高中數(shù)學“點到平面的距離”教學實錄

1、以點帶面 融會貫通-“點到平面的距離”教學實錄1 背景05年11月，筆者受浙江省教研室、浙江省特級教師協(xié)會的委托，到浙江省麗水市遂昌中學送教，在該校高三（1）班上了一節(jié)立體幾何復習課，參加活動的有麗水市各普通高中的數(shù)學教師代表，課題是空間距離的求法，筆者以2003年全國高考數(shù)學試題（文史類）的第17題（第一個解答題）的第（ii）問為例題，與學生對這個題目進行了的深入的研究、討論、探索通過這堂課，不僅使學生掌握了求點到平面距離的一些常用方法，提高了學生的思維能力，而且讓學生體會數(shù)學發(fā)現(xiàn)的快樂2 點擊各樣距離,聚焦點面距離.教師：我來自千里之外的寧波北侖,中國有句古話,叫做“有緣-”學生：“有緣千

2、是里來相會”，教師：對! 相聚確實是一種緣分，今天我和大家能相聚在這里，也是一種緣分，但愿我們能愉快地度過這45分鐘.且彼此都留下美好的印象.今天我們要討論的話題是如何求距離到現(xiàn)在為止我們已經(jīng)學過那此距離？學生：點到點的距離、點到線的距離、點到面的距離、直線到直線的距離、直線到平面的距離、還有平面到平面的距離等等教師：在空間中特有的距離有哪幾種？學生：異面直線間的距離、直線到平面的距離、點到平面的距離、兩平行平面間的距離教師：即“四大距離”相當于蔣、宋、孔、陳四大家族.都是很重要的,這里有個問題,我今天講課題是點到平面距離,為什么不是其它距離呢?好像我只對點面距離情有獨鐘,你能說出點到平面的距

3、離，是靠什么“什么魅力”把吳老師深深的吸引？你能明白我的心嗎？學生：點面距離最重要!教師：難道其它距離就不重要了嗎?還是讓我們先設法弄清楚這四大家族的關系如何？為什么點面距離是最重要的,先看一看面面距離是如何定義的？學生：兩平行平面公垂線段的長即為兩平行平面間的距離（用講臺桌面和一書本作為模型）.教師：你是如何求兩平行平面間的距離的？ 學生：只要求出其中一個平面內的任意一點到另一個平面的距離即可.教師：即要求面面距離只須求-學生：只須求點面距離.教師：即面面距離可化歸為點面距離讓我們再瞧一瞧線面距離（用教鞭及講臺桌面作為模型）線面距離是如何定義的？學生：直線和平面平行時，直線上的任意一點到平面

4、的距離即為直線到平面的距離.教師：即線面距離必須化歸為點面距離.最后讓我們來看一看異面直線間的距離,(作出圖形)學生：異面直線的公垂線段的長即為異面直線的距離.教師：照理說要求異面直線的距離必須畫出異面直線的公垂線段,但要畫異面直線的公垂線段是一件很不容易的事情,如圖是異面直線,ab是它們的公垂線段,過點b作的平行線,則直線確定的平面和的關系如何?學生：平行!教師：ab和平面m的關系如何?學生：垂直.教師：ab的長即為a到平面m的距離,即為直線到平面m的距離.所以異面直線的距離也可以化歸為線面距離,最終可化歸為點面距離,由此可知,這四個距離中家族中,起決定作用的法人代表是誰?學生：是點面距離.

5、3 給出典型問題,引導學生探索.教師：毫無凝問,點面距離是眾多距離中決定作用的法人代表，是眾多距離中的最耀眼的明星，老師也是追星族,對點面距離情有獨鐘一點也不奇怪了.下面我們設法把這個法人代表搞定.今天我們用一節(jié)課時間就做一個題目，請大家看手頭中的講義，先請大家試著做一做(:學生各自解答講義中的例題,教師在黑板上畫好基本圖形)例題（由2003年全國高考試題改變）已知：正四棱柱中，點為的中點.求:點到平面bde的距離.教師:為了敘述方便,我們所求的點稱為“目標點”，如本題中的目標點為，所涉及的平面稱為目標平面，如本問題的目標平面為平面下面請各位同學試著做一做！4 展示各種解法,總結思想方法.（大

6、約六、七分鐘后）教師：下面請同學們展示一下自己的解法，這種機會是很難得，哪位同學先勇敢地站起來介紹一下自己的解法？好的，請你先說一說總的思路和方法！學生：我是用體積法做的教師：哪就是說沒有畫出垂線段！學生：因為是邊長為的正三角形，所以其面積為，接下去求出三棱錐的體積教師：其體積是如何算？學生：的面積為1，高bc也為1，所以其體積為，點到平面的距離為教師：大家聽清楚了嗎？學生：清楚了.教師：他說得好不好?學生：好!教師：大家鼓勵一下.學生：(掌聲.)教師：我們給這種方法取個名字.學生：運用體積法.教師：運用體積法的解題程序如何.第一步干什么,第二步干什么?學生：先看中一個四面體，再求它的體積，再

7、求出所求點對面的哪個面的面積 （板書：運用體積法 圖形體積面積結論）教師：這是最簡捷的解法,也是最美的解法,如果是考試時解題,我們就可以到此為止了,因為考試解題一題一解即可,且最好能把你的絕活亮出來,越簡捷越好,是以拿到分數(shù)為目的.而平時做題則不同,是以提高能力為目標的，我認為要高考數(shù)學要取得好成績，必須要解決的問題是政策和對策的問題，即所的謂的“上有政策，下有對策”，對于求點面距離這個政策，你還有哪些其它對策呢？今天，不管是漂亮的方法，還是丑陋的方法，都給以亮相的機會，下面接著展示學生：我是用坐標法做的教師：你是如何建立直角坐標系的？學生：以d為原點，用右手坐標系（教師作圖）可經(jīng)得到：,教師

8、：請問你其它點的坐標為何不寫了？學生：寫了也白寫！教師：對寫了也白寫還不如不寫下面干什么事情？學生：求出平面的一個法向量，設法向量為，而,由且，可得法向量為教師：法向量求出以后干什么用呢？學生：可以求出距離了，的長以及它和法向量的夾角都可以知道，由此可得點到平面的距離=教師：我們也給這種解法取個名字，學生：坐標法教師：對，空間坐標法，用空間坐標法的解題程序又如何呢？學生：先建立空間直角坐標系，相關點用坐標表示之，求出目標平面的法向量，再找一條過目標點的斜線段，由內積公式求出它和法向量所成的角，最后終得距離（板書：空間坐標法 建坐標坐標化法向量斜線段算夾角求距離）教師：前面兩位同學的都比較狡猾，

9、沒有按照點面距離的定義，畫出點到線的距離，畫出距離可不可以呢？學生：設正四棱柱兩底面的中心分別; 則只須求出點到平面的距離教師：為什么？學生：因為平面教師：你為什么要把所求的點轉移到點學生：因為點不好商量，過作平面dbe的垂線畫出來，教師：所以我們要讓這個點跑到面的里面,下面說一說你是如何作輔助線的，你怎么說我就怎么畫,如果我是電腦,那么你是鼠標.學生：先證明平面與平面dbe垂直，交線為oe，再作于h,則平面dbe.則即為 點到平面的距離教師：下面問題即化歸到求等腰三角形一腰上的高的問題，這里這不放慢鏡頭了.這種招式也是求點面距離的常用招式,我們也給它取個名字,怎么樣?學生：-教師：這種解法的

10、要點是先逃跑,后作垂線,先實行戰(zhàn)略轉移,再作距離, 學生：逃跑轉移法教師：不夠文明,還是叫平行轉移法吧!平行轉移法的解題的主要步驟如何?學生：第一步,先找一條直線,使目標點可以在這條直線上跑,第二步,找一個好位置再作目標平面的垂線,教師：怎樣才算好位置呢?學生：能畫出垂線的位置教師：“足”是什么，足就是腳，就是要使其有“立足之地”，什么情況下保證有立足之地呢？這里有一個基本的套路，我介紹一下，當兩個平面垂直時，有何重要性質？學生：面面垂直，則線面垂直教師：即當兩個平面垂直時，可在其中一個平面內，過某一點作兩平面交線的垂線（用模型），則這條直線與另一個平面垂直了，剛在為什么我們看上點呢？因為生長

11、在平面中，且平面和基本平面是垂直的（板書：平行轉移法 找線找點畫垂線算距離）教師：用平行轉移法的前提是能找到一條過目標點且與目標平面平行的直線，即為目標點設計一條逃跑的通道，且在這條通道上能找到一個好的點，若不具備這些條件，這種法顯然不靈了是否還有其實它方法？學生：線段的中點為, 到平面的距離為,則點到平面的距離為2.教師：所以只須求出點到平面的距離，用的方法還是轉移法作圖方法如何？學生：由平行轉移法可知，平面和平面垂直，且交線為，作于,則平面.只須求的長即可教師：其解題的基本步驟如何？學生：與平行轉移法差不多教師：還是找線找點畫垂線算距離，但找的線不是平行線，而是過目標點的作目標平面的一條斜

12、線段.這樣做的理論根據(jù)是什么?(教師作圖)學生：理論根據(jù)是相似比,如圖a、b兩點到平面的距離之比等于與的長度之比教師：所以我們把這種方法叫做-學生：比例轉移法（板書：比例轉移法 找線找點畫垂線算距離）教師：平行轉法也好，比例轉移法也罷，執(zhí)行的都是逃跑主義路線，難道這個點真的有怎么臭嗎？過點作平面的垂線難道真的很難嗎？現(xiàn)在我要求大家安慰一下這顆受傷的心，即堅定不移地過點作平面bde的垂線，學生：-教師：垂線段不好作的原因是什么？學生：的腿沒地方去伸了，教師：剛在我們用轉移法時，把目標盯在哪個點上，其實也可以換一個角度，也可以讓基本平面有所表示，畫大一點不就得了學生：延長和交于點g，連接.且.即.

13、 平面.平面平面且交線為. 作于k,則平面,即平面.即為到平面的距離.教師：這種方法可能是比較傻的方法了，它好象是排球比賽中的高點強攻，我們也給一個名字，叫做“直接構作法”，你認為直接構作法的解題的關鍵是什么？學生：能過找到一個過目標點，且與目標平面垂直的平面，教師：找到了又怎樣呢？學生：找到后，只須過目標點，作這個平面和目標平的交線的垂線即可教師：對，面面垂直，則線面垂直.(板書: 直接構作法 找垂面作垂線算距離)5 類比二維問題,猜想距離公式.教師：在三維空間中的求點到平面的距離,相當于在二維空間中的什么問題？學生：相當于求點到直線的距離教師：點到直線的距離的問題我們是已經(jīng)徹底解決了的,既

14、可以定性分析,又可定量分析,在平面解析幾何中,若點的坐標為，直線的方程為：則點p到的距離為多少？學生：, 教師：在平面點的坐標可以用兩個量表示，在空間點的坐標可以用三個量表示,如，在平面中，直線的方程是關于的二元一次方程，可以寫成形如的模樣，那么，在空間，你認為平面的方程應該長啥模樣？學生:猜想平面的方程也是一個關于的三元一次方程,教師：可以寫成怎樣的形式？學生：可以寫成形如的形式教師:如果點,平面，則點到的距離是多少，是否也有類似的公式?請大家大膽猜想學生： ,教師：事實上這個公式也可以給出證明，其證明的思想方法與點到直線的距離 公式的證明方法類似，有興趣的同學不妨去試一試若這個公式可能拿來

15、用，則求點到平面的距離還有第六種方法，即運用公式法下面大家運用這個公式再計算一下本題學生：由空間坐標法的解法可知，平面bde的方程式為:所以其距離為.教師：你認為用公式法求點到平面距離的解題的操作過程式如何？學生：先建立坐標系，再求出目標點的坐標，再求出目標平面的方程，代入公式即得點到平面的距離.(板書：應用公式法 建坐標定坐標定方程代公式得結論)6 再析原題風采,讓其原形畢露.教師：現(xiàn)在還有幾分鐘時間，讓我們再回首，再欣賞一下原題，看了這個圖形，我們是否有似曾相識感覺？學生：教師：我們平時做題，在各年的高考數(shù)學試卷中，出現(xiàn)最多的圖形是正方體，學生：它是由兩個正方體組合面成的，教師：只要過點e

16、把它“一刀兩斷”，即分解為兩個單位正方體了所以本題的原型仍是正方體根據(jù)“比例轉移法”，問題也可化歸為求的中點到平面的距離，即化歸為正方體的一個頂點到某一平面的距離本題事實上是這樣的問題，給定一個正四棱柱，求其中的某一個特定的點到一個特定平面的距離這樣的題目同學們自己也能編，下面請每位同學自己編擬一個類似例題的問題7 進行課堂總結,點評各種方法教師：到現(xiàn)在為至,我們求點到平面的距離已有幾種招式?學生：六招教師：有時招式太多，也有消極的一面，因為在應試中將面臨方法的選擇，有時選擇是一件很痛苦的事情，“六選一”哪就好好痛苦了，所以最后還是把它搞簡單一點為好，我認為求點到平面距離，只要二選一就可以了，

17、要么畫距離，要么不畫距離，若畫距離，你有哪幾招？學生：直接構作法、平行轉移法、比例轉移法.教師:若不畫距離,你又有哪幾招?學生:空間坐標法,運用體積法,應用公式法.教師板書:教師:大家想一想,你認為是畫出距離好?還是不畫距離好?你是如何回答這個問題?學生:-教師:其實,我這個問題是難為大家了,這兩類方法,好比是少林拳和武當劍,你說少林拳和武當劍哪個好?學生:各有千秋,教師:對,我們應該具體情況作具體分析,把少林拳和武當劍溶為一體,這樣才能無敵于天下.8 體驗牛刀小試,破解高考試題.運用上述各種解題對策,解答部分2005年高考數(shù)學試題的點到平面的距離的問題(詳見課后練習)9 總結與反思：本案例中

18、選擇的例題非常具有典型性，通過對這個例題的一題多解，能涵蓋求點到平面距離的所有思想方法，達到一串數(shù)珠的效果；華羅庚先生曾說過，學習數(shù)學有兩個過程：其一是由薄到厚，其二是由厚到薄，在高三復習過程中應是由厚到薄的過程；本案例基本達到這樣的要求一代科學巨匠牛頓曾說過“沒有大膽的猜想，就沒有偉大的發(fā)現(xiàn)”，數(shù)學上的重大發(fā)現(xiàn)離不開大膽的猜想,本案中的點到平面的距離公式的形成不失為是類比推理的一個成功的案例注意講授式教學與探究式教學的有機結合，由于教學時間、教學進度、教學內容、升學壓力等條件的限制，每堂課都搞探究式，在現(xiàn)有的條件下不太可能，但整節(jié)課全用“滿堂灌”式的方法顯然是我們所反對的，因此每節(jié)課中一兩小

19、段的探究還是要堅持的本案例基本能做到既突出學生的主體地位,又發(fā)揮教師的指導作用.由于教學內容的容量較大，課堂上各種解法均沒有給出完整、規(guī)范的解答過程，課后由學生對照閱讀材料自己完成. 對于點到平面的距離公式的證明,在課堂上也沒有給出證明,其實這是一個很好的研究性的材料,本案例中也是以閱讀材料的方式解決,其實在我自己的教學班中的教學中另外再用一課時加以研討.收到了很好的效果.91本設計的幾點說明：設計意圖：空間距離問題是立體幾何中的重點問題之一，而多數(shù)空間距離問題最終可化歸為求點到平面的距離，本課試圖通過對一個典型的各種解法的探討，使學生積累解題經(jīng)驗，掌握求點到平面的距離的一些常用方法在做題的過程中進行反思,在反思中總結、提煉，使學生的解題經(jīng)驗內化為方法