房價的影響因素分析及預(yù)測模型——基于北京市相關(guān)數(shù)據(jù)的實證研究論文

1、畢業(yè)論文房價的影響因素分析及預(yù)測模型基于北京市相關(guān)數(shù)據(jù)的實證研究摘要房地產(chǎn)既是我國國民經(jīng)濟的支柱產(chǎn)業(yè)，也是關(guān)系重大的民生問題。本文以北京市經(jīng)濟適用房銷售價格、北京市生產(chǎn)總值等相關(guān)數(shù)據(jù)為例，分析房價的主要影響因素，建立房價與其影響因素的關(guān)系模型對北京市房價進行準確預(yù)測，并根據(jù)得出的預(yù)測結(jié)果對房地產(chǎn)發(fā)展提出合理性意見：問題一，建立影響房價的指標體系，利用spss16.0軟件將各指標數(shù)據(jù)進行折線圖描述，將變化偶然性較大的貨幣供應(yīng)量刪除，建立主成分分析模型提取主成分，將各指標對各主成分的貢獻率加權(quán)得到每個指標的總貢獻率，比較得出影響北京市房價的六項主要指標依次為：x4居民家庭人均收入，x10房地產(chǎn)開發(fā)

2、投資額, x2北京市生產(chǎn)總值， x1經(jīng)濟適用房銷售價格， x6人均住宅建筑面積 ， x5新增保障性住房面積。問題二，建立逐步回歸模型，根據(jù)spss16.0軟件的運行結(jié)果顯示，被剔除的前六個變量與問題一得出的六項主要指標一致，證明結(jié)論正確。建立多元回歸分析模型，由spss16.0軟件實現(xiàn)得到北京市房價與其主要影響因素的關(guān)系模型為：y=4846.453+0.843x1+1.719x2+0.028x4-4.652x5-278.822x6-3.564x10。問題三，建立曲線估計模型，通過spss16.0軟件擬合得到各指標變量隨時間擬合的曲線方程（見表31），將預(yù)測房價與實際值進行比較，其平均誤差僅為5

3、.14%，說明預(yù)測效果良好。利用matlab7.0軟件運行得到各指標及房價在2000至2015年的房價（見表36）穩(wěn)中有升。問題四，根據(jù)所得預(yù)測結(jié)果、北京房地產(chǎn)市場結(jié)構(gòu)、政府相關(guān)政策，結(jié)合經(jīng)濟學(xué)知識，對北京市房地產(chǎn)發(fā)展提出合理建議。最后，對所建模型進行了優(yōu)缺點評價，在模型推廣種介紹了這幾個模型的廣泛應(yīng)用。關(guān)鍵詞：房價預(yù)測、影響因素、主成分、線性回歸、曲線擬合一、 問題重述 1.1 問題的背景及條件俗話說；“安居才能樂業(yè)！”在我國的傳統(tǒng)觀念中房子就家，不管住別墅還是住瓦房，每一個家庭都必須有自己的住房，因此住房問題本生就是關(guān)系國計民生的大問題。同時，隨著改革開放以來我國經(jīng)濟的高速發(fā)展，人民生活質(zhì)

4、量得到了極大提高，對住房質(zhì)量、住房環(huán)境、小區(qū)配套服務(wù)等的要求也隨之不斷提高。近十年來我國一些城鎮(zhèn)的商品房價格上漲過快，過高的房價使城鎮(zhèn)卻中低收入者無力購買住房,為了社會持續(xù)穩(wěn)定的發(fā)展,政府一直出臺各種文件，從宏觀層面對房地產(chǎn)市場進行調(diào)控。但由于各部門配合不協(xié)調(diào)，加上惡意炒房的炒家操作，房地產(chǎn)的價格在過去的幾年時間里快速地上漲，房價成了各種社會矛盾的焦點。近幾年來，保障房建設(shè)正在加速推進,中共中央政治局常委、國務(wù)院副總理李克強在全國保障性安居工程工作會上強調(diào)，要認真貫徹落實黨中央、國務(wù)院的決策部署，大規(guī)模實施保障性安居工程，加大投入，完善機制，公平分配，保質(zhì)保量完成今年開工建設(shè)1000萬套的任務(wù)

5、，努力改善群眾住房條件。1.2問題的提出在上述背景條件以及題目給出的提示下，第一步我們需要對物價水平、國內(nèi)生產(chǎn)總值、國民收入水平、金融政策、稅收政策、土地、城市化率、各類保障性住房的投入使用等房地產(chǎn)價格的影響因素進行實證研究，找到影響房價的主要指標。在第一步的基礎(chǔ)上，第二步利用所學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，建立房地產(chǎn)價格與包括城鎮(zhèn)住房保障規(guī)模在內(nèi)的主要因素或指標之間聯(lián)系的數(shù)學(xué)模型。利用第二步所建立的關(guān)于房地產(chǎn)價格的數(shù)學(xué)模型，根據(jù)有關(guān)政策和規(guī)劃對未來幾年我國或某一地區(qū)在不同的保障房建設(shè)力度下就房地產(chǎn)價格趨勢進行仿真或預(yù)測，并根據(jù)模型的需要對未來的情況作適當(dāng)?shù)募僭O(shè)。最后，根據(jù)上述建立的數(shù)學(xué)模型和仿真結(jié)果，向

6、相關(guān)單位、人士等提出房地產(chǎn)價格相關(guān)問題的咨詢建議。二、問題分析2.1 問題的重要性分析在上文已經(jīng)提到住房是關(guān)系國計民生的大問題，雖然近幾年來房地產(chǎn)業(yè)對我國各項經(jīng)濟指標的增長做出了巨大貢獻，但高速上漲的房價使眾多中低收入階層的住房問題陷入窘境，貧富差距的矛盾日益突出，房價也成為了各種社會問題的焦點，已經(jīng)威脅我國社會的持續(xù)性發(fā)展。近段時間以來，從中央到地方的各級人民政府都相繼出臺了各種法律法規(guī)文件對房地產(chǎn)市場進行調(diào)控，公租房、廉租房和經(jīng)濟適用房等各類保障性住房也正在加大力度建設(shè)之中。利用科學(xué)的方法分析得出房價的主要影響因素，建立預(yù)測模型預(yù)測近期的房價不僅有利于普通百姓更直觀地根據(jù)市場、政策環(huán)境的變

7、化分析房地產(chǎn)的變化，更重要的是，這將有利于政府部門合理地對房地產(chǎn)市場進行調(diào)控，使房價更合理、房地產(chǎn)市場的發(fā)展更穩(wěn)健，從而解決民生問題，使老百姓安居樂業(yè)。2.2 目前有關(guān)方面對本問題的研究房地產(chǎn)相關(guān)行業(yè)以及政府的研究機構(gòu)從未停止過對房價及相關(guān)問題的研究，出現(xiàn)了眾多的研究方法。在房價的影響因素分析方面，彭聰【1】、趙麗麗【2】、李晨【3】分別通過回歸分析、灰色關(guān)聯(lián)分析、因子分析等方法，選取影響房地產(chǎn)價格的主要指標，說明住宅實際建造成本和實際生產(chǎn)總值對住宅價格有著顯著的影響，而人口數(shù)和所有者實際資本成本的影響作用則不明顯,并提出相應(yīng)的改善措施和建議。喬志敏【4】用實證分析表明生產(chǎn)成本的波動對房地產(chǎn)價

8、格的波動有較強作用。在確立房地產(chǎn)價格與各主要影響因素之間的聯(lián)系方面，嚴焰【5】利用嶺回歸方法本文采用嶺回歸方法，以香港市場為樣本，構(gòu)建房價模型。曾俊杰【6】基于回歸分析和灰色關(guān)聯(lián)分析做了多目標規(guī)劃的房地產(chǎn)定價模型。曹瑞【7】利用多項式回歸模型討論了影響房價的主要因素并建立對房價的分析模型?？傮w來講，國內(nèi)學(xué)者對我國房價的研究主要從兩個方面進行，一是從宏觀經(jīng)濟方面的條件及微觀經(jīng)濟方面的市場供求原理，來觀察可能影響房價漲跌的因素；二是采用特征價格法，即針對組成房地產(chǎn)的各種特征屬性，通過微觀經(jīng)濟中的消費者效用理論，來分析特征屬性的隱含價格對該商品價格的影響。2.3 問題的思路分析本題主要是通過確定房價

9、的主要影響因素，找到房價與各主要影響因素的變化關(guān)系，建立房價的預(yù)測模型，成為房地產(chǎn)市場調(diào)控的重要依據(jù)。選取具有代表性的樣本是科學(xué)研究的基本前提，北京是我國的首都，也是第一批保障性住房建設(shè)的試點城市，因此本文選取北京的相關(guān)數(shù)據(jù)進行實證研究。問題一：在收集大量數(shù)據(jù)以及參考相關(guān)文獻的基礎(chǔ)上，確立房價主要影響因素的指標體系，并采用解決主要因素提取問題最廣泛、最精確的方法之一的主成分分析方法，通過對載荷矩陣中各指標對所提取主成分的總貢獻率的比較，即得到對房價產(chǎn)生影響的各主要指標。問題二：在前人的研究成果中，我們可以發(fā)現(xiàn)建立房價與各主要指標之間的關(guān)系模型的主要方法是各種回歸分析方法，本文采用思路最清晰明了

10、、得到的關(guān)系式最精準的逐步回歸分析法。通過逐步回歸分析，即得到房價與各主要指標的聯(lián)系，同時將結(jié)果與問題一中得到的各主要指標進行比較，可檢驗得到的主要指標是否一致，從而對提取出的各主要指標進行驗證。最后利用多元線性回歸方法對房價與各主要影響因素進行擬合，得到房價與保障住房在內(nèi)的各主要影響因素之間的關(guān)系模型。問題三：根據(jù)房價與保障性住房在內(nèi)的各主要影響因素之間的關(guān)系模型，以及北京市“十二五”規(guī)劃中關(guān)于保障性住房建設(shè)的規(guī)劃，我們可以利用數(shù)學(xué)軟件對“十二五”期間（即20112015年）北京市的房價進行仿真預(yù)測。問題四：根據(jù)已經(jīng)得到的模型及仿真結(jié)果，加上對房地產(chǎn)相關(guān)情況的了解及當(dāng)前的國內(nèi)外宏觀經(jīng)濟環(huán)境等

11、，最后對相關(guān)部門、單位及個人提出合理性的建議。三、模型假設(shè)(1)假設(shè)經(jīng)濟性適用房的銷售價格可以代表保障性住房的價格，從而進行本題的研究。 (2)假設(shè)在本文預(yù)測的2011至2015年期間，國家對房地產(chǎn)市場的宏觀調(diào)控政策不發(fā)生重大改變，與現(xiàn)行的政策基本一致。(3)假設(shè)在本文預(yù)測的2011至2015年期間，不發(fā)生重大自然災(zāi)害（如08年汶川地震）、金融危機（如08年美國次貸危機引起的世界金融危機）、戰(zhàn)爭等不可抗拒的、影響房地產(chǎn)市場發(fā)展的外力因素。(4)房地產(chǎn)價格受眾多因素的影響，受比賽時間所限，假設(shè)只考慮本文所研究的11個因素，以外的其他因素對房產(chǎn)價格的影響可暫時忽略。(5)假設(shè)本文數(shù)據(jù)挖掘及處理研究

12、過程中只出現(xiàn)有系統(tǒng)誤差，無隨機誤差。（6）假設(shè)本文所研究的各項因素的誤差是不相關(guān)的。四、符號說明符號意義單位p原始指標個數(shù)個xi第i個原始指標y北京市房地產(chǎn)價格元fi第i個主成分個k所提取主成分個數(shù)個rx的相關(guān)系數(shù)矩陣ir的特征值ii對應(yīng)的黨委特征向量隨機誤差五、模型的建立與求解51問題一：確定影響房地產(chǎn)價格的主要因素51.1 主成分分析的基本原理根據(jù)題意要求和相應(yīng)的分析，對于問題一本文采用主成分分析方法。主成分分析法是利用降維的思想，通過研究指標體系的內(nèi)在結(jié)構(gòu)關(guān)系，把多指標轉(zhuǎn)化成少數(shù)幾個互相獨立而且包含原有指標大部分信息（8085以上）綜合指標的多元統(tǒng)計方法，本文在提取主成分是要求提取達到9

13、0%以上的信息，其優(yōu)點在于利用該方法所確定的權(quán)數(shù)是基于數(shù)據(jù)分析而得到的指標之間的內(nèi)在結(jié)構(gòu)關(guān)系，不受主觀因素的影響，而且得到的綜合指標（主成分）之間彼此獨立，減少信息的交叉，從而使分析評價結(jié)果具有客觀性和可確定性。主成分分析是對于原先提出的所有變量，通過線性變換建立盡可能少的新變量，使得這些新變量是兩兩不相關(guān)的，且這些新變量在反映數(shù)據(jù)的信息方面盡可能保持原有變量或數(shù)據(jù)的信息和特點。數(shù)學(xué)上的處理就是將原來p個指標作線性組合，作為新的綜合指標，如果將選取的第一個線性組合即第一個綜合指標記為1，自然希望1盡可能多的反映原來指標的信息，這里的 “信息”用1的方差來表達，即var（1）越大，表示1包含的信

14、息越多。因此在所有的線性組合中所選取的1應(yīng)該是方差最大的，故稱為第一主成分。如果第一主成分不足以代表原來p個指標的信息，再考慮選取即選第二個線性組合，為了有效反映原來信息，1已有的信息就不需要出現(xiàn)在1中，用數(shù)學(xué)語言表達就是要求cov1，2=0，稱2為第二主成分，依此類推可以構(gòu)造出第三，四，第p個主成分。通過查閱中華人民共和國國家統(tǒng)計局網(wǎng)站【8】、北京市統(tǒng)計信息網(wǎng)【9】，中國知網(wǎng)【10】，我們得到北京市的物價水平、生產(chǎn)總值、收入水平、金融政策、稅收政策、土地、城市化率、保障性住房面積、銷售價格等統(tǒng)計數(shù)據(jù)，并在查閱大量相關(guān)文獻的情況下，得到如表1所示的影響房價的指標體系（見表11）。最后本文選取從

15、2001年至2010年期間房價及各指標的統(tǒng)計數(shù)據(jù)進行實證分析（見附1）。表11 影響房價的指標體系指標意義單位x1經(jīng)濟適用房銷售價格元x2北京市生產(chǎn)總值億元x3恩格爾系數(shù)%x4居民家庭人均收入元x5新增保障性住房面積萬平方米x6人均住宅建筑面積平方米x7cpix8城市化率x9貸款利率x10房地產(chǎn)開發(fā)投資額億元x11貨幣供應(yīng)量億元y商品房銷售價格元本文將所搜集整理的各指標數(shù)據(jù)按時間進行繪圖描述，得到各指標的描述圖(如圖11)圖11 各指標按時間序列擬合曲線圖如上圖所示，在2000至2010年11年間，由于近幾年我國通貨膨脹嚴重，人民幣貶值，導(dǎo)致x11貨幣供應(yīng)量各年份的丈夫偏差太大，由于無法預(yù)料未

16、來一段時間內(nèi)人民幣或發(fā)生貨幣通貨膨脹還是通貨緊縮以及其變化程度，故將這一因素刪除，最后將影響房價的指標確定為表11中的前十個指標。512主成分分析法的數(shù)學(xué)模型及實證分析結(jié)果設(shè)有樣本容量為n的p個變量，通過變換將原變量xi轉(zhuǎn)換成主成分（用表示），主成分是原變量的線性組合，且具有正交特征，即將x1，x2，xp 綜合成k（kp）個變量（1，k）,可用多項式表示：1=a11x1+a21x2+ap1xp2=a12x1+a22x2+ap2xpk=a1kx1+a2kx2+apkxp 或 f=ax矩陣a滿足aat=e，即a為正交矩陣，其中e為單位陣，且aij由下列原則決定：（1）i與j（ij）不相關(guān)；（2）v

17、ar1var2var（k）.主成分分析法步驟如下：（1）假定輸入一個決策表t=(u,cd,f)，其中u為論域，x=x1，x2，xp為條件屬性集，d為決策屬性集。需輸出條件屬性的主成分=1，2，k。（2）按xij=xij-xjvar（xj）對原始數(shù)據(jù)x=x1，x2，xp進行標準化處理，使每個屬性均值為0，方差為1。在spss16.0軟件運行下得到描述性統(tǒng)計分析（見表12）。表12 各指標的描述性統(tǒng)計分析descriptive statisticsmeanstd. deviationn商品房銷售價格（元）7551.783284.39122055經(jīng)濟適用房銷售價格（元）3110.27500.8012

18、2055北京市生產(chǎn)總值（億元）7625.403400.74822055恩格爾系數(shù)（%）37.5541.196122055居民家庭人均收入（元）12445.3616275.811522055人均住宅建筑面積（平方米）24.24215.0043322055cpi1.01527.01984722055城市化率.8146.0293522055貸款利率6.18917.47732722055房地產(chǎn)開發(fā)投資額(億元)1538.838594.363222055新增保障性住房面積（萬平方米）243.726258.7108022055（3）根據(jù)概率論中的相關(guān)系數(shù)公式：covxi，xj=exi-exi-xj-exj

19、計算原始數(shù)據(jù)集x=x1，x2，xp的相關(guān)系數(shù)矩陣r。在spss16.0軟件運行下得到x的相關(guān)系數(shù)矩陣r（見表13）。表13 x的相關(guān)系數(shù)矩陣rcorrelation matrix經(jīng)濟適用房銷售價格（元）北京市生產(chǎn)總值（億元）恩格爾系數(shù)（%）居民家庭人均收入（元）人均住宅建筑面積（平方米）cpi城市化率貸款利率房地產(chǎn)開發(fā)投資額(億元)保障性住房面積（萬平方米）經(jīng)濟適用房銷售價格（元）1.000.791-.054.848.701-.344.272.320.819.230北京市生產(chǎn)總值（億元）.7911.000-.088.909.908.078.615.376.973-.111恩格爾系數(shù)（%）-.0

20、54-.0881.000.248-.378.426-.704.060-.233-.085居民家庭人均收入（元）.848.909.2481.000.741.113.257.282.864.062人均住宅建筑面積（平方米）.701.908-.378.7411.000-.032.752.256.958.081cpi-.344.078.426.113-.0321.000.018.139-.069-.357城市化率.272.615-.704.257.752.0181.000.282.642-.251貸款利率.320.376.060.282.256.139.2821.000.283-.217房地產(chǎn)開發(fā)投資

21、額(億元).819.973-.233.864.958-.069.642.2831.000.048保障性住房面積（萬平方米）.230-.111-.085.062.081-.357-.251-.217.0481.000（4）計算相關(guān)系數(shù)矩陣r的特征值i及其對應(yīng)的單位特征向量ei，i=1,2，k，并將特征值按由大到小的順序排列，即12k。（5）計算主成分的方差貢獻率和累計方差貢獻率。第k個主成分方差為i=ii=1ki，主成分1，k的累計方差貢獻率為（i=1ki）（j=1pj）其中1的值最大，則說明1綜合x1，x2，xp信息的能力最強，主成分k值得選取一般為使得累計方差貢獻率80%（或特征值大于1）的

22、前k個特征值。但本文中為了使信息盡量不流失，選取累計方差貢獻率達到99%的前k個特征值（見圖11）。圖11 主成分碎石圖（6）利用前k個特征值對應(yīng)的單位向量e1=e11，e12，e1p，e2=e21，e22，e2p,，ep=ek1，ek2，ekp，按f=ax計算原始數(shù)據(jù)的主成分1，k。在spss16.0軟件運行下，我們最終得到特征值與方差貢獻率（見表14），以及旋轉(zhuǎn)前的因子載荷矩陣(見表15）表14 特征值與方差貢獻表total variance explainedcomponentinitial eigenvaluesextraction sums of squared loadingsto

23、tal% of variancecumulative %total% of variancecumulative %14.95049.50049.5004.95049.50049.50021.85018.49867.9981.85018.49867.99831.61916.18684.1851.61916.18684.1854.8358.35292.536.8358.35292.5365.5835.82898.364.5835.82898.3646.095.95399.318.095.95399.3187.042.42399.7418.023.22799.9689.003.03099.9971

24、0.000.003100.000如上表所示，本文最終提取到影響房價的6個主成分，并且使累計方差貢獻率達到了99%，從而保證影響房價的有效信息不流失，為更好地解決后面的問題做準備。表15 旋轉(zhuǎn)前的因子載荷矩陣component matrixacomponent123456房地產(chǎn)開發(fā)投資額(億元).987-.010.050.112-.029.055北京市生產(chǎn)總值（億元）.974.183-.034.076-.072.035人均住宅建筑面積（平方米）.952-.134-.072.173.107.103居民家庭人均收入（元）.854.400.300.110-.067-.032經(jīng)濟適用房銷售價格（元）.8

25、41.012.438-.195-.144-.195城市化率.678-.365-.608.069.083.036恩格爾系數(shù)（%）-.251.876.369.006-.075.148cpi-.065.708-.448.379.365-.131新增保障性住房面積（萬平方米）.013-.364.742.092.554.022貸款利率.396.322-.267-.761.296.022a. 6 components extracted.表16 各指標對房價影響的總貢獻率123456各指標的總貢獻率房地產(chǎn)開發(fā)投資額(億元).987-.010.050.112-.029.0550.49北京市生產(chǎn)總值（億元）.

26、974.183-.034.076-.072.0350.48人均住宅建筑面積（平方米）.952-.134-.072.173.107.1030.42居民家庭人均收入（元）.854.400.300.110-.067-.0320.52經(jīng)濟適用房銷售價格（元）.841.012.438-.195-.144-.1950.43城市化率.678-.365-.608.069.083.0360.16恩格爾系數(shù)（%）-.251.876.369.006-.075.1480.10cpi-.065.708-.448.379.365-.1310.08新增保障性住房面積（萬平方米）.013-.364.742.092.554.0

27、220.18貸款利率.396.322-.267-.761.296.0220.15得到載荷矩陣后，本文根據(jù)各指標分別對各主成分的貢獻率加權(quán)（權(quán)指個主成分所表示的信息量）平均之后我們可以得到各指標對房價影響的總貢獻率（見表16），對北京市房價影響最主要的六個因素依次是：x4居民家庭人均收入，x10房地產(chǎn)開發(fā)投資額, x2北京市生產(chǎn)總值， x1經(jīng)濟適用房銷售價格， x6人均住宅建筑面積 ， x5新增保障性住房面積。52 問題二：建立房地產(chǎn)價格與包括城鎮(zhèn)住房保障規(guī)模在內(nèi)的主要因素之間聯(lián)系的數(shù)學(xué)模型及實證分析結(jié)果521利用逐步回歸模型，驗證51中所提取主成分的正確性。(一) 多元線性回歸數(shù)學(xué)模型變量與變

28、量之間的關(guān)系分為確定性關(guān)系和非確定性關(guān)系，函數(shù)表達確定性關(guān)系。研究變量間的非確定性關(guān)系，構(gòu)造變量間經(jīng)驗公式的數(shù)理統(tǒng)計方法稱為回歸分析。線性回歸假設(shè)因變量與自變量之間為線性關(guān)系，用一定的線性回歸模型來擬合因變量和自變量的數(shù)據(jù)，并通過確定模型參數(shù)來得到回歸方程，根據(jù)自變量的多少，線性回歸可有不同的劃分，當(dāng)自變量只有一個時，稱為一元回歸，當(dāng)自變量有多個時，稱為多元線性回歸。多元線性回歸模型是指含有多個解釋變量的線性回歸模型，用于解釋被解釋變量與其他多個變量之間的線性關(guān)系，其數(shù)學(xué)模型為：y=0+1x1+2x2+pxp+ （2.1） 式（2.1）表示一個p元線性回歸模型，其中有p個解釋變量。表明被解釋變

29、量y的變化可由兩部分組成：第一，由p個解釋變量x的變化引起的y的線性變化部分，即0+1x1+2x2+pxp；第二，由其他隨機因素引起的y的變化部分，即n(0，2)部分，叫隨機誤差。0，1，2，p都是模型中的未知參數(shù)，分別為回歸常數(shù)和偏回歸系數(shù)。對y 和x1 ,x2,xp-1，xp ,分別進行n次獨立觀測，取得n 組數(shù)據(jù)樣本y i，xi1 ,xi2,xip-1 （i=1,2,3，n）則有：y1=0+1x11+2x12+px1p-1+1y2=0+1x21+2x22+px2p-1+2yn=0+1n+2xn2+pxnp-1+n （22） 其中 1, 2, n 相互獨立, 且服從n(0， 2)分布。令：

30、y=y1y2yn，=01p-1=12n, x=1x11x12x1p-11x21x22x2p-11xn1xn2xnp-1則式(22)用矩陣形式表示為：y=x+ 其中n0，2in （23） 模型參的最小二乘法估計與誤差方差2的估計的最小二乘法估計即選擇使誤差項的平方和為最小值 這時的值作為的點估計。s=t=y-xty-x (24) 為了求, 由(4)式將s對求導(dǎo),并令其為零, 得：dsd=dy-xt(y-x) d=d(yty-txty-ytx+txtx)d=0 (25) 由(45)式可解出：=(xtx)-1xty (26) 對殘差向量： =y-y=y-x=i-xxtx-1xt （27） 對殘差平方

31、和：t=ti-xxtx-1xty=yty-txty （28） 又因為，ey=x=0+1x1+2x2+pxp+因此，et=2n-p2=tn-p （29） 多元線性回歸數(shù)學(xué)模型建立后，是否與實際數(shù)據(jù)有較好的擬合度，其模型線性關(guān)系的顯著性如何等，還需通過數(shù)理統(tǒng)計進行檢驗。常用的統(tǒng)計檢驗有r 檢驗和f檢驗。（1） r檢驗r=1-i=1n（yi-yi）2i=1n（yi-yi）2 （210） r 是復(fù)相關(guān)系數(shù),用于測定回歸模型的擬合優(yōu)度,r 越大,說明y 與x1 ,x2,xp-1，xp的線性關(guān)系越顯著,為yi 的平均值,r 取值范圍為0fa(m,n-m-1),表明回歸模型顯著，可從用于預(yù)測。反之，回歸模型

32、不能用于預(yù)測。(二) 利用回歸分析模型逐步剔除對房價影響較大的因素驗證所提取主要指標根據(jù)上文得到的房價影響因素指標體系（表11）的前十項指標，因此這里要分析的是一個變量“y商品房銷售價格”與主要貢獻率最大的前六個變量之間的線性關(guān)系，顯然是一個多元線性回歸的問題。以（一）中模型原理為基礎(chǔ)，通過spss16.0軟件運行得到“模型概述表”（見附21），由該表可知，第一問題中所列影響房地產(chǎn)價格的主要因素北京市生產(chǎn)總值（億元），人均住宅建筑面積（平方米），房地產(chǎn)開發(fā)投資額(億元)，居民家庭人均收入（元），經(jīng)濟適用房銷售價格（元），保障性住房面積（萬平方米）均符合，從而可采用以上六個指標對房價的總體變化作

33、出評價。從而證明問題一中得出的結(jié)論正確。5.2.2 根據(jù)多元線性回歸模型得到房價與各影響因素的關(guān)系模型沿用上文中多元線性回歸數(shù)學(xué)模型，通過spss16.0軟件運行得到房價與各影響因素的關(guān)系(見表21及表22)，由表21中r2值為0.989可看出擬合效果和精度都是比較高的，顯著性非常明顯，能夠很好的反映北京房價與其主要因素之間的線性關(guān)系。通過表22中回歸系數(shù)得出擬合線性關(guān)系為： y=4846.453+0.843x1+1.719x2+0.028x4-4.652x5-278.822x6-3.564x10表21 模型概述表model summarybmodelrr squareadjusted r s

34、quarestd. error of the estimatechange statisticsdurbin-watsonr square changef changedf1df2sig. f change1.994a.989.989349.178.989321526.569622048.000.001a. predictors: (constant), 保障性住房面積（萬平方米）, 房地產(chǎn)開發(fā)投資額(億元), 經(jīng)濟適用房銷售價格（元）, 居民家庭人均收入（元）, 人均住宅建筑面積（平方米）, 北京市生產(chǎn)總值（億元）b. dependent variable: 商品房銷售價格（元）表22 回歸

35、系數(shù)表coefficientsamodelunstandardized coefficientsstandardized coefficientstsig.correlationsbstd. errorbetazero-orderpartialpart1(constant)4846.45339.650122.231.000經(jīng)濟適用房銷售價格（元）.843.011.12975.310.000.738.452.054北京市生產(chǎn)總值（億元）1.719.0081.780215.917.000.927.824.155居民家庭人均收入（元）.028.002.05416.057.000.903.108.01

36、1人均住宅建筑面積（平方米）-278.8222.324-.425-119.990.000.697-.629-.086房地產(chǎn)開發(fā)投資額(億元)-3.564.039-.645-90.468.000.828-.520-.065保障性住房面積（萬平方米）-4.652.086-.083-53.781.000-.312-.341-.039a. dependent variable: 商品房銷售價格（元）53 用多元線性回歸模型房地產(chǎn)價格趨勢進行仿真并預(yù)測 現(xiàn)題目要求對房地產(chǎn)價格趨勢進行仿真并預(yù)測，則需要先對x1，x2，x4，x5，x6，x10建立預(yù)測模型，然后再y進行仿真預(yù)測。(一)利用曲線估計模型對各項

37、指標擬合，分別建立預(yù)測模型（1） 曲線估計模型原理變量之間的關(guān)系可以是線性的，也可以是非線性的。曲線估計則是研究兩變量間非線性關(guān)系的一種方法，選定一種方程表達的曲線，使得實際數(shù)據(jù)與理論數(shù)據(jù)之間的差異盡可能地小。如果曲線選擇得好，那么可以解釋因變量與自變量的內(nèi)在關(guān)系，并對因變量的預(yù)測有一定的意義。在曲線估計中，可以用數(shù)學(xué)方程來表示的各種曲線的數(shù)目幾乎是沒有限量的。在可能的方程之間，以吻合度而論，也許存在著許多吻合得同樣好的曲線方程。本文使用spss16.0軟件中所提供的10中常見形式的本質(zhì)線性模型，如下表（見表31）所示：表31 常見的本質(zhì)線性模型模型名稱回歸方程變量變換后的線性方程直線（lin

38、ear）y=b0+b1xy=b0+b1x二次曲線（quadratic）y=b0+b1x+b2x2y=b0+b1x+b2x2復(fù)合曲線（compound）y=b0+b1xlny=lnb0+lnb1x增長曲線（growth）y=eb0+b1xlny=b0+b1x對數(shù)曲線（logarithmic）y=b0+b1lnxy=b0+b1lnx三次曲線（cubic）y=b0+b1x+b2x2+b3x3y=b0+b1x+b2x2+b3x3s曲線（s）y=eb0+b1/xlny=b0+b1/x指數(shù)曲線（exponential）y=b0+eb1/xlny=lnb0+b1x逆函數(shù)（inverse）y=b0+b1/xy

39、=b0+b1/x冪函數(shù)（power）y=b0+xb1lny=lnb0+b1lnx（2） 利用曲線估計模型確定曲線 本文通過spss16.0軟件自動完成表31中的十個模型的參數(shù)估計，并輸出回歸方程顯著性檢驗的f和概率p值、判定系數(shù)r2等統(tǒng)計量；最后，以判定系數(shù)為主要依據(jù)選擇其中的最后模型，并進行那個預(yù)測分析。運行結(jié)果如下：經(jīng)濟適用房銷售價格隨時間變化擬合結(jié)果（見表32和圖31）表32 經(jīng)濟適用房銷售價格擬合model summary and parameter estimatesdependent variable:經(jīng)濟適用房銷售價格（元）equationmodel summaryparamet

40、er estimatesr squarefdf1df2sig.constantb1b2b3linear.64116.05919.0032349.327126.718logarithmic.53910.52819.0102286.481517.344inverse.3855.64319.0423441.025-1207.094quadratic.6838.63328.0102653.236-13.54811.689cubic.7969.10737.0081879.015625.965-115.9307.090compound.66017.43419.0022426.5691.040power.5

41、8912.88519.0062361.468.165s.4497.33819.0248.140-.399growth.66017.43419.0027.794.039exponential.66017.43419.0022426.569.039圖31 經(jīng)濟適用房銷售價格擬合圖根據(jù)以上圖表顯示，三次曲線模型擬合得到的f檢驗值為9.107，經(jīng)校正的r2檢驗值為0.796，是上述十個模型中最顯著的曲線關(guān)系，故可以得到經(jīng)濟適用房銷售價格與隨時間變化曲線為：x1=1879.015+625.965t-115.93t2+7.09t3同理，本文得到x2北京市生產(chǎn)總值（運行結(jié)果圖表見附31），x4居民家庭人均收

42、入（運行結(jié)果圖表見附32）， x5新增保障性住房面積（運行結(jié)果圖表見附33）， x6人均住宅建筑面積（運行結(jié)果圖表見附34），x10房地產(chǎn)開發(fā)投資額（運行結(jié)果圖表見附35）五個主要指標隨時間變化曲線擬合結(jié)果，以及北京市商品房銷售價（運行結(jié)果圖表見附36），并且其方差分析的顯著性水平均為0（見表33）。因此得到隨時間變化擬合結(jié)果（見表34）。表33 方差分析的顯著性水平分析correlations商品房銷售價格（元）經(jīng)濟適用房銷售價格（元）北京市生產(chǎn)總值（億元）恩格爾系數(shù)（%）居民家庭人均收入（元）人均住宅建筑面積（平方米）cpi城市化率貸款利率房地產(chǎn)開發(fā)投資額(億元)保障性住房面積（萬平方米）

43、商品房銷售價格（元）p c1.000.738*.927*.189*.903*.697*.164*.406*.479*.828*-.312*sig.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000n2205522055220552205522055220552205522055220552205522055經(jīng)濟適用房銷售價格（元）p c.738*1.000.791*-.054*.848*.701*-.344*.272*.320*.819*.230*sig. .000.000.000.000.000.000.000.000.000.000n22055220552205

44、52205522055220552205522055220552205522055北京市生產(chǎn)總值（億元）pc.927*.791*1.000-.088*.909*.908*.078*.615*.376*.973*-.111*sig. .000.000.000.000.000.000.000.000.000.000n2205522055220552205522055220552205522055220552205522055恩格爾系數(shù)（%）pc.189*-.054*-.088*1.000.248*-.378*.426*-.704*.060*-.233*-.085*sig. .000.000.000

45、.000.000.000.000.000.000.000n2205522055220552205522055220552205522055220552205522055居民家庭人均收入（元）pc.903*.848*.909*.248*1.000.741*.113*.257*.282*.864*.062*sig. .000.000.000.000.000.000.000.000.000.000n2205522055220552205522055220552205522055220552205522055人均住宅建筑面積（平方米）p c.697*.701*.908*-.378*.741*1.000

46、-.032*.752*.256*.958*.081*sig.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000n2205522055220552205522055220552205522055220552205522055cpip c.164*-.344*.078*.426*.113*-.032*1.000.018*.139*-.069*-.357*sig.000.000.000.000.000.000.007.000.000.000n2205522055220552205522055220552205522055220552205522055城市化率p c.406

47、*.272*.615*-.704*.257*.752*.018*1.000.282*.642*-.251*sig.000.000.000.000.000.000.007.000.000.000n2205522055220552205522055220552205522055220552205522055貸款利率p c.479*.320*.376*.060*.282*.256*.139*.282*1.000.283*-.217*sig.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000n2205522055220552205522055220552205522055220552205522055房地產(chǎn)開發(fā)投資額(億元)p c.828*.819*.973*-.233*.864*.958*-.069*.642*.283*1.000.048*sig.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000n2205522055220552205522055220552205522055220552205522055保障性住房面積（萬平