容斥原理習題加答案

1、1. 現(xiàn)有 50名學生都做物理、 化學實驗，如果物理實驗做正確的有 40人，化學 實驗做正確的有 31人，兩種實驗都錯的有 4 人，則兩種實驗都做對的有 ( )A、27人B、25人C、19人D、10人【答案】B【解析】直接代入公式為： 50=31+40+4 AB得 A B=25，所以答案為 B。2. 某服裝廠生產出來的一批襯衫大號和小號各占一半。 其中 25是白色的， 75是藍色的。如果這批襯衫共有 100 件，其中大號白色襯衫有 10 件，小號藍 色襯衫有多少件？( )A、15B、25C、35D、40【答案】C【解析】這是一種新題型，該種題型直接從求解出發(fā)，將所求答案設為AB，本題設小號和藍

2、色分別為兩個事件 A 和 B，小號占 50%，藍色占 75%，直接代 入公式為： 100=50+75+10AB，得： AB=35。3. 某高校對一些學生進行問卷調查。 在接受調查的學生中， 準備參加注冊會計 師考試的有 63 人，準備參加英語六級考試的有 89 人，準備參加計算機考試的有 47人，三種考試都準備參加的有 24 人，準備只選擇兩種考試都參加的有 46 人，不參加其中任何一種考試的都 15 人。問接受調查的學生共有多少人？(A120B144C177D192【答案】A【解析】本題畫圖按中路突破原則，先填充三集合公共部分數(shù)字24，再推其他部分數(shù)字：根據(jù)每個區(qū)域含義應用公式得到：總數(shù)=各

3、集合數(shù)之和兩兩集合數(shù)之和三集合公共數(shù)三集合之外數(shù)63+89+47(x+24)+(z+24)+(y+24)+24+15199(x+z+y)+24+24+24+24+15根據(jù)上述含義分析得到： x+z+y 只屬于兩集合數(shù)之和，也就是該題所講的只 選擇兩種考試都參加的人數(shù)，所以 x+z+y 的值為 46 人；得本題答案為 120.4. 對某單位的 100 名員工進行調查，結果發(fā)現(xiàn)他們喜歡看球賽和電影、戲劇。 其中 58 人喜歡看球賽， 38 人喜歡看戲劇， 52 人喜歡看電影， 既喜歡看球賽又喜 歡看戲劇的有 18 人，既喜歡看電影又喜歡看戲劇的有 16 人，三種都喜歡看的有 12 人，則只喜歡看電

4、影的有多少人()A.22 人 B.28 人 C.30 人 D.36 人【答案】A【解析】本題畫圖按中路突破原則，先填充三集合公共部分數(shù)字12，再推其他部分數(shù)字：根據(jù)各區(qū)域含義及應用公式得到：總數(shù)=各集合數(shù)之和兩兩集合數(shù)之和三集合公共數(shù)三集合之外數(shù) 10058+38+52 18+16+(12+ x)+12+0, 因為該題中，沒有三種都不喜 歡的人，所以三集合之外數(shù)為 0，解方程得到：x14。52 x+12+4+Y14+12+4+Y， 得到 Y22 人。5. 某班統(tǒng)計考試成績，數(shù)學得 90分上的有 25 人;語文得 90分以上的有 21 人;兩科中 至少有一科在 90 分以上的有 38 人。問兩科

5、都在 90 分以上的有多少人 ?解：設 A= 數(shù)學成績 90 分以上的學生 B= 語文成績 90 分以上的學生 那么，集合 AB 表示兩科中至少有一科在 90分以上的學生，由題意知，A=25，B=21， AB=38現(xiàn)要求兩科均在 90 分以上的學生人數(shù)，即求 AB，由容斥原理得AB=A +B-AB=25+21-38=8點評：解決本題首先要根據(jù)題意，設出集合A，B，并且會表示 A B，AB，再利用容斥原理求解。6. 某班同學中有 39 人打籃球， 37 人跑步， 25 人既打籃球又跑步，問全班參加籃球、 跑步這兩項體育活動的總人數(shù)是多少 ?解：設 A= 打籃球的同學 ;B= 跑步的同學 則 A

6、B= 既打籃球又跑步的同學 A B= 參加打籃球或跑步的同學 應用容斥原理 AB=A+B-AB=39+37-25=51（ 人）7. 某年級的課外學科小組分為數(shù)學、語文、外語三個小組，參加數(shù)學小組的有23 人，參加語文小組的有 27人，參加外語小組的有 18人;同時參加數(shù)學、 語文兩個小組的有 4 人， 同時參加數(shù)學、外語小組的有 7人，同時參加語文、外語小組的有5 人;三個小組都參加的有 2 人。問：這個年級參加課外學科小組共有多少人 ?解1：設A= 數(shù)學小組的同學 ，B=語文小組的同學 ，C=外語小組的同學 ，AB= 數(shù) 學、語文小組的同學 ，AC= 參加數(shù)學、外語小組的同學 ， BC=參加

7、語文、外語小組 的同學 ， ABC= 三個小組都參加的同學 由題意知： A=23， B=27， C=18AB=4，AC=7，BC=5， ABC=2根據(jù)容斥原理二得：ABC=A+B+C-AB-AC|- BC|+|ABC=23+27+18-（4+5+7）+2=54（人）山東公務員行測：數(shù)量關系之容斥問題解題原理及方法解 2 ： 利用圖示法逐個填寫各區(qū)域所表示的集合的元素的個數(shù)，然后求出最后結果。設 A、B、C 分別表示參加數(shù)學、語文、外語小組的同學的集合，其圖分割成七個互不 相交的區(qū)域，區(qū)域 （即 ABC） 表示三個小組都參加的同學的集合，由題意，應填2。區(qū)域表示僅參加數(shù)學與語文小組的同學的集合，

8、其人數(shù)為4-2=2（ 人 ）。區(qū)域表示僅參加數(shù)學與外語小組的同學的集合，其人數(shù)為7-2=5（人 ）。區(qū)域表示僅參加語文、外語小組的同學的集合，其人數(shù)為 5-2=3（ 人）。區(qū)域表示只參加數(shù)學小組的同學的集合，其人數(shù)為 23-2-2-5=14（人）。同理可把區(qū)域、所表示的集合的人數(shù)逐個算出，分別填入相應的區(qū)域 內，則參加課外小組的人數(shù)為 ;14+20+8+2+5+3+2=54（ 人 ）點評：解法 2簡單直觀， 不易出錯。 由于各個區(qū)域所表示的集合的元素個數(shù)都計算出來 了，因此提供了較多的信息，易于回答各種方式的提問。8. 某車間有工人 100人，其中有 5個人只能干電工工作，有 77 人能干車工

9、工作， 86 人 能干焊工工作，既能干車工工作又能干焊工工作的有多少人 ?解：工人總數(shù) 100，只能干電工工作的人數(shù)是 5 人，除去只能干電工工作的人，這個車 間還有 95 人。 利用容斥原理， 先多加既能干車工工作又能干焊工工作的這一部分， 其總數(shù) 為 163 ，然后找出這一公共部分，即 163-95=689. 某次語文競賽共有五道題 (滿分不是 100 分 )，丁一只做對了 (1)、 (2)、 (3)三題得了 16 分;于山只做對了 (2)、(3)、(4)三題，得了 25分;王水只做對了 (3)、(4)、(5)三題，得了 28 分， 張燦只做對了 (1)、(2)、(5)三題，得了 21 分

10、，李明五個題都對了他得了多少分 ?解：由題意得： 前五名同學合在一起，將五個試題每個題目做對了三遍，他們的總分恰 好是試題總分的三倍。五人得分總和是 16+25+30+28+21=120 。因此，五道題滿分總和是 1203=40。所以李明得 40 分。10. 某大學有外語教師 120 名，其中教英語的有 50 名，教日語的有 45 名，教法語的有40 名，有 15 名既教英語又教日語，有 10 名既教英語又教法語，有 8 名既教日語又教法語， 有 4 名教英語、日語和法語三門課，則不教三門課的外語教師有多少名 ?解：本題只有求出至少教英、日、法三門課中一種的教師人數(shù)，才能求出不教這三門課 的外語教師的人數(shù)。 至少教英、 日、法三門課中一種教師人數(shù)可根據(jù)容斥原理求出。根據(jù)容 斥原理 ,至少教英、 日、法三門課中一種的教師人數(shù)為 50+45+40-15-10-8+4=106( 人 )不教這三 門課的外語教師的人數(shù)為 120-106=14( 人)4.某個班的全體學生進行短跑、游泳、籃球三個項目的測試有4名學生在這三個項目上都沒有達 到優(yōu)秀其余每人至少有一個項目達到了優(yōu)秀.這部分學生達到優(yōu)秀的項目、人數(shù)如下表:游泳球矩砲、紳泳烘1718