積化和差與和差化積公式資料

1、1積化和差與和差化積公式、和角、倍半角公式復(fù)習(xí)課、基本公式復(fù)習(xí)1、兩角和與差公式及規(guī)律 sin（:二 I） =sin ： cosL1 二cos： sin :. cos 二 IJ = cos： cos ：千sin ： sin :.tan（-二 l ：,）tan： - tan ：1 tan ： tan : 2二倍角公式及規(guī)律sin 2，sin 22sin 2： - 2sin-icos-匚.= cos,sin. 1 - sin = （sincos ）.2cos 口2cos。222 2cos2： -cos sin :2= 2cos - -12=12si n :.=1 cos：2cos2 二.22sin

2、.I. 2tan 2：2ta n：21 -tan :2 a1+cos。cos =2 2.21-cosP（sin2 22 1-cos tan _ =i 2 1 + cos3、積化和差與和差化積公式=1 二cos：2cos222sin2 ：L 22 ：1 cos：cos2 2.2 ：1 - cos：sin2 22：1-cos-tan21 + co曲sin : cossin(:亠,)sin(：-).1cos： sinsin(:亠,)sin(：-).1cos： cos cos(_：1 .-) cos(-).1sin ： sincos(圧亠 I )cos(： - ：). a + P a - Psin ：

3、亠 sin ： =2sincos .2 2 住 ca +Pa -Pcost cos： =2coscos2 2 a a + P a -P sin ： - sin - 2cos sin .2 2a +P . a _Pcos： -cos - - -2sinsin2 2生動(dòng)的口訣：（和差化積）口訣正加正，正在前，余加余，余并肩 正減正，余在前，余減余，負(fù)正弦 反之亦然8-0cos -和差化積公式是積化和差公式的逆用形式，要注意的是： 其中前兩個(gè)公式可合并為一個(gè)：sin 0 +sin =2sin 積化和差公式的推導(dǎo)用了“解方程組”的思想，和差化積公式的推導(dǎo)用了“換元”思想 只有系數(shù)絕對(duì)值相同的同名函數(shù)的

4、和與差，才能直接運(yùn)用公式化成積的形 式，如果一個(gè)正弦與一個(gè)余弦的和或差，則要先用誘導(dǎo)公式化成同名函數(shù)后再運(yùn) 用公式化積。 合一變形也是一種和差化積 三角函數(shù)的和差化積，可以理解為代數(shù)中的因式分解，因此，因式分解在 代數(shù)中起什么作用，和差化積公式在三角中就起什么作用。3、積化和差與積差化積是一種孿生兄弟，不可分離，在解題過(guò)程中，要切實(shí) 注意兩者的交替使用。如在一般情況下，遇有正、余弦函數(shù)的平方，要先考慮降 幕公式，然后應(yīng)用和差化積、積化和差公式交替使用進(jìn)行化簡(jiǎn)或計(jì)算。和積互化 公式其基本功能在于：當(dāng)和、積互化時(shí)，角度要重新組合，因此有可能產(chǎn)生特殊 角；結(jié)構(gòu)將變化，因此有可能產(chǎn)生互消項(xiàng)或互約因式，

5、從而利于化簡(jiǎn)求值。正因 為如此“和、積互化”是三角恒等變形的一種基本手段。sin a +sin B =2sin( a +B )/2 cos( a - B )/2的證明過(guò)程因?yàn)閟in(a + B )=sina cosB +cosa sinB，sin(a - B )=sina cosB - cosa sinB，將以上兩式的左右兩邊分別相加，得sin( a + B )+sin( a - B )=2sina cos B，設(shè) a + B = B, a - B = 那么a =( 9 + )/2, B = (9 - )/29 - ) /2 把a(bǔ),B的值代入，即得sin 9 +sin =2sin ( 9 +

6、)/2 cos( cos( a - B )-COS( a + B )=(cos a cos B +sin a sin B )-(cos a cos B -sin a sin B ) =2sin a sin Bsin a sin B =-1/2-2sin a sin B =-1/2(cosa cos B -sin a sin B )-(cos a cos B +sin a sin B )=-1/2cos(a + B )-cos( a - B )其他的3個(gè)式子也是相同的證明方法。4、萬(wàn)能公式sin :-二_ ot2ta n 22 a1 ta n cosj1- tan2 2tan :-二_ a2ta

7、 n 2sin :-證：sin :1cos a cos：1tan ；: - sjncos2 a1 ta n 2 a1 - ta n 2a a2sin cos2 2sin2cos2 2 22 . 2cos sin 2 2sin2-cos2 二2 2aa2sin - cos22_2 . 2 cos sin -2 2a2ta n 21 ta n2 -22 a1 - ta n2 22 a1ta n2 2a2ta n 2_2 a1-ta n 2注意：1、上述三個(gè)公式統(tǒng)稱(chēng)為萬(wàn)能公式2、這個(gè)公式的本質(zhì)是用半角的正切表示正弦、余弦、正切，即：所以利用它對(duì) 三角式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值、證明，可以使解題過(guò)程簡(jiǎn)潔3、上述

8、公式左右兩邊定義域發(fā)生了變化，由左向右定義域縮小。、應(yīng)注意的問(wèn)題1、兩角差的余弦公式是本章中其余公式的基礎(chǔ)，應(yīng)記準(zhǔn)該公式的形式2、 倍角公式 cos2= 2cos2-1 =1-2sin2有升、降幕的功能，如果升幕,則角減半，如果降幕，則角加倍，根據(jù)條件靈活選用 3、公式的“三用”（順用、逆用、變用）是熟練進(jìn)行三角變形的前提 3、整體原則 從角度關(guān)系、函數(shù)名稱(chēng)差異、式子結(jié)構(gòu)特征分析入手，尋求 三角變形的思維指向；4、角度配湊方法，其中:-/是任意角。a a 仕 仕a + P a - P a + P P -a:-=| ) 一 ：=： 一(-：)=2 2 2cccca + P a2:=(很亠，)C

9、-)=(，-(-：)=2(-三、例題講解:5例1已知a，B均為銳角，sin a =，sin -5解析：由已知條件有cos a f5, co加0，又 cos( a + B )=cos a cos B -sin a sin B二2 3105 X5105102門(mén)盲 0，所以二-4P_ 2亠2(2 2，求a10+ B的值。且 OVa + B -都是銳角,23解析：由已知條件有v2 :v ，又sin2:=-2 則cos2 : = 1 -sin2 2:13，=j-(3)22、2因?yàn)镺v sin21二一 V3所以O(shè)v2aV6，所以v兀。12所以ji-v -2由、得nVa - o12又因?yàn)閏os （a-卩）=

10、2，所以。所以 sin（：； j）二 一 .1 cos2（：2從而 cos( a + B )=cos2 a -( a - B )=cos2a cos( a - B )+sin2 a sin( a - B )2 2 1 1x x3 232 . 2 3評(píng)析：本例通過(guò)Ov sin21 13 v ，發(fā)現(xiàn)了隱含條件:兀宀00,所以 tan av 0, tan B 0又因?yàn)镴TtJE JEv ： v ， v iy ,222 2所以 _ v 0 ,所以 sin 二-cos= 53“未知 sin, - cos：”的聯(lián)系是“ （sin+ 4sin a cosot ，從而目標(biāo)是求出 sina，CO曲 的值.注:

11、“已知 si nt cos”與2=（sin ： -cos ：）42很亠cos ）例11 已知si nd=4，ta n（ ）=1,且是第二象限的角，求tan.5解：T二是第二象限的角，si nr34二 cos ，即 tan53 tan，tan（一 =旦一7 .1 +tan（日+，tan 日注：“未知”與“已知昇和“已知的聯(lián)系顯然是”.例12已知cos（:令且訂3r，求sin2 ._-2138S2（?。﹟，sin2：=sin（：；-T：）（x I）=sin（圧 T） cos（x）cos（:T：）sin（:），=_3 旦+（_4）.5 =5 135 13注：“未知2”與“ 2 = （： T） （-）

12、 ”.1例13已知sin壽sin ：=4解：解法一:sin ： 亠 sin ： =1 =4口 1COS 工 cos :2 . - 2一 1 sin ： 2sin ： sin sin 16 cos 2cos： cosCOS2 討+得：cos(-)-一263 ；288 31 一得：cos2二亠cos22cos（： 亠卩）=9即2cos（黒亠卩）cos（- -） 2cos（黒亠卩）1447所以cos（ ：亠）=288cos（： - J 125 解法二：把已知和差化積得：sin 二 sin =-=41一3 COS 工 cos :2 +2得:12sincos2241 2cos cos2232 a - B

13、 _ 25cos 2144，25即 21 COS(: - 9 -,144/ Rx 263cos(匚-)=-288二32- 42 a + P1 tan 二7二2251 tan 2注：求cosC-)利用方法一簡(jiǎn)單，求cos(二 .-)利用方法二簡(jiǎn)單. 已知兩角的正余弦的和與差， 方后求和與差.【課堂練習(xí)1】1 . COS105。的值為A 6 + 2A4*得：tanD.2.對(duì)于任何a、般地, 求兩角和與差的正余弦，往往采用和差化積或者平.6 2B ）與sin a +sin B的大小關(guān)系是 （）A. sin( a +B ) sin a +sin B B . sin( a + B ) sin a +si

14、n BC. sin( a +B )=sin a +sin BD.要以a、B的具體值而定3.已知n03n2，sin2 0 =a,則sin0 +cos 0等于A.a+1a+1a2+1D . a2+14.1已知 tan a =3，tanB =3 貝U cot( a +2B )=5.1已知 tanx=2，貝U cos2x=15 . 1 tan 011 + tan 0課堂練習(xí)2】【求下列各式的值1. cos200 cos80 +cos110 cos101 _2 . 2 (cos15 + 3 sin 15 )3. 化簡(jiǎn) 1+2cos2 0 cos2 0 =.-x)=4 . cos(20 +x)cos(25

15、 x) cos(70 x)sin(25【課后反饋1】1 .已知0 a7tn, sin acos( a則sin B等于A. 0.0 或 2424252.sin7cos7+cos15sin 15sin8si n8o的值等于A. 2+ . 32- 32 ABC)3sinA+4cosB=6 ,4si nB+3cosA=1C的大小為n 14. 若a是銳角，且Sin( a )= 3，貝U COS a的值是n 2 n 3 n5. coscoscos16.已知 tan 0 =2,ta n =3,且0、都是銳角.求證：0+ =457.已知 COS( a B )=4 4 口,COS( a + B )=二，且(a

16、p)(5 5n) , a + B( 3n, 2 n),求 cos2 a、cos2 B的值.8.已知 sin( a +B )= 1，且 sin(n + a B )=【課后反饋2】1. cos75 +cos15的值等于( )V6A牙 B2-C .-丄D .22 22. a= ； (sin17 +cos17),b=2cos213 1, c=，貝U()A. cv av b B .b v c v aC . av bv c D . b v av c3.化簡(jiǎn)1+sin2 0 -cos2 0 1+sin2 0 +cos2 0 -4 .化簡(jiǎn) sin(2 a + B ) 2sin a cos( a + B )=A

17、CAC5. 在 ABC中，已知 A、B、C成等差數(shù)列，則 tan空+ta門(mén)2+3 tan tanq的值為.6. 化簡(jiǎn) sin 2A+sin2B+2sinAsinBcos(A+B).7 化簡(jiǎn) sin50 (1+ 3 tanlO ).8 已知 sin( a + B )=1，求證：sin(2 a + B )+sin(2 a +3B )=0 .參考答案： 課堂練習(xí)1】1. C 2 . B 3課堂練習(xí)2】2.tan2 0【課后反饋1】1. C 2. C 3.A 4. 2 巴-15.86 .略4 85 17. cos2 a = 25, cos2 B = 18.5【課后反饋2】1. A 2. A 3.tan 04. sin7. 18 .略.B 5.36. sin 2 (A+ B).2sin v cost廠例 14 已知 sin3co，求 3cos 2+ 4s in 2的值。解： 2sinr cos/5 cos0 (否則2 =5 )sin v - 3 cos新15解之得：tan=2tan 33(1tan2 F 4 2tanr 3(1 -22)4 2 27 原式22221 +tan 91 +tan