容斥原理習(xí)題加答案

1、1. 現(xiàn)有 50名學(xué)生都做物理、 化學(xué)實(shí)驗(yàn)，如果物理實(shí)驗(yàn)做正確的有 40人，化學(xué) 實(shí)驗(yàn)做正確的有 31人，兩種實(shí)驗(yàn)都錯(cuò)的有 4 人，則兩種實(shí)驗(yàn)都做對(duì)的有 ( )A、27人B、25人C、19人D、10人【答案】B【解析】直接代入公式為： 50=31+40+4 AB得 A B=25，所以答案為 B。2. 某服裝廠生產(chǎn)出來(lái)的一批襯衫大號(hào)和小號(hào)各占一半。 其中 25是白色的， 75是藍(lán)色的。如果這批襯衫共有 100 件，其中大號(hào)白色襯衫有 10 件，小號(hào)藍(lán) 色襯衫有多少件？( )A、15B、25C、35D、40【答案】C【解析】這是一種新題型，該種題型直接從求解出發(fā)，將所求答案設(shè)為AB，本題設(shè)小號(hào)和藍(lán)

2、色分別為兩個(gè)事件 A 和 B，小號(hào)占 50%，藍(lán)色占 75%，直接代 入公式為： 100=50+75+10AB，得： AB=35。3. 某高校對(duì)一些學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查。 在接受調(diào)查的學(xué)生中， 準(zhǔn)備參加注冊(cè)會(huì)計(jì) 師考試的有 63 人，準(zhǔn)備參加英語(yǔ)六級(jí)考試的有 89 人，準(zhǔn)備參加計(jì)算機(jī)考試的有 47人，三種考試都準(zhǔn)備參加的有 24 人，準(zhǔn)備只選擇兩種考試都參加的有 46 人，不參加其中任何一種考試的都 15 人。問(wèn)接受調(diào)查的學(xué)生共有多少人？(A120B144C177D192【答案】A【解析】本題畫(huà)圖按中路突破原則，先填充三集合公共部分?jǐn)?shù)字24，再推其他部分?jǐn)?shù)字：根據(jù)每個(gè)區(qū)域含義應(yīng)用公式得到：總數(shù)=各

3、集合數(shù)之和兩兩集合數(shù)之和三集合公共數(shù)三集合之外數(shù)63+89+47(x+24)+(z+24)+(y+24)+24+15199(x+z+y)+24+24+24+24+15根據(jù)上述含義分析得到： x+z+y 只屬于兩集合數(shù)之和，也就是該題所講的只 選擇兩種考試都參加的人數(shù)，所以 x+z+y 的值為 46 人；得本題答案為 120.4. 對(duì)某單位的 100 名員工進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)他們喜歡看球賽和電影、戲劇。 其中 58 人喜歡看球賽， 38 人喜歡看戲劇， 52 人喜歡看電影， 既喜歡看球賽又喜 歡看戲劇的有 18 人，既喜歡看電影又喜歡看戲劇的有 16 人，三種都喜歡看的有 12 人，則只喜歡看電

4、影的有多少人()A.22 人 B.28 人 C.30 人 D.36 人【答案】A【解析】本題畫(huà)圖按中路突破原則，先填充三集合公共部分?jǐn)?shù)字12，再推其他部分?jǐn)?shù)字：根據(jù)各區(qū)域含義及應(yīng)用公式得到：總數(shù)=各集合數(shù)之和兩兩集合數(shù)之和三集合公共數(shù)三集合之外數(shù) 10058+38+52 18+16+(12+ x)+12+0, 因?yàn)樵擃}中，沒(méi)有三種都不喜 歡的人，所以三集合之外數(shù)為 0，解方程得到：x14。52 x+12+4+Y14+12+4+Y， 得到 Y22 人。5. 某班統(tǒng)計(jì)考試成績(jī)，數(shù)學(xué)得 90分上的有 25 人;語(yǔ)文得 90分以上的有 21 人;兩科中 至少有一科在 90 分以上的有 38 人。問(wèn)兩科

5、都在 90 分以上的有多少人 ?解：設(shè) A= 數(shù)學(xué)成績(jī) 90 分以上的學(xué)生 B= 語(yǔ)文成績(jī) 90 分以上的學(xué)生 那么，集合 AB 表示兩科中至少有一科在 90分以上的學(xué)生，由題意知，A=25，B=21， AB=38現(xiàn)要求兩科均在 90 分以上的學(xué)生人數(shù)，即求 AB，由容斥原理得AB=A +B-AB=25+21-38=8點(diǎn)評(píng)：解決本題首先要根據(jù)題意，設(shè)出集合A，B，并且會(huì)表示 A B，AB，再利用容斥原理求解。6. 某班同學(xué)中有 39 人打籃球， 37 人跑步， 25 人既打籃球又跑步，問(wèn)全班參加籃球、 跑步這兩項(xiàng)體育活動(dòng)的總?cè)藬?shù)是多少 ?解：設(shè) A= 打籃球的同學(xué) ;B= 跑步的同學(xué) 則 A

6、B= 既打籃球又跑步的同學(xué) A B= 參加打籃球或跑步的同學(xué) 應(yīng)用容斥原理 AB=A+B-AB=39+37-25=51（ 人）7. 某年級(jí)的課外學(xué)科小組分為數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、外語(yǔ)三個(gè)小組，參加數(shù)學(xué)小組的有23 人，參加語(yǔ)文小組的有 27人，參加外語(yǔ)小組的有 18人;同時(shí)參加數(shù)學(xué)、 語(yǔ)文兩個(gè)小組的有 4 人， 同時(shí)參加數(shù)學(xué)、外語(yǔ)小組的有 7人，同時(shí)參加語(yǔ)文、外語(yǔ)小組的有5 人;三個(gè)小組都參加的有 2 人。問(wèn)：這個(gè)年級(jí)參加課外學(xué)科小組共有多少人 ?解1：設(shè)A= 數(shù)學(xué)小組的同學(xué) ，B=語(yǔ)文小組的同學(xué) ，C=外語(yǔ)小組的同學(xué) ，AB= 數(shù) 學(xué)、語(yǔ)文小組的同學(xué) ，AC= 參加數(shù)學(xué)、外語(yǔ)小組的同學(xué) ， BC=參加

7、語(yǔ)文、外語(yǔ)小組 的同學(xué) ， ABC= 三個(gè)小組都參加的同學(xué) 由題意知： A=23， B=27， C=18AB=4，AC=7，BC=5， ABC=2根據(jù)容斥原理二得：ABC=A+B+C-AB-AC|- BC|+|ABC=23+27+18-（4+5+7）+2=54（人）山東公務(wù)員行測(cè)：數(shù)量關(guān)系之容斥問(wèn)題解題原理及方法解 2 ： 利用圖示法逐個(gè)填寫(xiě)各區(qū)域所表示的集合的元素的個(gè)數(shù)，然后求出最后結(jié)果。設(shè) A、B、C 分別表示參加數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、外語(yǔ)小組的同學(xué)的集合，其圖分割成七個(gè)互不 相交的區(qū)域，區(qū)域 （即 ABC） 表示三個(gè)小組都參加的同學(xué)的集合，由題意，應(yīng)填2。區(qū)域表示僅參加數(shù)學(xué)與語(yǔ)文小組的同學(xué)的集合，

8、其人數(shù)為4-2=2（ 人 ）。區(qū)域表示僅參加數(shù)學(xué)與外語(yǔ)小組的同學(xué)的集合，其人數(shù)為7-2=5（人 ）。區(qū)域表示僅參加語(yǔ)文、外語(yǔ)小組的同學(xué)的集合，其人數(shù)為 5-2=3（ 人）。區(qū)域表示只參加數(shù)學(xué)小組的同學(xué)的集合，其人數(shù)為 23-2-2-5=14（人）。同理可把區(qū)域、所表示的集合的人數(shù)逐個(gè)算出，分別填入相應(yīng)的區(qū)域 內(nèi)，則參加課外小組的人數(shù)為 ;14+20+8+2+5+3+2=54（ 人 ）點(diǎn)評(píng)：解法 2簡(jiǎn)單直觀， 不易出錯(cuò)。 由于各個(gè)區(qū)域所表示的集合的元素個(gè)數(shù)都計(jì)算出來(lái) 了，因此提供了較多的信息，易于回答各種方式的提問(wèn)。8. 某車(chē)間有工人 100人，其中有 5個(gè)人只能干電工工作，有 77 人能干車(chē)工

9、工作， 86 人 能干焊工工作，既能干車(chē)工工作又能干焊工工作的有多少人 ?解：工人總數(shù) 100，只能干電工工作的人數(shù)是 5 人，除去只能干電工工作的人，這個(gè)車(chē) 間還有 95 人。 利用容斥原理， 先多加既能干車(chē)工工作又能干焊工工作的這一部分， 其總數(shù) 為 163 ，然后找出這一公共部分，即 163-95=689. 某次語(yǔ)文競(jìng)賽共有五道題 (滿分不是 100 分 )，丁一只做對(duì)了 (1)、 (2)、 (3)三題得了 16 分;于山只做對(duì)了 (2)、(3)、(4)三題，得了 25分;王水只做對(duì)了 (3)、(4)、(5)三題，得了 28 分， 張燦只做對(duì)了 (1)、(2)、(5)三題，得了 21 分

10、，李明五個(gè)題都對(duì)了他得了多少分 ?解：由題意得： 前五名同學(xué)合在一起，將五個(gè)試題每個(gè)題目做對(duì)了三遍，他們的總分恰 好是試題總分的三倍。五人得分總和是 16+25+30+28+21=120 。因此，五道題滿分總和是 1203=40。所以李明得 40 分。10. 某大學(xué)有外語(yǔ)教師 120 名，其中教英語(yǔ)的有 50 名，教日語(yǔ)的有 45 名，教法語(yǔ)的有40 名，有 15 名既教英語(yǔ)又教日語(yǔ)，有 10 名既教英語(yǔ)又教法語(yǔ)，有 8 名既教日語(yǔ)又教法語(yǔ)， 有 4 名教英語(yǔ)、日語(yǔ)和法語(yǔ)三門(mén)課，則不教三門(mén)課的外語(yǔ)教師有多少名 ?解：本題只有求出至少教英、日、法三門(mén)課中一種的教師人數(shù)，才能求出不教這三門(mén)課 的外語(yǔ)教師的人數(shù)。 至少教英、 日、法三門(mén)課中一種教師人數(shù)可根據(jù)容斥原理求出。根據(jù)容 斥原理 ,至少教英、 日、法三門(mén)課中一種的教師人數(shù)為 50+45+40-15-10-8+4=106( 人 )不教這三 門(mén)課的外語(yǔ)教師的人數(shù)為 120-106=14( 人)4.某個(gè)班的全體學(xué)生進(jìn)行短跑、游泳、籃球三個(gè)項(xiàng)目的測(cè)試有4名學(xué)生在這三個(gè)項(xiàng)目上都沒(méi)有達(dá) 到優(yōu)秀其余每人至少有一個(gè)項(xiàng)目達(dá)到了優(yōu)秀.這部分學(xué)生達(dá)到優(yōu)秀的項(xiàng)目、人數(shù)如下表:游泳球矩砲、紳泳烘1718