求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程

1、求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程 求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程（例題，習(xí)題與答案） 在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)和高考數(shù)學(xué)考試中， 求動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程和曲線的方 程是一個(gè)難點(diǎn)和重點(diǎn)內(nèi)容（求軌跡方程和求曲線方程的區(qū)別主要在于： 求軌跡方程時(shí)，題目中沒有直接告知軌跡的形狀類型；而求曲線的方程 時(shí)，題目中明確告知?jiǎng)狱c(diǎn)軌跡的形狀類型）。求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的常用方 法有：直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法與交軌法等；求曲線的方程 常用“待定系數(shù)法”。 P的坐標(biāo)（x, y ）滿足的關(guān)系式。 求動(dòng)點(diǎn)軌跡的常用方法 動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是指點(diǎn) 1. 直接法 （1）依題意，列出動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何等量關(guān)系； （2）將幾何等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的代數(shù)方程。 例題 已知

2、直角坐標(biāo)平面上點(diǎn) Q（2, 0）和圓C:,動(dòng)點(diǎn)M到圓C的 切線長等與，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，說明它表示什么曲線. 解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x,y），直線MN切圓C于N。 依題意：，即 而，所以 2 2 MQ MO 1 (x-2)+y二x+y-1 化簡得：x=。動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是一條直線。 2. 定義法 分析圖形的幾何性質(zhì)得出動(dòng)點(diǎn)所滿足的幾何條件，由動(dòng)點(diǎn)滿足的幾 何條件可以判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足圓(或橢圓、雙曲線、拋物線)的定 義。依題意求出曲線的相關(guān)參數(shù)，進(jìn)一步寫出軌跡方程。 例題：動(dòng)圓M過定點(diǎn)P (-4, 0),且與圓C:相切，求動(dòng)圓圓心 M 的軌跡方程。 解：設(shè)M(x,y)，動(dòng)圓M的半徑為r xxM與圓C相

3、外切， 則有 1 MCI =r + 4 xxM與圓C相內(nèi)切， 則有 I MCI =r-4 而1 MP二r,所以 MCI - I MPI = 動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)P(-4,0),C(4,0)的距離差的絕對(duì)值為4,所以動(dòng)點(diǎn) M的軌跡為雙曲線。其中a=2, c=4。 動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為： 412 3. 相關(guān)點(diǎn)法 若動(dòng)點(diǎn)P(x, y)隨已知曲線上的點(diǎn) Q(x, y)的變動(dòng)而變動(dòng)，且x、y 可用x、y表示，則將Q點(diǎn)坐標(biāo)表達(dá)式代入已知曲線方程，即得點(diǎn) P的 軌跡方程。這種方法稱為相關(guān)點(diǎn)法。 例題：已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,3),端點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)，求 線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程。 解：設(shè)M(x,y), A(

4、),依題意有： x=, y= 貝卩：x=2x-4, y=2y-3,因?yàn)辄c(diǎn)A()在圓上，所以 (2x 4)2(2y3)24 點(diǎn)M的軌跡方程為： (x 2)2 (y I)21 動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為以(2,)為圓心，1為半徑的圓。 4. 參數(shù)法 例題：已知定點(diǎn)A (-3,0 ), M N分別為x軸、y軸xx的動(dòng)點(diǎn)(M N不重合)，且，點(diǎn)P在直線MNxx。求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程。 丫爪 解：設(shè) N(O,t), P(x,y) 直線AN的斜率， 因?yàn)?，所以直線MN的斜率 直線MN的方程為y-t二，令y=0得x=,所以點(diǎn)M(,0) 由，得 x=), y-t=, 則 x t2 y 2t 所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為： 5

5、. 交軌法 例題：如圖，在矩形中，分別為四邊的中點(diǎn)，且都在坐標(biāo)軸上，設(shè)。求直線 與的交點(diǎn)的軌跡的方程。 解：設(shè)，由已知得， 則直線的方程為，直線的方程為， 即 y+2二 y-2=- 兩式相乘，消去即得的軌跡的方程為. 練習(xí)與答案 1. 設(shè)圓C與圓x2+(y.3)2=1外切，與直線y =0相切，則C的圓 心軌跡為A A.拋物線B .雙曲線C.橢圓D.圓 2. 已知圓，圓，一動(dòng)圓與這兩個(gè)圓外 切，求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程。 2 2 匚L 1 (x0) 412 3. 過點(diǎn)A(4, 0)作圓O： x+y2=4的割線，求割線被圓0截得弦的中點(diǎn)的 軌跡。 (x- 2)+y=4 (0 x1) 4. 已知圓C:

6、 +(y-4)=1, 動(dòng)點(diǎn)P是圓外一點(diǎn)，過P作圓C的切線, 切點(diǎn)為 M， 且丨PM| = | P0|(0為坐標(biāo)原點(diǎn))。求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。 提示：| PO| = | PM| = 3x+4y-12=0 5. 已知圓，圓，動(dòng)點(diǎn)到圓 , 上點(diǎn)的距離的最小值相等 . 求點(diǎn)的軌跡 方程。 解：動(dòng)點(diǎn)P到圓C的最短距離為| PC| -1, 動(dòng)點(diǎn)P到圓C的最短距離為| PC| -1, 依題意有：| PC| -1= | PC| -1 , 即 | PCI = | PCI 所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為線段CC的中垂線。所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為： 2x+y-5=0 6. 已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為 , 點(diǎn) P()， Q() 是

7、雙曲線上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)。求直線與交點(diǎn)的軌跡E的方程。 解：由為雙曲線的左右頂點(diǎn)知， ，兩式相乘， 因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，即，故， 所以，即直線與交點(diǎn)的軌跡的方程為 7. 已知曲線與直線交于兩點(diǎn)和，且.記曲線在點(diǎn)和點(diǎn)之間那一段與線 段所圍成的平面區(qū)域（含邊界）為.設(shè)點(diǎn)是上的任一點(diǎn)，且點(diǎn)與點(diǎn)和 點(diǎn)均不重合.若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，試求線段的中點(diǎn)的軌跡方程。 解：（1）聯(lián)立與得，則中點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，貝幾即，又 點(diǎn)在曲線上， 二化簡可得，又點(diǎn)是上的任一點(diǎn)，且不與點(diǎn)和點(diǎn)重合，貝打即，二 中點(diǎn)的軌跡方程為（）. 8. 已知點(diǎn)C（ 1,0），點(diǎn)A B是。O上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，且滿 足，設(shè)P為弦AB的中點(diǎn)

8、。求點(diǎn)P的軌跡T的方程。 解：連結(jié)CP由，知ACL BC 二|CP| = |AP| = |BP| =，由垂徑定理知 即 設(shè)點(diǎn)P （x, y），有 化簡，得到。 9. 設(shè)橢圓，過點(diǎn)的直線交橢圓于 A B, O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足， 當(dāng)繞著M旋轉(zhuǎn)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。 解：直線過點(diǎn)，設(shè)其斜率為k,則直線的方程為， 記，由題設(shè)可得點(diǎn)A、B的坐標(biāo) 是方程組的解,其方程組中消取得 點(diǎn)P的坐標(biāo)為 即：點(diǎn) P 為, 設(shè)點(diǎn)P為，則P點(diǎn)的軌跡參數(shù)方程為 （為參數(shù)） 消去參數(shù)得： 當(dāng)斜率不存在時(shí)，A、B的中為原點(diǎn)（0, 0）也滿足上述方程， 故：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為。 10. 設(shè)圓C與兩圓中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切

9、。求圓 C的圓心軌跡 L的方程。 解：兩圓半徑都為2，設(shè)圓C的半徑為R,兩圓心為、， 由題意得或， 可知圓心C的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線，設(shè)方程為，則 ,所以軌跡L的方程為. 11. 如圖所示，已知P (4, 0)是圓內(nèi)的一點(diǎn)。A B是圓上兩動(dòng)點(diǎn)， 且滿足,求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程. 解：設(shè) R(x,y), 依題意，有 I OR| + | RA| =36,而丨 RA| = | RP| ,所以 | OR| + | RP| =36,即 X2 y2 (x 4)2 y236 化簡得： 設(shè)Q(X, Y),因?yàn)镽(x,y)是 QP的中點(diǎn)，所以有 x=,y=,故 化簡得：X 12. 在平面直角坐標(biāo)系中

10、，直線交軸于點(diǎn) A,設(shè)是上一點(diǎn)，M是線段OP 的垂直平分線上一點(diǎn)，且滿足/ MPOZAOP當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M 的軌跡E的方 程。 解：如圖1,設(shè)MQ為線段OP的垂直平分線，交OP于點(diǎn)Q, Q MPQ AOP, MP I,且 |MO|MP|. 因此即 另一種情況，見圖2 （即點(diǎn)M和A位于直線OP的同側(cè)） MC為線段OP的垂直平分線， MPQ MOQ. 又 因此M在軸上，此時(shí)，記 M的坐標(biāo)為 為分析的變化范圍，設(shè)為上任意點(diǎn) 由 （即）得, x 1 丄a21. 4 故的軌跡方程為 綜合和得，點(diǎn)M軌跡E的方程為 4(x 1),x1, 0, x 1. 13. 點(diǎn)M是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)。如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，是圓上的點(diǎn)，是點(diǎn) 在軸上的射影，點(diǎn)滿足條件：，=0,求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；