論文對合矩陣

1、長沙學院信息與計算科學系本科生科研訓練對合矩陣系 （部）： 信息與計算科學 專 業(yè)： 數(shù)學與應用數(shù)學 學 號： 2009031121 學生姓名： 陳付平 成 績： 2012 年 月對合矩陣陳付平長沙學院 信息與計算科學系, 湖南 長沙, 410022摘要：對合矩陣的定義、對合矩陣的判定、對合矩陣的幾何意義關鍵詞：對合矩陣、初等變換、秩、相似、特征值、對合變換引言： 對合矩陣是舉陣中的一類矩陣，它在代數(shù)數(shù)學中有著廣泛的應用，本文通過對對合矩陣的介紹，了解對合矩陣的判斷以及對合矩陣的幾何意義。1 對合矩陣的定義：矩陣滿足條件，則稱是對合矩陣。2 對合矩陣的判斷設為矩陣，則下列條件都是為對合矩陣的充

2、要條件：（1）。（2）為對合矩陣。（3）為對合矩陣。（4） （1 p208 3） (5)矩陣相似于形如的方陣。（注：此處kk=1,2,6.表命題出處，見參考文獻）下面我們分別對上述幾個命題進行證明：證明（1）：由對合矩陣的定義，顯然成立。證明（2）： 為對合矩陣為對合矩陣。證明（3）： 為對合矩陣，即。 則 （由（1） 即為對合矩陣。 為對合矩陣，即 （*） 得 有 （*）式兩端同時式乘以，右乘以，得 即 為對合矩陣。證明（4）：考察矩陣 （*） 對（*）式作分塊矩陣的初等變換 由初等變換不改變矩陣的秩 有 即 所以 即 在證明命題（5）之前，先證明幾個命題：命題1、矩陣的特征值等于（考慮它們

3、的重數(shù)）矩陣的特征值的平方。（3 p182 1126）證明：設的所以特征值為 可知 則 證畢。命題2、若為對合矩陣，則的特征值為+1或1.（2 p216 7（2）證明：設是的一個特征值則是的一個特征值 有， 因而 反之的特征值為+1或-1 不能推出a為對合矩陣 反例： 的特征多項式為 則的特征值為1（2重） 但 同理，有的特征值為-1（2重），但 的特征值為-1（2重）， 但命題3、若矩陣適合，則必可對角化。（2 p221 10（1） 證明：，則的特征值為+1或-1。 它們相應的特征子空間為。 考察齊次線性方程組， 它們的解空間分別為。 則 由（4） 知 特征子空間的非零向量均為特征向量， 知

4、有n個線性無關的特征向量。 則可對角化。另證：，則令的最小多項式有 進而的初等因子都是一次的， 說明可對角化。由以上兩個命題，可得，任一對合矩陣必相似于形如的方陣證明（5）：已證。矩陣相似于 即可逆矩陣，使得則 為對合矩陣。命題4、設，都是對合矩陣，則積是對合矩陣的充件條件是與可交換。（4 p508 508）證明：設是對合矩陣即有兩端左乘以，右乘，由，得等式兩端同時乘以，即為對合矩陣 。命題5、與對合矩陣相似的矩陣均為對合矩陣。證明：對合矩陣，設矩陣與相似，即可逆矩陣，使得則即為對合矩陣。命題6：如果是冪等矩陣（），則是對合矩陣。證明：是冪等矩陣，即。則待添加的隱藏文字內(nèi)容3即為對合矩陣。命題

5、7、一方陣如果有下列三個性質(zhì)中的任何兩個性質(zhì)，則必有第三個性質(zhì)：（6） 對稱陣； 正交陣； 對合陣。證明：僅證由，推出，即對稱的正交矩陣為對合矩陣。滿足條件 ，即滿足條件，即則為對合矩陣。3 對合矩陣的幾何意義定義：數(shù)域上線性空間的線性變換稱為對合變換，如，其中是恒等變換。維線性空間中，取定一組基之后，就建立了由數(shù)域上的維線性空間的線性變換到數(shù)域上的矩陣的一個11對應，可知維對合矩陣對應著維線性空間中的對合變換。這里，我們只講對合變換的幾何意義而不考慮線性空間的維數(shù)。 對合變換的幾何意義：是線性空間關于某子空間平行于某補子空間的反射。換句話說： ，并且如果； 。（3）p243 1537）（6

6、p238 例19）證明：分別取使得和的所有的集合作成的和，易證，是的子空間。；??； 。則故可知 由，有由，有則 得。即所以。 例1、設為數(shù)域上矩陣，關于矩陣的加法和數(shù)乘作成的線性空間。定義變換，。則為上的線性變換，求的特征值 ，特征向量及標準形。（6 p288 27） 解：， 由， 知 即為對合變換。為空間的一組基?？臻g的維 數(shù)為。 對合變換在這組基下的矩陣為對合矩陣。 則的特征值為1或-1。 的屬于1的特征向量，由 知特征向量為對稱矩陣，特征子空間有維數(shù)為 的屬于-1的特 征向量，由 知特征向量為反對稱矩陣，特征子間空的維數(shù)為。 因而的若當標準形為。 由于全體對合矩陣所構(gòu)成的集合，對加法和數(shù)乘都不封閉，因而我們不能在環(huán)、群的意義下討論對合矩陣；但我們可以由與對合矩陣相似的矩陣均為對合矩陣，通過所有的可逆矩陣，求出所有同階的對合矩陣；另外，對合矩陣具有十分良好的幾何意義，利用對合矩陣，我們可以考慮空間中的一些保形運動。此外，對合矩陣的多項式具有十分簡單的形式，其最高次數(shù)只能為1，這給我們的計算帶來很大的方便。參考文獻：1 張禾瑞，郝柄新北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組編高等代數(shù)，高等教育出版社，1978年；1 p208 32 姚慕生高等代數(shù)學，復旦大學出版社，2003年；3 普羅斯庫列柯夫，線性代數(shù)習題集（周曉鐘譯），人民