第8講 實際問題與一元一次方程

1、新初一數(shù)學(xué)編寫人：*2011暑期課程講義課程開發(fā)整體方案說明課程名稱初一數(shù)學(xué)秋季班課程定位初一數(shù)學(xué)秋季班總體課程目標1、興趣的培養(yǎng)；2、內(nèi)容的銜接；3、能力的提升；4、學(xué)法的改進。課程適用區(qū)域（省或直轄市）全國非五四制地區(qū)、不參加初中重點班分班入學(xué)考試學(xué)生課程研發(fā)理念和思路本次研發(fā)是在暑假研發(fā)的基礎(chǔ)上，對學(xué)過的小學(xué)和初中的知識的銜接內(nèi)容的一個延伸，是和學(xué)校結(jié)合的重要內(nèi)容，也是本學(xué)期學(xué)生學(xué)習(xí)的一個非常重要的階段，所以，不論是對學(xué)生還是對授課教師都提出了很高的要求，既要注重 培養(yǎng)學(xué)生的基本技能，也要培養(yǎng)學(xué)生的推理性，歸納能力和技巧性；現(xiàn)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容對學(xué)生的抽象思維與邏輯推理方面有較高要求，從

2、學(xué)生的學(xué)習(xí)方法和能力上也有較高要求。同時，在方法上更強調(diào)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力，自我歸納，在知識掌握的同時，逐步提高學(xué)習(xí)的能力。每一講的內(nèi)容都要體現(xiàn)出“重點，難點，疑點”，從每一講的安排上都力求要讓學(xué)生學(xué)到新的知識。課程特色針對學(xué)生心理特征、認知規(guī)律和銜接知識的生長點，在歸納中整理，在整理中拓展。不僅對所學(xué)知識有結(jié)構(gòu)性再認識，也從能力上為進一步學(xué)習(xí)形成過程性結(jié)構(gòu)。同時，還為初一上學(xué)期各章節(jié)內(nèi)容搭建合適的階梯。主要內(nèi)容編號每講標題課程容量第一講有理數(shù)90100分鐘第二講有理數(shù)的運算90100分鐘第三講整式90100分鐘第四講整式的加減90100分鐘第五講從算式到方程90100分鐘第六講解一元一次方程9

3、0100分鐘第七講實際問題與一元一次方程90100分鐘第八講期中綜合復(fù)習(xí)（一）90100分鐘第九講期中綜合復(fù)習(xí)（二）90100分鐘第十講直線，射線，線段90100分鐘第十一講角90100分鐘第十二講相交線 平行線及其判定90100分鐘第十三講平行線的性質(zhì) 平移90100分鐘第十四講期末綜合復(fù)習(xí)（一）90100分鐘第十五講期末綜合復(fù)習(xí)（二）90100分鐘課程使用說明新初一秋季的課，是我們在暑假的基礎(chǔ)之上建立起來的新課程，課程是為了和學(xué)校的銜接而建立的，是我們與學(xué)校的結(jié)合，是對學(xué)校學(xué)習(xí)的一個有意的補充，我們既要查漏補缺，又要建立課程特色，突出自己特點，同時還要加強課程的實用性，新穎性，方法和技巧性

4、。在新知識上，我們設(shè)計的題面更廣，題目更深，突出知識點的結(jié)合。突出對知識的理解和遷移運用能力。結(jié)構(gòu)上的分析，由點及面的學(xué)習(xí)，舉一反三的學(xué)習(xí)是我們安排的亮點，我們深信“教會一種方法比教會一道題更重要”。請老師們時不時翻看中學(xué)的數(shù)學(xué)課本，會有更多理解。注：每講都設(shè)有答案，本答案僅是為了方便教學(xué)和輔導(dǎo)，請僅作參考，若有不當(dāng)敬請諒解。第七講 實際問題與一元一次方程 課程目標1. 加強數(shù)學(xué)建模思想，培養(yǎng)運用一元一次方程分析和解決問題的能力。2. 通過對實際問題的探索過程，體會數(shù)學(xué)的價值。課程重點 利用列方程解決實際問題。課程難點 找出題中暗含的選題關(guān)系，分析方程的解與實際問題是否相符。教學(xué)方法建議 掌握

5、用方程解決實際問題的一般方法，學(xué)會分析題目中的數(shù)量關(guān)系，并能將相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程，求解方程后又能將方程的解轉(zhuǎn)化為實際問題的解答。 【課堂引入】 知識塊基本知識發(fā)散知識綜合方法學(xué)習(xí)說明實際問題與一元一次方程列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟、列一元一次方程解應(yīng)用題。列一元一次方程解應(yīng)用題常見的應(yīng)用題型的歸納、總結(jié)近幾年來，列方程解應(yīng)用題常見于創(chuàng)新題 ，以及與現(xiàn)實生活密切相關(guān)的解答題中。 一， 基礎(chǔ)知識和發(fā)散知識 考點一， 列方程解應(yīng)用題的一般方法和步驟： 列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是從問題中找出一個相等關(guān)系，然后恰當(dāng)?shù)卦O(shè)出未知數(shù)，把相等關(guān)系中的各個量用含有已知數(shù)和未知數(shù)的代數(shù)式表示，這樣就可列出方程。

6、列方程解應(yīng)用題的方法步驟可概括為：（1） 審題：分析題中已知什么，未知什么，明確各量之間的關(guān)系，尋找等量關(guān)系；（2） 設(shè)未知數(shù)，一般是求什么就設(shè)什么為x，但有時也可以設(shè)間接未知數(shù)，就是把題目中與要；求的未知量相關(guān)的另一些量設(shè)為未知數(shù)， 先求出這些量后，再求問題中要求的量；（3） 列方程：把相等關(guān)系左右兩邊的量用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，列出方程；（4） 解方程：求出未知數(shù)的值；（5） 檢驗，看方程的解是否符合題意；（6） 寫出答案（包括單位）。 考點二，常見應(yīng)用題型的歸納總結(jié)1：市場經(jīng)濟、打折銷售問題 （1）商品利潤商品售價商品成本價 （2）商品利潤率100% （3）商品銷售額商品銷售價商品

7、銷售量 （4）商品的銷售利潤（銷售價成本價）銷售量 （5）商品打幾折出售，就是按原標價的百分之幾十出售，如商品打8折出售，即按原標價的80%出售例1. 某商店開張，為了吸引顧客，所有商品一律按八折優(yōu)惠出售，已知某種皮鞋進價60元一雙，八折出售后商家獲利潤率為40%，問這種皮鞋標價是多少元？優(yōu)惠價是多少元？ 分析通過列表分析已知條件，找到等量關(guān)系式進價折扣率標價優(yōu)惠價利潤率60元8折X元80%X40%等量關(guān)系：商品利潤率=商品利潤/商品進價 解：設(shè)標價是X元，解之：x=105優(yōu)惠價為例2. 一家商店將某種服裝按進價提高40%后標價，又以8折優(yōu)惠賣出，結(jié)果每件仍獲利15元，這種服裝每件的進價是多少

8、？分析探究題目中隱含的條件是關(guān)鍵，可直接設(shè)出成本為X元進價折扣率標價優(yōu)惠價利潤X元8折（1+40%）X元80%（1+40%）X15元等量關(guān)系：（利潤=折扣后價格進價）折扣后價格進價=15解：設(shè)進價為X元，80%X（1+40%）X=15，X=125答：進價是125元。課堂練習(xí)：1一種商品進價為50元，為賺取20%的利潤，該商品的標價為_元2某商品的標價為220元，九折賣出后盈利10%，則該商品的進價為_元3某種商品若按標價的8折出售可獲利20%，若按原標價出售，則可獲利（ ）A25% B40% C50% D1 4兩件商品都賣84元，其中一件虧本20%，另一件贏利40%，則兩件商品賣后（ ）A贏利

9、16.8元 B虧本3元 C贏利3元 D不贏不虧5.一家商店將一種自行車按進價提高45%后標價，又以八折優(yōu)惠賣出，結(jié)果每輛仍獲利50元，這種自行車每輛的進價是多少元？若設(shè)這種自行車每輛的進價是x元，那么所列方程為（ ）A.45%（1+80%）x-x=50 B. 80%（1+45%）x - x = 50C. x-80%（1+45%）x = 50 D.80%（1-45%）x - x = 50參考答案：1. 60；2. 180；3. C；4. B. 2： 方案選擇問題一件產(chǎn)品（或一項工作）在生產(chǎn)（或進行）時，常常要有一種或幾種設(shè)計方案，從中選擇出一個最優(yōu)方案，這種問題通常稱之為優(yōu)化設(shè)計問題或最優(yōu)方案選

10、擇問題。例：某蔬菜公司的一種綠色蔬菜，若在市場上直接銷售，每噸利潤為1000元，經(jīng)粗加工后銷售，每噸利潤可達4500元，經(jīng)精加工后銷售，每噸利潤漲至7500元，當(dāng)?shù)匾患夜臼召忂@種蔬菜140噸，該公司的加工生產(chǎn)能力是： 如果對蔬菜進行精加工，每天可加工16噸，如果進行精加工，每天可加工6噸，但兩種加工方式不能同時進行，受季度等條件限制，公司必須在15天將這批蔬菜全部銷售或加工完畢，為此公司研制了三種可行方案： 方案一：將蔬菜全部進行粗加工 方案二：盡可能多地對蔬菜進行粗加工，沒來得及進行加工的蔬菜，在市場上直接銷售 方案三：將部分蔬菜進行精加工，其余蔬菜進行粗加工，并恰好15天完成你認為哪種方

11、案獲利最多？為什么？解：方案一：獲利1404500=（元） 方案二：獲利1567500+（140-156）1000=（元） 方案三：設(shè)精加工x噸，則粗加工（140-x）噸 依題意得=15 解得x=60 獲利607500+（140-60）4500=（元） 因為第三種獲利最多，所以應(yīng)選擇方案三 課堂練習(xí)： 1某市移動通訊公司開設(shè)了兩種通訊業(yè)務(wù)：“全球通”使用者先繳50元月基礎(chǔ)費，然后每通話1分鐘，再付電話費0.2元；“神州行”不繳月基礎(chǔ)費，每通話1分鐘需付話費0.4元（這里均指市內(nèi)電話）若一個月內(nèi)通話x分鐘，兩種通話方式的費用分別為y1元和y2元 （1）寫出y1，y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式（即等式）

12、 （2）一個月內(nèi)通話多少分鐘，兩種通話方式的費用相同？ （3）若某人預(yù)計一個月內(nèi)使用話費120元，則應(yīng)選擇哪一種通話方式較合算？ 2某地區(qū)居民生活用電基本價格為每千瓦時0.40元，若每月用電量超過a千瓦時，則超過部分按基本電價的70%收費 （1）某戶八月份用電84千瓦時，共交電費30.72元，求a（2）若該用戶九月份的平均電費為0.36元，則九月份共用電多少千瓦時？應(yīng)交電費是多少元？ 參考答案：1. 解：（1）y1=0.2x+50，y2=0.4x （2）由y1=y2得0.2x+50=0.4x，解得x=250 即當(dāng)一個月內(nèi)通話250分鐘時，兩種通話方式的費用相同 （3）由0.2x+50=120，

13、解得x=350 由0.4x+50=120，得x=300 因為350300 故第一種通話方式比較合算2. 解：（1）由題意，得 0.4a+（84-a）0.4070%=30.72 解得a=60 （2）設(shè)九月份共用電x千瓦時，則 0.4060+（x-60）0.4070%=0.36x 解得x=90 所以0.3690=32.40（元） 答：九月份共用電90千瓦時，應(yīng)交電費32.40元3： 行程問題的意義路程、速度、時間三者關(guān)系為：，也可得兩個變形式：（路程、速度、時間的單位分別是） 行船問題：平均速度問題：例1. 甲、乙兩站相距480公里，一列慢車從甲站開出，每小時行90公里，一列快車從乙站開出，每小時

14、行140公里。 （1）慢車先開出1小時，快車再開。兩車相向而行。問快車開出多少小時后兩車相遇？ （2）兩車同時開出，相背而行多少小時后兩車相距600公里？ （3）兩車同時開出，慢車在快車后面同向而行，多少小時后快車與慢車相距600公里？ （4）兩車同時開出同向而行，快車在慢車的后面，多少小時后快車追上慢車？ （5）慢車開出1小時后兩車同向而行，快車在慢車后面，快車開出后多少小時追上慢車？ 此題關(guān)鍵是要理解清楚相向、相背、同向等的含義，弄清行駛過程。故可結(jié)合圖形分析。 （1）分析：相遇問題，畫圖表示為： 等量關(guān)系是：慢車走的路程+快車走的路程=480公里。解：設(shè)快車開出x小時后兩車相遇，由題意得

15、，140x+90(x+1)=480 解這個方程，230x=390 答：快車開出小時兩車相遇分析：相背而行，畫圖表示為：等量關(guān)系是：兩車所走的路程和+480公里=600公里。 解：設(shè)x小時后兩車相距600公里，由題意得，(140+90)x+480=600解這個方程，230x=120 x= 答：小時后兩車相距600公里。 （3）分析：等量關(guān)系為：快車所走路程慢車所走路程+480公里=600公里。 解：設(shè)x小時后兩車相距600公里，由題意得，(14090)x+480=600 50x=120 x=2.4 答：2.4小時后兩車相距600公里。 分析：追及問題，畫圖表示為：等量關(guān)系為：快車的路程=慢車走的

16、路程+480公里。 解：設(shè)x小時后快車追上慢車。 由題意得，140x=90x+480 解這個方程，50x=480 x=9.6答：9.6小時后快車追上慢車。分析：追及問題，等量關(guān)系為：快車的路程=慢車走的路程+480公里。解：設(shè)快車開出x小時后追上慢車。由題意得，140x=90(x+1)+480 50x=570 x=11.4 答：快車開出11.4小時后追上慢車。 例2. 甲乙兩人在同一道路上從相距5千米的A、B兩地同向而行，甲的速度為5千米/小時，乙的速度為3千米/小時，甲帶著一只狗，當(dāng)甲追乙時，狗先追上乙，再返回遇上甲，再返回追上乙，依次反復(fù)，直至甲追上乙為止，已知狗的速度為15千米/小時，求

17、此過程中，狗跑的總路程是多少？分析追擊問題，不能直接求出狗的總路程，但間接的問題轉(zhuǎn)化成甲乙兩人的追擊問題。狗跑的總路程=它的速度時間，而它用的總時間就是甲追上乙的時間解：設(shè)甲用X小時追上乙，根據(jù)題意列方程 5X=3X+5 解得X=2.5，狗的總路程：152.5=37.5答：狗的總路程是37.5千米。例3. 某船從A地順流而下到達B地，然后逆流返回，到達A、B兩地之間的C地，一共航行了7小時，已知此船在靜水中的速度為8千米/時，水流速度為2千米/時。A、C兩地之間的路程為10千米，求A、B兩地之間的路程。 分析這屬于行船問題，這類問題中要弄清：（1）順水速度=船在靜水中的速度+水流速度；（2）逆

18、水速度=船在靜水中的速度水流速度。相等關(guān)系為：順流航行的時間+逆流航行的時間=7小時。 解：設(shè)A、B兩碼頭之間的航程為x千米，則B、C間的航程為(x-10)千米， 由題意得， 答：A、B兩地之間的路程為32.5千米。 課堂練習(xí) 1 有一火車以每分鐘600米的速度要過完第一、第二兩座鐵橋，過第二鐵橋比過第一鐵橋需多5秒，又知第二鐵橋的長度比第一鐵橋長度的2倍短50米，試求各鐵橋的長2. 已知甲、乙兩地相距120千米，乙的速度比甲每小時快1千米，甲先從A地出發(fā)2小時后，乙從B地出發(fā)，與甲相向而行經(jīng)過10小時后相遇，求甲乙的速度？3. 一隊學(xué)生去軍事訓(xùn)練，走到半路，隊長有事要從隊頭通知到隊尾，通訊員

19、以18米/分的速度從隊頭至隊尾又返回，已知隊伍的行進速度為14米/分。問：若已知隊長320米，則通訊員幾分鐘返回？若已知通訊員用了25分鐘，則隊長為多少米？參考答案：1. 解：設(shè)第一鐵橋的長為x米，那么第二鐵橋的長為（2x-50）米，過完第一鐵橋所需的時間為分過完第二鐵橋所需的時間為分依題意，可列出方程 += 解方程x+50=2x-50 得x=100 2x-50=2100-50=150 答：第一鐵橋長100米，第二鐵橋長150米2. 設(shè)甲的速度為千米/小時，依題意得， 3. （1） （2） 4. 銀行存貸問題（1）顧客存入銀行的錢叫做本金，銀行付給顧客的酬金叫利息，本金和利息合稱本息和，存入銀

20、行的時間叫做期數(shù)，利息與本金的比叫做利率。利息的20%付利息稅（2）利息=本金利率期數(shù) 本息和=本金+利息 利息稅=利息稅率（20%）（3）例1. 某同學(xué)把250元錢存入銀行，整存整取，存期為半年。半年后共得本息和252.7元，求銀行半年期的年利率是多少？（不計利息稅）分析等量關(guān)系：本息和=本金（1+利率）解：設(shè)半年期的實際利率為X，依題意得方程250（1+X）=252.7， 解得X=0.0108所以年利率為0.01082=0.0216 答：銀行的年利率是21.6%一年2.25三年2.70六年2.88例2. 為了準備6年后小明上大學(xué)的學(xué)費20000元，他的父親現(xiàn)在就參加了教育儲蓄，下面有三種教育儲蓄方式：（1）直接存入一個6年期；（2）先存入一個三年期，3年后將本息和自動轉(zhuǎn)存一個三年期；（3）先存入一個一年期的，后將本息和自動轉(zhuǎn)存下一個一年期；你認為哪種教育儲蓄方式開始存入的本金比較少？ 分析這種比較幾種方案哪種合理的題目，我們可以分別計算出每種教育儲蓄的本金是多少，再進行比較。解：（1）設(shè)存入一個6年的本金是X元,依題意得方程X（1+62.88%）=20000，解得X