章末綜合測評(三)推理與證明學(xué)習(xí)專用

1、教育資源章末綜合測評 (三 )推理與證明(時間 120 分鐘，滿分 150 分)一、選擇題 (本大題共 12小題，每小題 5分，共 60 分在每小題給出的四 個選項中，只有一項是符合題目要求的 )1下面四個推理不是合情推理的是 ( )A 由圓的性質(zhì)類比推出球的有關(guān)性質(zhì)B 由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和都是180歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是 180C 某次考試張軍的成績是100分，由此推出全班同學(xué)的成績都是 100分D 蛇、海龜、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龜、蜥蜴是爬行動物，所以所有 的爬行動物都是用肺呼吸的【解析】 逐項分析可知， A 項屬于類比推理， B 項和 D 項屬于歸納推理

2、，而 C 項中各個學(xué)生的成績不能類比，不是合情推理【答案】 C2用反證法證明命題“若直線 AB， CD 是異面直線，則直線 AC， BD 也是 異面直線”的過程歸納為以下三個步驟： 則 A， B， C， D 四點共面，所以 AB， CD 共面，這與 AB， CD 是異面直 線矛盾； 所以假設(shè)錯誤，即直線 AC, BD也是異面直線； 假設(shè)直線 AC， BD 是共面直線則正確的序號順序為 ()A B C.D 【解析】結(jié)合反證法的證明步驟可知，其正確步驟為 【答案】 B3下列推理是歸納推理的是 ()A . A，B為定點，動點P滿足|FA|+ |PB| = 2a|AB|，得P的軌跡為橢圓B由ai =

3、1, an= 3n-1,求出Si, S2,猜想出數(shù)列的前n項和Sn的表達式2 2C.由圓x2 + y2= r2的面積n2，猜出橢圓拿+猙=1的面積S= nibD .科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇【解析】由歸納推理的特點知，選B.【答案】B4. 用反證法證明“ a, b, c中至少有一個大于0”，下列假設(shè)正確的是()A .假設(shè)a, b, c都小于0B. 假設(shè)a, b, c都大于0C. 假設(shè)a, b, c中都不大于0D .假設(shè)a, b, c中至多有一個大于0【解析】用反證法證明a, b, c中至少有一個大于0”，應(yīng)先假設(shè)要證命題的否定成立.而要證命題的否定為 假設(shè)a, b, c中都不大于0”，故選

4、C.【答案】 C5. 下面給出了四個類比推理. a, b為實數(shù)，若a2+ b2= 0則a= b = 0;類比推出：zi, Z2為復(fù)數(shù)，若zi+ Z2= 0,貝U Zi = Z2= 0; 若數(shù)列an是等差數(shù)列，bn= n(ai + a2 + a3+ an),則數(shù)列bn也是等差 數(shù)列；類比推出：若數(shù)列6是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，dn= n C1C2C3-G，則數(shù) 列dn也是等比數(shù)列； 若a, b, c R，則(ab)c= a(bc)；類比推出：若a, b, c為三個向量，則(a b) c= a (b c)； 若圓的半徑為a,則圓的面積為 n2；類比推出：若橢圓的長半軸長為 a, 短半軸長為b,則橢

5、圓的面積為 nb.上述四個推理中，結(jié)論正確的是()A .B .C D 【解析】 在復(fù)數(shù)集C中，若zi, Z2 C, z1 + 0,則可能乙=1且Z2 二i，故錯誤；在類比等差數(shù)列性質(zhì)推理等比數(shù)列性質(zhì)時，一般思路有：由加 法類比推理為乘法, 由減法類比推理為除法, 由算術(shù)平均數(shù)類比推理為幾何平均 數(shù)等，故正確；由于向量的數(shù)量積運算結(jié)合律不成立，錯誤；若圓的半徑為 a,則圓的面積為 2;類比推出，若橢圓長半軸長為 a，短半軸長為b，則橢圓 面積為nb，正確.【答案】 D6. 將平面向量的數(shù)量積運算與實數(shù)的乘法運算相類比，易得下列結(jié)論： a b = b a ；(a b) c = a (b c)； a

6、 (b+ c) = a b + a c ；由 a b= a c( a 0) 可得b= c.以上通過類比得到的結(jié)論正確的個數(shù)為 ()A . 1B. 2C. 3D. 4【解析】 平面向量的數(shù)量積的運算滿足交換律和分配律，不滿足結(jié)合律，故正確，錯誤；由 a b= a c(aM0)得a (b-c)= 0，從而b- c= 0或a丄(bc)，故錯誤.故選B.【答案】 B7. 已知bn為等比數(shù)列，b5 = 2，貝U bi b2 b3 b4 b5 b6 b7 b8 b9 = 29若an為等差數(shù)列，a5 = 2，則an的類似結(jié)論為()A . aia2a3a9 = 299B. ai + a2 + a3+ a9=

7、2C. aa2a3 a9 = 2 x 9D. a1 + a2 + a3+ a9= 2 x 9【解析】 根據(jù)等差、等比數(shù)列的特征知，a1 + a2+ + a9= 2x 9.【答案】 D8. 袋中裝有偶數(shù)個球， 其中紅球、黑球各占一半. 甲、乙、丙是三個空盒. 每 次從袋中任意取出兩個球，將其中一個球放入甲盒，如果這個球是紅球， 就將另 一個球放入乙盒， 否則就放入丙盒重復(fù)上述過程，直到袋中所有球都被放入盒 中，則 ( )A 乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B .乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多C 乙盒中紅球不多于丙盒中紅球D .乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多【解析】 取兩個球往盒子中放有 4種情況： 紅+紅

8、，則乙盒中紅球數(shù)加 1; 黑+黑，則丙盒中黑球數(shù)加1； 紅+黑 (紅球放入甲盒中 )，則乙盒中黑球數(shù)加 1； 黑+紅 (黑球放入甲盒中 )，則丙盒中紅球數(shù)加 1.因為紅球和黑球個數(shù)一樣 多，所以和的情況一樣多，和的情況完全隨機.和對 B 選項中的乙盒中的紅球數(shù)與丙盒中的黑球數(shù)沒有任何影響.和出現(xiàn)的次數(shù)是一樣的，所以對B選項中的乙盒中的紅球數(shù)與丙盒中的黑球數(shù)的影響次數(shù)一樣.綜上，選 B.【答案】 B9. 在等差數(shù)列an中，若aio= 0，則有等式ai + &+ an= ai+比+十 ai9 -n(n0,則lg 2- 尹一；（2） 6+ 102 3 + 2.【證明】a+ b (1)當(dāng) a, b0

9、時，有 2 A ab,a+ b lg 2lg ab,a+ b ilg a+ lg b lg 22lg ab=2要證一 6+ 102.3+ 2, 只要證(6+ 10)2(2 3 + 2)2,即2,602,48,這是顯然成立的,所以，原不等式成立.18.（本小題滿分12分）觀察以下各等式:2 2sin 300 + cos 60 + sin 30 cos 6034,sin220 + cos250 + sin 20 cOs 50422sin 15 + cos 45 + sin 15 cbs 4534.分析上述各式的共同特點，猜想出反映一般規(guī)律的等式，并對等式的正確性 作出證明.223【解】 猜想：si

10、n a+ cos ( a+ 30) + sin ocos(a+ 30) = 4.證明如下:2 2sin a+ cos ( a+ 30) + sin ocos(a+ 30)+ sin a去s a- 2sin a232312=sin a+ 4COS a-psin acos a+ &sin a+磊in acos a 知2 a二 4sin2 a+ 4coh34.19. (本小題滿分12分)點P為斜三棱柱ABC-AiBiCi的側(cè)棱BBi上一點，PM 丄BBi交AAi于點M， PN丄BBi交CCi于點N.(1) 求證：CCi 丄 MN ;(2) 在任意 DEF中有余弦定理：DE DF2+ EF2 2DF

11、EF cos/ DFE.擴展 到空間類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱的三個側(cè)面面積與其中兩個側(cè)面所 成的二面角之間的關(guān)系式，并予以證明.【解】(1)證明：因為 PMJBBi，PNJBBi，又 PM A PN = P，所以BBi丄平面PMN,所以BBi JMN.又 CCi /BBi，所以 CCi JMN.在斜三棱柱 ABC-AiBiCi 中，有 SABBiAi = S2BCCiBi + SACCiAi 2SBCCi Bi SACCi Ai cos a其中a為平面BCCiBi與平面ACCiAi所成的二面角.證明如下:因為CCiJ平面PMN，所以上述的二面角的平面角為/ MNP.在PMN中，2 2

12、 2因為 PM = PN + MN 2PN MNcos/MNP，所以 PM2 CCi = PN2 CCi + MN2 CCi 2(PN CCi) (MN CCi)cosJVINP，由于 SBCCiBi = PN CCi, SACCiAi = MN CCi,SABB1A1 = PM BBi= PM CC1,2 2 2所以 SABBiAi = SBCC1B1 + SACC1A1- 2SBCC1B1 SACC1A1 COS a20. （本小題滿分12分）如圖4,在三棱錐P-ABC中，D, E, F分別為棱PC,AC, AB 的中點.已知 PA丄AC, PA= 6, BC = 8, DF = 5.求證

13、：(1) 直線FA/平面DEF ;(2) 平面BDE丄平面ABC.【證明】(1)因為D , E分別為棱PC, AC的中點，所以DE /A.又因為PA平面DEF , DE 平面DEF ,所以直線PA/平面DEF.(2)因為D , E, F分別為棱PC, AC, AB的中點，PA= 6, BC = 8,所以DE1 1/FA, DE= 2PA= 3, EF = qBS4.又因為 DF = 5,故 DF2= DE2+ EF2,所以/DEF = 90 即 DE JEF.又 PA JAC, DE/PA，所以 DEJAC.因為 ACA EF= E, AC 平面 ABC, EF 平面 ABC,所以DE丄平面A

14、BC.又DE 平面BDE,所以平面BDE丄平面ABC.1/ n1 ,a21. (本小題滿分 12 分)在數(shù)列an中，a1 = 1, a2= 4，且 9n+1 = n_ a (n2).(1)求a3, a4，猜想an的表達式，并加以證明；1 1【解】容易求得：a3 = 7， 04 = 101故可以猜想an=二，佃+.下面利用數(shù)學(xué)歸納法加以證明：顯然當(dāng)n= 1,2,3,4時，結(jié)論成立,假設(shè)當(dāng)n = k(k4, k6 +)時，結(jié)論也成立，即1ak=3k 2那么當(dāng)n= k+ 1時，由題設(shè)與歸納假設(shè)可知:1k 1 x -k 1 ak3k 2k-亠3k 2ak+1 =k akk 1k 1_ 3k2 2k 1

15、3k+ 1 k 13k+ 1_ 3 k+ 1 2即當(dāng)n_k+ 1時，結(jié)論也成立，綜上，對任意1 、n N +， an_成立.3n 2(2)證明:所以 bl+ b2 + + bn二3【(4 1)+ ( .7 4)+ ( .10 . 7)+ ( ：3n+ 1乜n-2)二3 ；3n+ 1-1),所以只需要證明 1(3n+ 1 1) :3n+ 1 3n+ 1? 3n+ 13n+ 2,3n+ 1? 00).【導(dǎo)學(xué)號: 67720192】求f(x)的單調(diào)區(qū)間；* * 1 (2)記xi為f(x)的從小到大的第i(i N)個零點，證明：對一切n N，有;2+ I+益0,此時 f (x)0;當(dāng) xq(2k+ 1) n (2k + 2) n k()時，sinx0.故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(2k n (2k+1) n k(3)，單調(diào)遞增區(qū)間為(2k+ 1) n(2k + 2) n k(6) 由(1)知，f(x)在區(qū)間(0, n上單調(diào)遞減.又= 0，故 X1 = 2-當(dāng) n6*時，因為 f(nn f(n+ 1) n)=(1)nnn+