《二項(xiàng)分布與超幾何分布》復(fù)習(xí)課程

1、 二項(xiàng)分布與超幾何分布 知 識(shí) 梳理 1條件概率：稱p(b | a) =為在事件 a 發(fā)生的條件下，事件 b 發(fā)生的概率。2. 相互獨(dú)立事件：如果事件 a（或 b）是否發(fā)生對(duì)事件 b（或 a）發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件。_如果事件 a、b 是相互獨(dú)立事件，那么，a 與b 、a與b、a 與b 都是相互獨(dú)立事件兩個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積。我們把兩個(gè)事件 a、b 同時(shí)發(fā)生記作 ab，則有 p（ab）= p（a）p（b）推廣：如果事件 a ，a ，a 相互獨(dú)立，那么這 n 個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積。即：pn（a a a ）

2、= p（a ）p（a ）p(a )2n3.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn): 在同樣的條件下，重復(fù)地、各次之間相互獨(dú)立地進(jìn)行的一種試驗(yàn).在這種試驗(yàn)中，每一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，并且任何一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一樣的.4.如果在 1 次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式：p（k）=c p（1p） ,其中，k=0,1,2，,nknknknn次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件發(fā)生的次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是 p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率是p (x = k) = c p q ，（k0,1,2,，n，

3、= - ）q 1 pkkn-knn于是得到隨機(jī)變量的概率分布如下：010n1kn0nnnn由于 c p q 恰好是二項(xiàng)展開式n-kkkn(q + p) = c p q + c p q +l + c p q +l + c p qn00n11n-1kknn0nnnn量 服從二項(xiàng)分布，記作 b(n，p)，其中 n，p為參數(shù)，并記 c p q b(k；n，p)kknxp01p一般地，在含有 m 件次品的 n 件產(chǎn)品中，任取 n 件，其中恰有 x 件次品，則 c ckn-kn -mp(x = k) =,k = 0,1,l m,m = minm ,n, 其中，n n, m n 。mcnn稱分布列x01mp

4、mcmccnnnnnn為超幾何分布列， 稱 x 服從超幾何分布 重 難 點(diǎn) 突 破 1.重點(diǎn)：理解超幾何分布及其導(dǎo)出過程.了解條件概率和兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念，能理解 n 次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布.2.難點(diǎn)：能利用超幾何分布, 二項(xiàng)分布及 n 次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題3.重難點(diǎn)：.“互斥”與“獨(dú)立”混同(1)甲投籃命中率為 o8，乙投籃命中率為 0.7，每人投 3 次，兩人恰好都命中 2 次的概率是多少?問題 1:錯(cuò)解 設(shè)“甲恰好投中兩次”為事件 a，“乙恰好投中兩次”為事件 b，則兩人都恰好投中兩次為事件 a+b，0.2 + c 0.7 0.3 = 0.825p(a+b)=

5、p(a)+p(b)： c 0.8222233點(diǎn)撥: 本題錯(cuò)誤的原因是把相互獨(dú)立同時(shí)發(fā)生的事件當(dāng)成互斥事件來考慮，將兩人都恰好投中 2 次理解為“甲恰好投中兩次”與“乙恰好投中兩次”的和正確解答：設(shè)“甲恰好投中兩次”為事件 a，“乙恰好投中兩次”為事件 b，且 a，b 相互獨(dú)立，則兩人都恰好投中0.2 + c 0.7 0.3 0.169兩次為事件 ab，于是 p(ab)=p(a)p(b)= c 0.8222233（2）“條件概率 p(b / a)”與“積事件的概率 p(ab)”混同問題 2:袋中有 6 個(gè)黃色、4 個(gè)白色的乒乓球，作不放回抽樣，每次任取一球，取 2 次，求第二次才取到黃色球的概率

6、錯(cuò)解 記“第一次取到白球”為事件 a，“第二次取到黃球”為事件 b,”第二次才取到黃球”為事件 c,所以6 2=9 3p(c)=p(b/a)=.本題錯(cuò)誤在于 p(a b)與 p(b/a)的含義沒有弄清, p(a b)表示在樣本空間 s 中,a 與 b 同時(shí)發(fā)生的概率；而 p點(diǎn)撥：（b/a）表示在縮減的樣本空間 s 中，作為條件的 a 已經(jīng)發(fā)生的條件下事件 b 發(fā)生的概率。a4 6 4正確答案：p（c）= p(a b)=p（a）p（b/a）= =10 9 15。 熱 點(diǎn) 考 點(diǎn) 題 型 探 析考點(diǎn)一： 條件概率,相互獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)題型 1. 條件概率一張儲(chǔ)蓄卡的密碼共有 6 位數(shù)，每位數(shù)

7、字都可從 09 中任選，某人在銀行自動(dòng)提款機(jī)上取錢時(shí)，例 1忘記了密碼的最后一位數(shù)字，求：按第一次不對(duì)的情況下，第二次按對(duì)的概率；任意按最后一位數(shù)字，按兩次恰好按對(duì)的概率；若他記得密碼的最后一位是偶數(shù)，不超過 2 次就按對(duì)的概率解題思路：這是一個(gè)一般概率還是條件概率？應(yīng)選擇哪個(gè)概率公式？“按兩次恰好按對(duì)”指的是什么事件？為何要按兩次？隱含什么含義？第一次按與第二次按有什么關(guān)系？應(yīng)選擇哪個(gè)概率公式？ “最后一位是偶數(shù)”的情形有幾種？“不超過 2 次就按對(duì)”包括哪些事件？這些事件相互之間是什么關(guān)系？應(yīng)選擇用哪個(gè)概率公式？【名師指引】條件概率相當(dāng)于隨機(jī)試驗(yàn)及隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間發(fā)生了變化，事件 a 發(fā)

8、生的條件下事件 b 發(fā)生的概率可以看成在樣本空間為事件 a 中事件 b 發(fā)生的概率，從而得出求條件概率的另一種方法縮減樣本空間法將條件概率的計(jì)算公式進(jìn)行變形，可得概率的乘法公式p(ab) = p(a)p(b a)【新題導(dǎo)練】1.設(shè) 100 件產(chǎn)品中有 70 件一等品，25 件二等品，規(guī)定一、二等品為合格品從中任取 1 件，求 (1) 取得一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等品的概率題型 2。相互獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)例2(2010 四川省成都市一診)某公司是否對(duì)某一項(xiàng)目投資，由甲、乙、丙三位決策人投票決定他們?nèi)硕加小巴狻?、“中立”、“反?duì)”三類票各一張投票時(shí)，每人必須且只能

9、投一張票，每人投三類票中的任何一類票的概1率都為 ，他們的投票相互沒有影響規(guī)定：若投票結(jié)果中至少有兩張“同意”票，則決定對(duì)該項(xiàng)目投資；否則，3放棄對(duì)該項(xiàng)目投資（）求此公司一致決定對(duì)該項(xiàng)目投資的概率；（）求此公司決定對(duì)該項(xiàng)目投資的概率；解題思路：注意相互獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)恰有k 次發(fā)生的區(qū)別kk【名師指引】 除注意事件的獨(dú)立性外, 還要注意恰有 次發(fā)生與指定第 次發(fā)生的區(qū)別, 對(duì)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)來說,前者的概率為c p (1- p) ,后者的概率為p (1- p)kkn-kk-n kn【新題導(dǎo)練】（湖南卷 16）.（本小題滿分 12 分）1.甲、乙、丙三人參加了一家公司的招聘面試，面試合格者可正

10、式簽約，甲表示只要面試1合格就簽約.乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約.設(shè)每人面試合格的概率都是 ，且面2試是否合格互不影響.求：至少有 1 人面試合格的概率;2（山東卷 18）甲乙兩隊(duì)參加奧運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽，每隊(duì) 3 人，每人回答一個(gè)問題，答對(duì)者為本隊(duì)贏得一分，22 2 1答錯(cuò)得零分。假設(shè)甲隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為 ，乙隊(duì)中 3 人答對(duì)的概率分別為 , , 且各人正確與否相互33 3 2之間沒有影響.用表示甲隊(duì)的總得分.（）求隨機(jī)變量分布列；()用a表示“甲、乙兩個(gè)隊(duì)總得分之和等于 3”這一事件，用b表示“甲隊(duì)總得分大于乙隊(duì)總得分”這一事件，求p(ab).考點(diǎn)二: 兩點(diǎn)分布與超

11、幾何分布題型 1: 兩點(diǎn)分布與超幾何分布的應(yīng)用高二（十）班共50 名同學(xué)，其中 35 名男生，15 名女生，隨機(jī)從中取出 5 名同學(xué)參加學(xué)生代表大會(huì)，所取例 3出的 5 名學(xué)生代表中，女生人數(shù) x 的頻率分布如何？解題思路：5 名學(xué)生代表中，女生人數(shù)有 6 種情況. p若隨機(jī)事件 a 在 1 次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是 ，用隨機(jī)變量x 表示 a 在 1 次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)（。1）求方差 x例 4dx2d -1的最大值；（2）求的最大值。ex解題思路：xx（1）由兩點(diǎn)分布，分布列易寫出，而要求方差d 的最大值需求得d 的表達(dá)式，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題；x2d -1 2(p - p2) -11= 2

12、- 2p -（2）得到后自然會(huì)聯(lián)想均值不等式求最值。expp【名師指引】在超幾何分布中,只要知道 n,m 和 n,就可以根據(jù)公式求出 x 取不同 m 值時(shí)的概率 p(x=m).【新題導(dǎo)練】1在一個(gè)口袋中裝有 30 個(gè)球，其中有 10 個(gè)紅球，其余為白球，這些球除顏色外完全相同.游戲者一次從中摸出 5個(gè)球.摸到 4 個(gè)紅球就中一等獎(jiǎng)，那么獲一等獎(jiǎng)的概率是多少？2假定一批產(chǎn)品共 100 件，其中有 4 件不合格品，隨機(jī)取出的 6 件產(chǎn)品中，不合格品數(shù) x 的概率分布如何？考點(diǎn)三: 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布題型 1: 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布的應(yīng)用一口袋內(nèi)裝有 5 個(gè)黃球，3 個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，

13、每次取出一個(gè)，取出后記下球的顏色，然后放回，例 6直到紅球出現(xiàn) 10 次時(shí)停止，停止時(shí)取球的次數(shù)x 是一個(gè)隨機(jī)變量，則p(x= 12) =_。（填計(jì)算式）解題思路 ：這是一個(gè)“ 12 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)恰有 10 次發(fā)生”的概率問題，同學(xué)們很容易由二項(xiàng)分布原理得到3 5108 8p(x = 12) = c ( ) ( ) ，這就忽視了隱含條件“第 12 次抽取的是紅球”，此種解法的結(jié)果包含著第 12 次抽取10122到黃球。某人對(duì)一目標(biāo)進(jìn)行射擊，每次命中率都是 0.25，若使至少命中 1 次的概率不小于 0.75，至少應(yīng)射擊幾次？“至多”，“至少”問題往往考慮逆向思維法例 7解題思路：【名師指引】

14、要熟練掌握二項(xiàng)分布的特征，更要注意挖掘題目信息中的隱含信息?！拘骂}導(dǎo)練】1. 廣東深圳外國語學(xué)校 20092010 學(xué)年高三月考理2某科研小組進(jìn)行某項(xiàng)科學(xué)實(shí)驗(yàn)的成功率為 。那么連續(xù)對(duì)該項(xiàng)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行 4 次試驗(yàn)恰有 3 次成功的概率是_。32.廣州市海珠區(qū) 2009 屆高三上學(xué)期綜合測(cè)試二(數(shù)學(xué)理)某商場(chǎng)準(zhǔn)備在國慶節(jié)期間舉行促銷活動(dòng),根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,該商場(chǎng)決定從 2 種服裝商品,2 種家電商品,3 種日用商品中,選出 3 種商品進(jìn)行促銷活動(dòng).()試求選出的 3 種商品中至少有一種是日用商品的概率;()商場(chǎng)對(duì)選出的某商品采用的促銷方案是有獎(jiǎng)銷售,即在該商品現(xiàn)價(jià)的基礎(chǔ)上將價(jià)格提高 150 元,同時(shí),若顧

15、客購買該商品,則允許有 3 次抽獎(jiǎng)的機(jī)會(huì),若中獎(jiǎng),則每次中獎(jiǎng)都獲得數(shù)額為m 的獎(jiǎng)金.假設(shè)顧客每次抽獎(jiǎng)時(shí)獲獎(jiǎng)與否的1概率都是 ,請(qǐng)問:商場(chǎng)應(yīng)將每次中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金數(shù)額m 最高定為多少元,才能使促銷方案對(duì)商場(chǎng)有利?2 搶 分 頻 道 基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1. (江蘇省啟東中學(xué)高三綜合測(cè)試)口袋里放有大小相等的兩個(gè)紅球和一個(gè)白球，有放回地每次摸取一個(gè)球，數(shù)列- 第 次摸到紅球， 1, n =3 的 概率為a 滿 足： a 如 果 s 為數(shù) 列 a 的前 n 項(xiàng)和 ，那么 sn1，第n次摸到白球，nn n7( )1 2 2 1 1 1 2 2 25252525ac bc cc dc 5255 3 3 3 3 3 3

16、3 3 7777 12. (廣東省韶關(guān)市 2010 屆高三第一次調(diào)研考試)一臺(tái)機(jī)床有 的時(shí)間加工零件 a, 其余時(shí)間加工零件 b, 加工a 時(shí),332停機(jī)的概率是 ,加工 b 時(shí),停機(jī)的概率是 , 則這臺(tái)機(jī)床停機(jī)的概率為( )1051130771a.b.c.d.301010803(江蘇省啟東中學(xué) 2010 年高三綜合測(cè)試)一射手對(duì)同一目標(biāo)獨(dú)立地射擊四次，已知至少命中一次的概率為 ，81則此射手每次射擊命中的概率為（）13231425a.b.c.d.44（2010 福建卷 5)某一批花生種子，如果每 1 粒發(fā)牙的概率為 ,那么播下 4 粒種子恰有 2 粒發(fā)芽的概率是()5169619262525

17、6625a.b.c.d.6256255甲、乙兩隊(duì)參加乒乓球團(tuán)體比賽，甲隊(duì)與乙隊(duì)實(shí)力之比為3: 2，比賽時(shí)均能正常發(fā)揮技術(shù)水平，則在 5 局 3勝制中，甲打完 4 局才勝的概率為（ ）3 23 2c ( ) ( )3 235 52 133 35 5c(a) c ( )32(b)(c) ( ) ( )(d) c ( ) ( )225 3343433806一射手對(duì)同一目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行 4 次射擊，已知至少命中一次的概率為，則此射手的命中率為81綜合拔高訓(xùn)練7廣東深圳外國語學(xué)校 20092010 學(xué)年高三月考理科數(shù)學(xué)試題一袋中裝有個(gè)白球，個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次取出一個(gè)，取出后記下球的顏色，然后放回，直到紅球= 5) =出現(xiàn)次停止，設(shè)停止時(shí),取球次數(shù)為隨機(jī)變量x ,則p(x_8甲、乙二射擊運(yùn)動(dòng)員分別對(duì)一目標(biāo)射擊1次，甲射中的概率為0.8，乙射中的概率為0.9，求：（1）2 人都射中目標(biāo)的概率；（2）2 人中恰有1人射中目標(biāo)的概率；（3）2 人至少有1人射中目標(biāo)的概率；（4）2 人至多有1人射中目標(biāo)的概率？9廣東省佛山市三水中學(xué) 2010 屆高三統(tǒng)考 (數(shù)學(xué)理)某研究機(jī)構(gòu)準(zhǔn)備舉辦一次數(shù)學(xué)新課程研討會(huì)，共邀請(qǐng) 50 名一線教師參加，使用不同版本教材的教師人數(shù)如下表所示版本