滿足兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的現(xiàn)象叫做“ssa”。三、ssa現(xiàn)象的剖析（教學(xué)的片段一）等學(xué)生們學(xué)完了前面的內(nèi)容之后，我問(wèn)學(xué)生：“同學(xué)們，前面我們每個(gè)同學(xué)都畫了abc，使ab=8cm，bc=5cm，b=30，結(jié)果每人得到的三角形都全等?，F(xiàn)在我們將條件bc=5cm改為ac=5cm，使兩邊一夾角變?yōu)閮蛇呉?/p>

4、對(duì)角，你再畫出abc”。話音剛落，大家就動(dòng)手畫了起來(lái)，兩分鐘后陸續(xù)有人畫好了，我布置了合作交流的任務(wù)：“請(qǐng)大家在四人小組里進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，用重疊法來(lái)判別一下你們所畫的三角形是否全等”。片刻，實(shí)驗(yàn)的結(jié)果就出來(lái)了，我請(qǐng)學(xué)生上臺(tái)陳述實(shí)驗(yàn)結(jié)果和這個(gè)結(jié)果能說(shuō)明的問(wèn)題，大家爭(zhēng)著上臺(tái)發(fā)言。因?yàn)樵谘惨晻r(shí)我發(fā)現(xiàn)同學(xué)a所在的小組四人中，所畫的三角形都彼此全等，所以請(qǐng)a先上來(lái)陳述。a說(shuō)：“我們四個(gè)人所畫的三角形是全等的，這說(shuō)明有兩邊和其中一邊上的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等”。我說(shuō)：“同意a的人舉手”。哇！有一半以上的同學(xué)舉手了。我叫了沒(méi)舉手的b來(lái)陳述。（圖2）b說(shuō)：“我們四人所畫的三角形有兩種，其中三人畫的是圖甲，只有

5、我畫的是圖乙，我所畫的三角形與他們不全等，這說(shuō)明有兩邊和其中一邊上的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不全等”。從同學(xué)們的眼光中我知道第一次舉手的學(xué)生有一個(gè)共同的想法：我怎么沒(méi)想到畫圖乙呢？我說(shuō)：“同意b的請(qǐng)舉手”。這時(shí)幾乎全班同學(xué)都舉手了。我接著又問(wèn)：“難道你們就沒(méi)聽(tīng)出來(lái)b說(shuō)話的漏洞？哪個(gè)同學(xué)能完整的敘述一下？”c說(shuō)：“有兩邊和其中一邊上的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形可能全等可能不全等”。我說(shuō)：“同意c的請(qǐng)舉手”。這時(shí)全班同學(xué)都舉手了，我肯定了同學(xué)c所說(shuō)的話是非常正確的。接下去我引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出“ssa”的兩條性質(zhì)。四、ssa的基本性質(zhì)（教學(xué)的片段二）從上面的圖1我們發(fā)現(xiàn)ssa有以下兩條性質(zhì)：1.有兩邊和其

6、中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形可能全等，可能不全等。（所以不能利用“ssa”判定兩個(gè)三角形全等）2.有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形如果不全等，那么它們的面積相差一個(gè)等腰三角形。教師應(yīng)該啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行討論，對(duì)已作的圖形進(jìn)行觀察，由學(xué)生自己得出上面兩條性質(zhì)。為了應(yīng)用第二個(gè)性質(zhì)，可以舉例如下。例1 已知abc和a/b/c/中，使ab= a/b/，bc= b/c/，a=a/, 如果它們的面積之差是8平方厘米。ac和a/c/相差2厘米，求abc中ac上的高。師：本題的難點(diǎn)在于沒(méi)有圖形，同學(xué)們想到應(yīng)首先做什么事情？生：畫出圖形。師：要比較兩個(gè)三角形的面積之差，再根據(jù)性質(zhì)2，你們想到該怎樣畫圖了

7、嗎？生：把這兩個(gè)三角形重疊起來(lái)。師：那好，同學(xué)們就動(dòng)手畫圖吧。等學(xué)生畫完后教師點(diǎn)撥，由上面性質(zhì)2可知，如果將兩個(gè)三角形重疊起來(lái)，就相差一個(gè)等腰三角形bc/c（如圖3），它的面積是8平方厘米，c/c=2厘米，所以高bd=822=8厘米。由此還可以看出，滿足ssa的兩個(gè)三角形第三邊上的高是相等的。五、ssa的三種類型（教學(xué)的片段三）ssa在不同的場(chǎng)合有三種基本類型：1、 滿足ssa的兩個(gè)三角形可能全等可能不全等；2、 滿足ssa的兩個(gè)三角形一定全等；3、 滿足ssa的兩個(gè)三角形雖然不全等，但可以通過(guò)割去（或補(bǔ)上）一個(gè)等腰三角形來(lái)構(gòu)造全等。在課堂教學(xué)中我常常通過(guò)下面的例子分別來(lái)說(shuō)明這三種類型。例2

8、如圖4，ad=bc，cab=dba，問(wèn)abc與dba是否一定全等？若一定全等請(qǐng)給出證明；若不一定全等請(qǐng)舉出反例。解：abc與dba滿足的條件是ad=bc，cab=dba，ab=ba，是屬于ssa，但它們不一定全等。反例如圖5，我用幾何畫板制作好課件，在直線ac上找到一點(diǎn)c1，使bc1=bc，那么abc和abc1總有一個(gè)與dba不全等。此例屬于ssa的第一類型。以下幾個(gè)例子要等以后學(xué)習(xí)了等腰三角形的知識(shí)后，我再向?qū)W生介紹。例3 如圖6，在abc與adc中，ab=ad，abc=adc，請(qǐng)問(wèn)abc與adc是否一定全等？若一定全等請(qǐng)給出證明；若不一定全等請(qǐng)舉出反例。解：在abc與adc中，滿足的條件是

9、ab=ad，abc=adc，ac=ac，是屬于ssa，但它們一定全等。證明時(shí)只要連結(jié)bd，利用等腰三角形知識(shí)可以證得bc=dc，于是abcadc。此例屬于ssa的第二類型。例4 如圖7，四邊形abcd中，ac平分dab，abc+adc=180，求證：dc=bc。分析：在abc與adc中，滿足的條件是bac=dac，ac=ac。另外，要求證的是dc=bc，這樣三個(gè)結(jié)論就構(gòu)成了ssa?，F(xiàn)在這兩個(gè)三角形之所以不全等是因?yàn)樗麄兿嗖钜粋€(gè)等腰三角形。利用這個(gè)性質(zhì)，可以用三種方法構(gòu)造全等三角形。方法一：在ad延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)e，使得ce=cd。（補(bǔ)上一個(gè)等腰三角形）方法二：在ab上取一點(diǎn)e，使得ce=cb。（

10、割去一個(gè)等腰三角形）方法三：作cfab于f，cead于e。（既割又補(bǔ)，即補(bǔ)上、割去一個(gè)直角三角形）證明略。此例屬于ssa的第三類型。 六、關(guān)于ssa教學(xué)的反思反思1 ssa的教學(xué)是個(gè)長(zhǎng)期的任務(wù)我認(rèn)為ssa的教學(xué)要滲透在平時(shí)教學(xué)中，不能急于求成。全等三角形、等腰三角形、四邊形、圓等各個(gè)幾何內(nèi)容的學(xué)習(xí)中都要細(xì)細(xì)滲透，例如：例5 如圖11，e是梯形abcd的腰bc中點(diǎn)，ae平分bad，求證：de平分adc；aede。 錯(cuò)誤證法：在ad上取af=ab，連ef，由已知得abeafe，fe=eb=ec，afe=b，b+c=180,afe+dfe=180,afe=c，de=de，dfedce，3=4。分析：

11、以上證明中的第二次全等，缺乏判定依據(jù)，屬于ssa。如果延長(zhǎng)ae與dc交于g，即可利用等腰三角形“三線合一”定理來(lái)證。反思2 ssa的困惑之一待添加的隱藏文字內(nèi)容2有時(shí)我們數(shù)學(xué)教師自己也會(huì)碰到難以解決的問(wèn)題。那是去年我教初三的時(shí)候，一天數(shù)學(xué)課的內(nèi)容的“平行四邊形復(fù)習(xí)”。我講解同步練習(xí)中的一道習(xí)題。這道題是這樣的：（圖13）例6 如圖13，在四邊形abcd中，ab=cd，b=d，問(wèn)四邊形abcd一定是平行四邊形嗎？我想了好大一會(huì)兒，回答學(xué)生說(shuō)：“一定！”學(xué)生感到不解。我自信地說(shuō)：“我證明給你們看，不過(guò)要用到你們還沒(méi)學(xué)過(guò)的一條定理?！?證明：如圖，將abc沿ac翻折得abc，b=d，b=d，a、c、

12、d、b四點(diǎn)共圓，ab=cd，ab=cd，dac=bca，即dac=acb，abccda，四邊形abcd是平行四邊形。下課之后，我靜下心來(lái)思索，真的沒(méi)有反例了嗎？于是我就用幾何畫板做了一個(gè)課件。（圖14-1）（圖14-2）（圖14-3）（圖14-4） 如圖，在幾何畫板中先任意畫一個(gè)abc，然后以c為圓心、ab長(zhǎng)為半徑畫圓，在圓c上任取一點(diǎn)d，再作射線de，使edc=abc。我們可以讓點(diǎn)d在圓c上移動(dòng)而題設(shè)的條件不變，從而就會(huì)產(chǎn)生各種位置關(guān)系（如圖14-1至14-4），其中使射線經(jīng)過(guò)點(diǎn)a的位置就有兩種。這說(shuō)明滿足條件的四邊形有兩個(gè)，反例找到了。所以這是一個(gè)假命題，上面的證明是錯(cuò)誤的。當(dāng)我把幾何畫板

13、課件演示給全班同學(xué)看的時(shí)候，他們滿意地笑了。反思3 ssa的困惑之二在數(shù)學(xué)問(wèn)題中常常有這樣的情況，證明某兩個(gè)三角形全等時(shí)發(fā)現(xiàn)是ssa，這時(shí)不能茫然下結(jié)論，它的可能性有三種（請(qǐng)參見(jiàn)：五、ssa的三種類型）。而學(xué)生常常錯(cuò)誤地用ssa來(lái)證明兩個(gè)三角形全等，或者一旦遇到“ssa”的問(wèn)題就馬上斷定不能判定兩個(gè)三角形全等。例如下面這道題，是我在過(guò)去學(xué)習(xí)圓的基本性質(zhì)后給學(xué)生做的一道練習(xí)，學(xué)生只會(huì)瞎猜，怎樣引導(dǎo)學(xué)生走出“ssa”的困惑？這個(gè)問(wèn)題真的很難。例7 如圖15，d在o的半徑oa上，b、c在o上，adb=adc，那么obd和ocd（ ）a、一定全等 b、一定不全等 c、不一定全等 d、以上都不對(duì)錯(cuò)誤的想法1：由adb=adc，得odb=odc，ob=oc，od=od，obdocd。選a。