應(yīng)變分析匯總

1、第三章 應(yīng)變分析在第二章我們研究了應(yīng)力張量本身和體力、面力之間的關(guān)系式，即平衡 規(guī)律。本章將討論變形體研究的另一個基本關(guān)系：變形與位移之間的關(guān)系。 當(dāng)然要以小變形假設(shè)為基礎(chǔ)，位移和形變相對于變形體幾何尺寸是微小的。第 1 節(jié) 位移和（工程）應(yīng)變1.1位移變形體任意點 P的位移矢量 u uiei ，u 有三個分量1.2 （工程）應(yīng)變工程應(yīng)變是通常工程中描述物體局部幾何變化，分為正應(yīng)變和剪應(yīng)變。 l ， （角變形）兩微元線段夾角的改變量。（工程）正應(yīng)變：11、 22、 33 ， （工程）剪應(yīng)變： 12= xy、 23= yz、31= zx工程應(yīng)變共有六個分量： 三個正應(yīng)變和三個剪應(yīng)變， 正應(yīng)變以伸

2、長為正， 剪應(yīng)變以使直角變小為正。第 2 節(jié) 應(yīng)變張量和轉(zhuǎn)動張量應(yīng)變張量和轉(zhuǎn)動張量是描述一點變形和剛體轉(zhuǎn)動的兩個非常重要的物理量，本節(jié)將討論一下它們與位移之間關(guān)系，在討論之前，先介紹一下相對位移矢量和張量 .2.1 相對位移矢量和相對位移張量PQ 平移PQ伸長轉(zhuǎn)動PQQQ du dr dru uiei相對位移矢量d uei xu ij dx ja)而 dr dxj ejdxj ej dr (b)將( b)式代入( a)式，得du ui,jeiej dr根據(jù)商法則 du U dr則 U ui, jeiej Uijeiej 為一個二階張量 相對位移張量2.2 應(yīng)變張量和轉(zhuǎn)動張量相對位移張量 ui,

3、j 包含了變形和剛體轉(zhuǎn)動，為了將兩者分開，對 ui,j 進行整理，張量分成對稱和反對稱張量之和。11Uijui,j2 (ui,juj,i)2(ui,juj,i)Uu或iji,jijij11其中 ij 2 (ui,j uj,i), ij2 (ui,j uj,i)顯然 ij= ji (對稱張量)， ij= - ji (反對稱張量)而 ij 表示變形體的形變， ij 表示了剛體轉(zhuǎn)動。以在平面 x1 x2 的兩個垂直線段 PQ、PR 的相對位移來說明并 直觀看一下 ij， ij 二階張量表示了形變和剛體轉(zhuǎn)動。u1,1 ， u1,2 ，u2,1，u2,2 相對位移11， 12= 21， 22 純變形 1

4、22.3 轉(zhuǎn)動張量的對偶矢量由純剛體轉(zhuǎn)動可見， 12= - 21，正好相當(dāng)于一個沿 量 3e3 ，方向為 e3 ，其大小 3 ：113 2( 12 21) 2 (e123 12 e213 21)類似可得，其它兩個坐標(biāo)平面，轉(zhuǎn)動矢量1e1 、- 21 純轉(zhuǎn)動x3 軸方向的轉(zhuǎn)動矢2e21 綜合三個坐標(biāo)面的轉(zhuǎn)動矢量 ：kek 2eijk ijek為轉(zhuǎn)動張量的對偶矢量。*比較工程應(yīng)變定義和應(yīng)變張量，可得：111213112 122 132122232 21222 233132332 312 3233第 3 節(jié) 應(yīng)變張量和轉(zhuǎn)動張量的坐標(biāo)變換式在 xk 坐標(biāo)系中，已知變形體內(nèi)任一點應(yīng)變張量kl 和轉(zhuǎn)動張量

5、 kl ，則在新笛卡爾坐標(biāo)系 xi 中此點應(yīng)變張量 ij和 ij均可以通過二階張量的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換式求出它們。即：ijQ ikQ j l klijQ ikQ jl klQikikei ek Qki第 4 節(jié) 主應(yīng)變、應(yīng)變方向應(yīng)變張量的三個不變量確定一點的主應(yīng)變和應(yīng)變主方向方法與求主應(yīng)力和應(yīng)力主方向的方法完全一致，求主應(yīng)變的方程 3 2 0 解出 1、 2、 3（實根）， 、 、 分別為應(yīng)變張量的三個不變量： 11 22 33 1 2 3 e 體積應(yīng)變1 2 2 3 3 1 1 2 3當(dāng) 1 2 3 時（三個主應(yīng)變不相等） ，三個主方向相互垂直第 5 節(jié) 變形協(xié)調(diào)條件（相容條件） 在本章第二節(jié)中我們討

6、論了一點的應(yīng)變張量，它包含了一點的變形信 息，應(yīng)變張量與位移微分關(guān)系稱為幾何方程（共六個） 。如果已知變形體的 位移狀態(tài) u ，則由這六個方程直接求出應(yīng)變張量，但反之由六個獨立的任 意 ij 求 ui 不行。1ij 2 （ui,j u j,i ）因為 ij 僅包含形變，由其求出位移時，剛體位移是無法確定的，因 此，位移 u 無法確定。ij 分量之間必須滿足一定的條件 （方程），才能由幾何方程積分求出 單值連續(xù)的位移場 ui 、 ij 的分量必須滿足的方程稱為變形協(xié)調(diào)方程或相容 方程。變形協(xié)調(diào)方程共有六個，可由幾何方程直接導(dǎo)出。即：222 222 12222 2 12 x1x2 x1222x22

7、2 232x2 x3x12u2 x1 x32u32u32u12u12u2 )1 2u1x1 x2 x1 x2 x2 x3 x2 x3 x1 x3 2 x2 x3x2x32 11 x2 x3x3 x12x1(23 x133122331(x1 x2x3x3x1x2用指標(biāo)符號表示：ij ,klkl,ijik ,jljl ,ik 0或用張量表示：emij enkl ik, jl* 結(jié)論：應(yīng)變張量 ij 滿足變形協(xié)調(diào)方程是保證單連域的位移單值連續(xù)解存在的 必要和充分條件。對于復(fù)連域還需附加補充條件位移單值條件。*單連域：變形體內(nèi)的任何一條封閉線當(dāng)縮小時均能變?yōu)橐稽c，當(dāng)不滿足時為多連域。對于多連域附加補充

8、條件辦法為：假想通過適當(dāng)截斷， 使域為單連域，在截斷面 ab 兩側(cè) u+i = u -i 即為補充條件作業(yè)：1 給定位移分量222u1=cx 1(x2+x 3) , u2=cx2(x1+x3) , u3=cx 3(x1+x 2)此處 c 為一個很小的常數(shù)，求應(yīng)變張量 ij 和轉(zhuǎn)動張量 ij 。2. 將直角坐標(biāo)系繞 x3 軸轉(zhuǎn)動 角，求新坐標(biāo)系應(yīng)變分量的 轉(zhuǎn)換關(guān)系。3 假定體積不可壓縮，位移 u1(x1,x2)與 u2(x1,x2)很小， u3=0 。在 一定區(qū)域內(nèi)已知 u1=c(1-x22)(a+bx1+cx12) ,其中 a、b、c 為常 數(shù)，且 12=0 ，求 u2(x1,x2)。4 試分析以下工程應(yīng)變狀態(tài)能否存在2 2 2(1) 11=k(x 1 +x2 ) x3 , 22=kx2 x3 , 33=0,12=2kx1x2x3, 23= 13=02 2 2(2) 11