兩條相交直線的夾角

1、For pers onal use only in study and research;not for commercial use課題：兩條相交直線的夾角（教案）【教學(xué)目標(biāo)】：1、 理解兩條直線相交時，直線夾角與直線方向向量夾角的關(guān)系；掌握根據(jù)已知條件求出兩條相 交直線的夾角；2、理解兩條直線垂直的充要條件 .3、 體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)思維能力.【教學(xué)重點】：兩條相交直線的夾角【教學(xué)難點】：夾角公式的應(yīng)用【教學(xué)過程】：一、課題引入：平面上兩條直線有幾種位置關(guān)系？相交、平行、重合.（垂直是相交的一種特殊情形）下面我們對兩條直線的位置關(guān)系作進(jìn)一步研究.（引出課題：兩條直線的夾角）二、新

2、課講授：1. 兩條直線的夾角：平面上兩條相交直線，它們構(gòu)成四個角，是兩對對頂角.如果一對是銳角，另一對是鈍角，那么我們規(guī)定銳角作為它們的夾角.如果四個角都是直角， 那么規(guī)定兩直線夾角是直角，此時也稱兩條直線相互垂直.平面上兩條直線相交時構(gòu)成兩組對頂角.我們規(guī)定兩條相交直線所成的銳角或直角為兩條相交直線的夾角.規(guī)定：如果兩條直線平行或重合，它們的夾角為0.所以，兩條相交直線的夾角 0乞“：一22. 夾角公式：h : dx+Qy =0如果已知兩條直線的方程分別為：11（其中a1,b1不同時為零，a2,b2l2: a2x b2y c2 = 0不同時為零）.系數(shù)確定，方程確定，直線確定，它們的夾角也就

3、確定，那么如何根據(jù)方程來求h與l2的夾角？T T T T設(shè)hl的方向向量分別為d1,d2，向量d1,d2的夾角為 廠直線hh的夾角為.將直T T線hi的方向向量4,4平移至同一起點，構(gòu)成四種情形，如圖.JI當(dāng)o時，- v ；當(dāng)時，-二-v .于2 2曰COS：二疋，根據(jù)直線方程，可設(shè)它們的方向向量分別為:4Ha - -d ,d2 - -b2，a2 由夾角的d1d計算公式得：COST =単兔=d1 d2aia2 bib2b2 . a； b；于是，兩條直線的夾角公式為：cos:a1a2 bb2a： b2 af bfaab, b2分別是直線一般式方程中x, y前面的系數(shù)，已知這四個數(shù)就可以應(yīng)用夾角公

4、式求兩直線夾角的余弦.因為余弦函數(shù)在0,丄 上單調(diào)遞減，所以此時角:是唯一確定1 2的.例1、已知兩條直線的方程分別是：l1 :x 2y 0, l2：x-3y，2=0，求兩條直線的夾角：.解：由題意：cos11 2 一3一 2,23TJ：=4，即兩直線的夾角為；練習(xí)：求下列各組直線的夾角.71(1) h : y = 3x1,12 ：3 y x4 = 0(2) h : x 2 = 0,12 ： -3x y 3 = 0 1 2 6(3) h : y -x 1 =0,12: y =44例2、已知直線h : 3x y =0與直線kx - y 7=0,若直線l1和直線l2的夾角為60，求k的值.解：由

5、J 3k 11 =!得 k *3或0.2 弔 2cos= 0得兩直線的夾角為，稱兩條直線相互垂直，是兩直線相交的一種特殊情形,2回顧夾角公式的推導(dǎo)過程你能否找到一個關(guān)于兩直線垂直（板書）的命題？當(dāng)aia2 b|b2 =0時，cos=0 ： =，此時，兩直線相互垂直；反之，當(dāng)兩直線2垂直時，它們的方向向量a =：-,d2 m.b2,a2也相互垂直，所以ttd1 d2 = bb2 qa2 = 0 .兩條直線垂直的 充要條件 是：ap? b|b = 0 ；當(dāng)k|, k2都存在時，兩條直線垂直的充要條件是：ki= -1 ；所以兩條直線垂直的充要條件也可為：k k2 =-1或一條斜率不存在另一條的斜率為

6、零.例3、已知直線丨經(jīng)過點P _2. 3 ,且與直線I。： x - ,3y 2=0的夾角為一，求直線丨的3方程.4解1：設(shè)直線I的一個法向量為n二a,b，則直線I的點法向式方程為：a x 2 b y- 一3 = 0整理得：ax by da-、. 3b =0 ,由公式得:a_妙,r3,ab2r 一岳=代丄辰b當(dāng)b =0時，直線方程為：x 2 = 0 ；當(dāng)b=0時，b = . 3a，直線方程為：x. 3y-1=0 ；所以，直線I的方程為：x .3y -1 =0或x 2 = 0 .注意：此處設(shè)直線的點法向式方程，而不是點方向式方程或點斜式方程是因為只有點法向式 方程可以表示所有直線.解2：若直線I的

7、斜率存在，設(shè)直線I的方程為：y -3二k(x 2).則由題意：3，解得k3.k2 1 ,1 323直線方程為：x . 3y T = 0 n若直線I的斜率不存在，即方程為 x = -2 ;則直線I與直線I0的夾角為一，滿足題意.3所以，直線I的方程為：x 、3y -1 =0或x 2 = 0 .解3：設(shè)直線I的一般式方程為：ax by c =0 ( a,b不同時為零)a ( -2 )+ b 唐 + c = 0則由題意：IaJ3b1，后解同解1.+3ja +b2三、小結(jié):1.兩條直線的夾角定義，0,IL 2缶缶八十a(chǎn)a+b2.設(shè)直線方程時要依題而設(shè)，好中選優(yōu)；利用畫圖、數(shù)形結(jié)合的方法.課題：兩條相交

8、直線的夾角（學(xué)案）【教學(xué)目標(biāo)】：1、 理解兩條直線相交時，直線夾角與直線方向向量夾角的關(guān)系；掌握根據(jù)已知條件求出兩條相 交直線的夾角；2、理解兩條直線垂直的充要條件 .3、 體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)思維能力.【教學(xué)重點】：兩條相交直線的夾角【教學(xué)難點】：夾角公式的應(yīng)用【教學(xué)過程】：1. 兩條直線的夾角：平面上兩條直線相交時構(gòu)成兩組對頂角我們規(guī)定 為兩條相交直線的夾角規(guī)定：如果兩條直線平行或重合，它們的夾角為 兩條相交直線的夾角 口己.2. 夾角公式：h : ax fy= ,如果已知兩條直線的方程分別為：（其中a1,b1不同時為零，a2, b212: a2x +b2y + c2 = 不同時為

9、零）.如何根據(jù)方程來求l1與l2的夾角？兩條相交直線的夾角公式為 :.例1、已知兩條直線的方程分別是：l1 :x 2y 0, l2 ：x-3y 2 = 0，求兩條直線的練習(xí)：求下列各組直線的夾角(1) h : y = 3x-1,12 ：3 y x-4 = 0(2) l1 ： x 2 = 0,l2 :、,3x y 3 = 0(3) h : y -x 1 =0,12: y = 4例2、已知直線h ：、3x y二0與直線kx - y 1 = 0 ,若直線l1和直線l2的夾角為60，求k的值.兩條直線垂直的充要條件是： ；兩條直線垂直的充要條件也可為： 例3、已知直線I經(jīng)過點P -2廠.3，且與直線I

10、。： x - ,3y 2=0的夾角為，求直線l的3方程.【課堂小結(jié)】 兩條直線的夾角: 【課后作業(yè)】兩條相交直線的夾角課后作業(yè)1求下列兩組直線的夾角：(1) h : 3x-y =0, l2 :x-：3y 2 = 0；it6(2) h : x -1 =0, I2 : x y -5 = 0 ；it4(3) h：3x-4y-12二 0 與 l2:x=3.3arccos52. 已知直線h : ax y -1二02 : x - ay 2 = 0，其中a R且a = 0，求直線l1與l2的夾角.Q=-23. (1)已知直線 J3x y =0與直線kx - y 1 =0的夾角為60，求實數(shù)k的值.k - 0

11、 或 k =3(2)經(jīng)過點(3, 5),且與直線3x2y+7 = 0之間成45 角的直線方程 5x y -20 =0或 x -5y 22 = 0的值.0或15 已知等腰三角形ABC的斜邊 AB所在直線的方程為3x- y - 5 = 0，直角頂點為C 4,-1，求兩條直角邊所在直線的方程.2x y -7 = 0,x -2y -6 = 06.已知 ABC 的三個頂點為 A(2,1), B(6,1), C(5,5)(1)求. ABC中.A的大小;(2)求.A的平分線所在直線的方程(1) A =arccos5(2) x -2y =0.兩條相交直線的夾角課后作業(yè) 1求下列兩組直線的夾角：(1) h :

12、3x-y =0, l2 :x-：3y 2 = 0；(2) li: x -1 =0, I2 : x y -5 = 0 ；(3) |_!：3x-4y-12二 0 與 l2:x=3.2.已知直線l1 : ax y -1 = 0,12 ： x - ay 2 = 0，其中a R且a = 0，求直線l1與l2的夾角.3. (1)已知直線 J3x y =0與直線kx - y 1 = 0的夾角為60，求實數(shù)k的值.(2)經(jīng)過點(3, 5),且與直線3x -2y 7=0之間成45角的直線方程的值.5 已知等腰三角形ABC的斜邊 AB所在直線的方程為3x- y - 5 = 0，直角頂點為C 4,-1，求兩條直角邊

13、所在直線的方程.6.已知=ABC 的三個頂點為 A(2,1), B(6,1), C(5,5)(1)求 ABC中.A的大小;(2)求.A的平分線所在直線的方程僅供個人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerzielieiwecken verwendet werden.Pour l e tude et la recherche uniquementa

14、 des fins personnelles; pasa des fins commerciales.to員bko gA.nrogeHKO TOpMenob3ymrnflCH6yHeHuac egoB u HHuefigoHMucno 員 B30BaTbCEb KOMMepqeckuxqe 員 ex.僅供個人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziel