應(yīng)用時(shí)間序列分析習(xí)題標(biāo)準(zhǔn)答案

1、第二章習(xí)題答案2.1（1）非平穩(wěn)（2）0.01730.700 0.412 0.148 -0.079 -0.258 -0.376（3）典型的具有單調(diào)趨勢(shì)的時(shí)間序列樣本自相關(guān)圖2.2（1）非平穩(wěn)，時(shí)序圖如下（2）- （3）樣本自相關(guān)系數(shù)及自相關(guān)圖如下：典型的同時(shí)具有周期和趨勢(shì)序列的樣本自相 關(guān)圖-0.139 -0.0340.206 -0.0100.080 0.1182.3（ 1 ）自相關(guān)系數(shù)為：0.20230.0130.042-0.043-0.179-0.251-0.094 0.0248-0.068-0.0720.0140.1090.2170.3160.0070 -0.0250.075-0.141

2、-0.204-0.2450.0660.00622）平穩(wěn)序列3）白噪聲序列 2.4LB=4.83 ，LB統(tǒng)計(jì)量對(duì)應(yīng)的分位點(diǎn)為 0.9634 ，P值為 0.0363 。顯著性水平=0.05，序列不能視為純隨機(jī)序列。2.5（1）時(shí)序圖與樣本自相關(guān)圖如下2) 非平穩(wěn)3)非純隨機(jī) 2.6(1)平穩(wěn)，非純隨機(jī)序列(擬合模型參考：ARMA(1,2) )(2)差分序列平穩(wěn)，非純隨機(jī) 第三章習(xí)題答案3.1 解：E(xt) 0.7 E(xt 1) E( t)(10.7)E(xt ) 0E(xt ) 0(10.7B) xttxt(10.7B) 1 t(1 0.7B 0.72 B2)Var(xt )1222 1.96

3、08 21 0.492210 0.4922 03.2 解：對(duì)于 AR(2)模型：11 0 2 11 2 1 0.521 1 2 01 1 2 0.3解得：1 7/152 1/153.3 解：根據(jù)該 AR(2)模型的形式，易得： E(xt ) 0原模型可變?yōu)椋?xt 0.8xt 1 0.15xt 23.43.53.63.7Var ( xt )(1 2)(1 1 2)(1 1 2)(1 0.15)(1(1 0.15)0.8 0.15)(10.8 0.15)2 =1.9823 21 /(111122)20210.69570.40660.22091122330.69570.150解：原模型可變形為：2

4、(1 B cB2 )xtt由其平穩(wěn)域判別條件知：當(dāng) | 2 |由此可知 c 應(yīng)滿足： |c| 1， c 11 且 2 1 1時(shí)，模型平穩(wěn)。1且c即當(dāng) 1c0時(shí)，該 AR(2)模型平穩(wěn)。 證明：已知原模型可變形為：(1 B cB2 cB3)xt其特征方程為： 3 21)(c)不論 c 取何值，都會(huì)有一特征根等于2解：(1)錯(cuò)，2)3)4)5)解：Var(xt )錯(cuò)，錯(cuò)，錯(cuò)，錯(cuò)，1，/(1因此模型非平穩(wěn)E(xtx?T(l)eT(l)(xt 1)l1 xT 。Tl10/(112)。G1 T lG2TlGl 1T1Tlllim VarxTx?T (l) llim Var eT (l )im1112l1

5、21121 12 。11 124 12 121MA(1) 模型的表達(dá)式為：xt3.8 解法 1：由 xt = + t 1t12 t 2 ，得 xt 1= +t12 t 3 ，則xt 0.5xt 1=0.5 + t ( 1 0.5) t 1 ( 2 0.5 1) t 2+0.5 2 t 3 ，與xt =10+0.5 xt 1+ t 0.8 t 2+C t 3 對(duì)照系數(shù)得0.510,20,10.5 0 10.5,2，故0.5 1 0.8 ，故 20.55, 。0.52 C C0.275解法 2：將 xt10 0.5xt 1t 0.8 t2 C t 3 等價(jià)表達(dá)為xt 201 0.8B2 CB31

6、0.5B t1 0.8B2 CB3 (1 0.5B 0.52 B2 0.53 B3 L ) txt 20 1 0.5B 0.55B20.5k (0.53 0.4 C)B3 k t k0展開(kāi)等號(hào)右邊的多項(xiàng)式，整理為10.5B220.52B20.53B3440.54B4L20.8B20.80.5B3240.8 0.52 B4LCB30.5CB 4L合并同類項(xiàng)，原模型等價(jià)表達(dá)為當(dāng) 0.53 0.4 C0時(shí)，該模型為 MA(2) 模型，解出 C 0.275 。Var(xt ) (11.653.9 解： E(xt ) 011120.980.5939121221.6520.40.2424 k 0， k 3

7、212122 1.653.10 解法 1：(1)xttC( t 1t 2 )xt 1t1 C(t 2 t 3)xttCxt 1Ct1t1xt 1t (C 1) t 12122 ) 22即 (1 B)xt 1 (C 1)B t顯然模型的 AR部分的特征根是 1，模型非平穩(wěn)。2) ytxt xt 1t (C 1) t 1 為 MA(1)模型，平穩(wěn)。1 C 1221 12 C 2 2C解法 2：( 1)因?yàn)?Var(xt) lim(1k22kC2) 2，所以該序列為非平穩(wěn)序列。2) ytxt xt 1t (C1) t 1 ，該序列均值、方差為常數(shù)，2E(yt) 0, Var ( yt ) 1 (C

8、1)2自相關(guān)系數(shù)只與時(shí)間間隔長(zhǎng)度有關(guān)，與起始時(shí)間無(wú)關(guān)C11 1 (C 1)2 , k 0,k3.11 解：所以該差分序列為平穩(wěn)序列。1 1.37382 -0.87362)| 2 | 0.31，2 1 0.81 ， 21 1.41，模型平穩(wěn)。1 0.62 0.53)| 2 | 0.31，2 1 0.61 ， 21 1.21，模型可逆。1 0.45 0.2693i2 0.45 0.2693i4)| 2 | 0.41，2 1 0.91 ， 21 1.71，模型不可逆。1 0.25692 -1.55695)| 1 | 0.71，模型平穩(wěn)； 10.7| 1 | 0.61，模型可逆； 10.66)| 2

9、| 0.51，2 1 0.31 ， 21 1.31，模型非平穩(wěn)。1 0.41242-1.2124模型非平穩(wěn)；1)| 2 | 1.21| 1 | 1.1 1 ，模型不可逆；1.13.12 解法 1： G0 1， G11G0 1 0.6 0.3 0.3 ，Gk1Gk 1k 1 k 11 G1 0.3 0.6 ,k 2所以該模型可以等價(jià)表示為：xttk0.3 0.6k t k 1 。 k0解法 2： (1 0.6B)xt (10.3B) t3.133.14G0xt(10.3B)(1220.6B 0.62 B2)t(1G00.3B 0.3*0.6B2 0.3*0.3*0.6j 1 tj11，Gj 0.

10、3* 0.6 j 1解： E (B)xt E(xt ) 12。證明：已知 11 ， G1 1G0GjGj 1j0E3(B) t(10.52j10.62B3)t0.5)2E(xt ) 3Gj2j0GjGj kj0G2jj011 ，根據(jù)40.25ARMA（1,1） 模型 Green 函數(shù)的遞推公式得：1k 1G11,k 22( j 1)11j1Gj1 Gj kj0511 12412124111 125141260.27GjGj k 1j0,kGj2j0G2jj03.15 （ 1）成立（ 2）成立（ 3）成立4）不成立3.16 解：(1) xt 10 0.3*(xt 1 10) t， xT 9.6x

11、?T (1)E(xt 1)E100.3* (xT10)T 1 9.88x?T(2)E(xt 2 )E100.3*(xT 110)T 2 9.964x?T(3)E(xt 3)E100.3*(xT 210)T 3 9.9892已知 AR(1)模型的 Green 函數(shù)為： Gj1j ， j 1，2，eT (3)G0 t 3G1 t 2G2 t 1t321 t 2 1 t 1Var eT (3) (1 0.32 0.092 ) * 9 9.8829xt 3 的95的置信區(qū)間： 9.9892-1.96* 9.8829 ，9.98921.96* 9.8829 即3.8275,16.15092) T 1 x

12、T 1 x?T (1) 10.5 9.88 0.62x?T 1(1) E(xt 2) 0.3* 0.62 9.964 10.15x?T 1(2) E(xt 3) 0.09* 0.62 9.9892 10.045VareT 2(2) (1 0.32)* 9 9.81xt 3的95的置信區(qū)間： 10.045-1.96 9.81 ，10.0451.96* 9.81 即3.9061,16.1839。3.17 ( 1)平穩(wěn)非白噪聲序列( 2) AR(1)(3) 5 年預(yù)測(cè)結(jié)果如下：3.18 ( 1)平穩(wěn)非白噪聲序列 ( 2) AR(1)(3) 5年預(yù)測(cè)結(jié)果如下：1）平穩(wěn)非白噪聲序列2) MA(1)下一年

13、 95%的置信區(qū)間為( 80.41,90.96）3.19(3)3.20 （ 1）平穩(wěn)非白噪聲序列 （2）ARMA（1,3）序列 （3）擬合及 5 年期預(yù)測(cè)圖如下：第四章習(xí)題答案4.1 解：x?T 14(xTxT 1xT 2xT 3)15551x?T 2(x?T 1xTxT 1xT 2)xTxT 1xT 2xT 34 T 116 T16 T 116 T 216 所5 以，在 x?T 2中xT與xT 1前面的系數(shù)均為 16。4.2 解 由x%txt (1)x%t 1x%t 1xt 1 (1)x%t代入數(shù)據(jù)得x%t 5.25 5(1 )5.26 5.5 (1 )x%t解得x%t 5.10.4（舍去1

14、的情況 ）4.3 解：( 1)11x?21(x20 x19 x18 x17 +x16) (13+11+10+10+12)=11.25511x?22( x?21+ x20 x19 x18 x17) ( 11.2+13+11+10+10)=11.04552）利用 x%t0.4xt 0.6x%t 1且初始值 x%0 x1 進(jìn)行迭代計(jì)算即可。 另外，x?22x?21x%20 該題詳見(jiàn) Excel 。3）在移動(dòng)平均法下11.79277X?21 1 X2055i 16XiX?22 1 X?21511X 2055i19Xi1711 a55在指數(shù)平滑法中 :25x?22x?21x%200.4 x20 0.6x

15、%19b 0.4b a 0.4 6 0.16。254.4 解：根據(jù)指數(shù)平滑的定義有（1）式成立，（1）式等號(hào)兩邊同乘 （1） 有（ 2 ）式成立x%t t(t 1) (1 )(t2) (1)2(t2) (1 )3 L(1)(1 )x%tt (1 )(t1) (1)2(t2) (1 )3 L(2)1）- （2）得x%t t (1 ) (1 )2 L x%t t (1 ) (1 )2 L1t則ltim x%tt ltimt11。holt 兩參4.5 該序列為顯著的線性遞增序列，利用本章的知識(shí)點(diǎn)，可以使用線性方程或者 數(shù)指數(shù)平滑法進(jìn)行趨勢(shì)擬合和預(yù)測(cè)，答案不唯一，具體結(jié)果略。4.6 該序列為顯著的非線

16、性遞增序列， 可以擬合二次型曲線、 指數(shù)型曲線或其他曲線， 也能 使用 holt 兩參數(shù)指數(shù)平滑法進(jìn)行趨勢(shì)擬合和預(yù)測(cè)，答案不唯一，具體結(jié)果略。4.7 本例在混合模型結(jié)構(gòu)， 季節(jié)指數(shù)求法， 趨勢(shì)擬合方法等處均有多種可選方案， 如下做法 僅是可選方法之一，結(jié)果僅供參考（1）該序列有顯著趨勢(shì)和周期效應(yīng)，時(shí)序圖如下（ 2）該序列周期振幅幾乎不隨著趨勢(shì)遞增而變化，所以嘗試使用加法模型擬合該序列： xt Tt St It 。（注：如果用乘法模型也可以）首先求季節(jié)指數(shù)（沒(méi)有消除趨勢(shì)，并不是最精確的季節(jié)指數(shù)）0.960722 0.912575 1.038169 1.064302 1.153627 1.1165

17、661.04292 0.984162 0.930947 0.938549 0.902281 0.955179 消除季節(jié)影響， 得序列 yt xt Stx ，使用線性模型擬合該序列趨勢(shì)影響 （方法不唯一）Tt 97.70 1.79268t ， t 1,2,3,L注：該趨勢(shì)模型截距無(wú)意義，主要是斜率有意義，反映了長(zhǎng)期遞增速率）得到殘差序列 It xt St x yt Tt ，殘差序列基本無(wú)顯著趨勢(shì)和周期殘留。預(yù)測(cè)1971年奶牛的月度產(chǎn)量序列為 x)t T)t S?mod t 12 x,t 109,110,L ,120得到771.5021739.517 829.4208 849.5468914.00

18、62 889.7989839.9249 800.4953764.9547 772.0807748.4289 787.33273）該序列使用 x11 方法得到的趨勢(shì)擬合為趨勢(shì)擬合圖為4.8 這是一個(gè)有著曲線趨勢(shì) , 但是有沒(méi)有固定周期效應(yīng)的序列 , 所以可以在快速預(yù)測(cè)程序中 用曲線擬合（ stepar ）或曲線指數(shù)平滑（ expo ）進(jìn)行預(yù)測(cè)（ trend=3 ）。具體預(yù)測(cè)值略。第五章習(xí)題5.1 擬合差分平穩(wěn)序列 , 即隨機(jī)游走模型 xt =xt -1+ t , 估計(jì)下一天的收盤價(jià)為 2895.2 擬合模型不唯一，答案僅供參考。 擬合 ARIMA（1,1,0） 模型，五年預(yù)測(cè)值為：5.3 ARI

19、MA (1,1,0) (1,1,0)125.4 (1)AR(1)， （2） 有異方差性。最終擬合的模型為xt =7.472+ tt =-0.5595 t-1+vtvt= ht etht =11.9719+0.4127vt2-15.5（1） 非平穩(wěn)（2）取對(duì)數(shù)消除方差非齊，對(duì)數(shù)序列一節(jié)差分后，擬合疏系數(shù)模型AR（1，3） 所以擬合模型為ln xARIMA (1,3),1,0)3）預(yù)測(cè)結(jié)果如下：5.6 原序列方差非齊，差分序列方差非齊，對(duì)數(shù)變換后，差分序列方差齊性。第六章習(xí)題6.1 單位根檢驗(yàn)原理略。例 2.1 原序列不平穩(wěn)，一階差分后平穩(wěn)例 2.2 原序列不平穩(wěn)，一階與 12步差分后平穩(wěn)例 2.

20、3 原序列帶漂移項(xiàng)平穩(wěn)例 2.4 原序列不帶漂移項(xiàng)平穩(wěn)例 2.5 原序列帶漂移項(xiàng)平穩(wěn) （ =0.06） ，或者顯著的趨勢(shì)平穩(wěn)。6.2 （ 1）兩序列均為帶漂移項(xiàng)平穩(wěn) （2）谷物產(chǎn)量為帶常數(shù)均值的純隨機(jī)序列，降雨量可以擬合AR（ 2）疏系數(shù)模型。（3）兩者之間具有協(xié)整關(guān)系（ 4） 谷物產(chǎn)量 t 23.5521 0.775549降雨量 t6.3 （ 1）掠食者和被掠食者數(shù)量都呈現(xiàn)出顯著的周期特征，兩個(gè)序列均為非平穩(wěn)序列。但 是掠食者和被掠食者延遲 2階序列具有協(xié)整關(guān)系。即 yt - xt-2 為平穩(wěn)序列。（2）被掠食者擬合乘積模型： ARIMA （0,1,0） （1,1,0）5 , 模型口徑為 :

21、15xt = 5 t5 t 1+0.92874B5 t 擬合掠食者的序列為：yt =2.9619+0.283994 xt-2 + t-0.47988 t-1未來(lái)一周的被掠食者預(yù)測(cè)序列為：Forecasts for variable xObsForecastStd Error95% Confidence Limits4970.792449.4194-26.0678167.652650123.835869.8895-13.1452260.816751195.098485.596827.3317362.865152291.637698.838797.9173485.357953150.0496110

22、.5050-66.5363366.63555463.5621122.5322-176.5965303.72085580.3352133.4800-181.2807341.95115655.5269143.5955-225.9151336.96905773.8673153.0439-226.0932373.82795875.2471161.9420-242.1534392.64755970.0053189.8525-302.0987442.109460120.4639214.1559-299.2739540.201761184.8801235.9693-277.6112647.371462275.8466255.9302-225.7674777.4606掠食者預(yù)測(cè)值為：Forecasts for variable yObsForecastStd Error95% Confidence