小波變換的理論基礎(chǔ)及應(yīng)用—論文

1、小波變換的理論基礎(chǔ)及應(yīng)用 專業(yè)班級(jí) 電氣工程學(xué)院 姓 名 學(xué) 號(hào) 任課教師 日 期 目錄目錄 一、小波分析的發(fā)展歷史和前景.1 二、小波變換的理論基礎(chǔ).2 2.1 連續(xù)小波變換.2 2.2 離散小波變換 .3 2.3 二進(jìn)小波變換 .4 2.4 多分辨分析與二尺度方程 .4 2.4.1 多分辨分析.5 2.4.2 二尺度方程.6 2.5 mallat 算法 .6 2.5.1 mallat 算法的綜述 .6 2.5.2 mallat 分解算法 .7 2.5.3 mallat 合成算法 .8 2. 6 小波基和小波函數(shù)的選取.9 2.6.1 小波基選擇的標(biāo)準(zhǔn).9 2.6.2 小波基選擇的五要素.9

2、 三、小波變換的應(yīng)用.10 3.1 圖像、信號(hào)壓縮 .10 3.2 小波降噪 .10 3.3 小波在信號(hào)處理中的應(yīng)用 .11 3.4 小波變換在故障診斷中的應(yīng)用 .11 3.5 小波變換在邊界檢測(cè)中的應(yīng)用 .11 3.6 小波變換的結(jié)合應(yīng)用小波網(wǎng)絡(luò)等 .12 參考文獻(xiàn).12 小波變換的理論基礎(chǔ)及應(yīng)用小波變換的理論基礎(chǔ)及應(yīng)用 一、小波分析的發(fā)展歷史和前景一、小波分析的發(fā)展歷史和前景 1984 年,法國地球物理學(xué)家 morlet 在分析地震波的局部特性時(shí)首次采用了 小波變換。隨后，理論物理學(xué)家 grossman 對(duì) morlet 的這種信號(hào)按一個(gè)確定 函數(shù)的伸縮，平移系展開的可行性進(jìn)行了研究，這無

3、疑為小波分析的形成開了 先河。由于其在時(shí)頻兩域都具有表征信號(hào)局部特征的能力和多分辨率分析的特 點(diǎn),因此被譽(yù)為“數(shù)學(xué)顯微鏡” 。小波變換的基本思想是將原始信號(hào)通過伸縮和 平移后,分解為一系列具有不同空間分辨率、不同頻率特性和方向特性的子帶信 號(hào),這些子帶信號(hào)具有良好的時(shí)域、頻域等局部特征。這些特征可用來表示原始 信號(hào)的局部特征,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)時(shí)間、頻率的局部化分析,從而克服了傅里葉 分析在處理非平穩(wěn)信號(hào)和復(fù)雜圖像時(shí)所存在的局限性。隨著小波理論的日趨成 熟，人們對(duì)小波變換的實(shí)際應(yīng)用越來越重視,它已廣泛地應(yīng)用于信號(hào)處理、圖像 處理、量子場(chǎng)論、地震勘探、語音識(shí)別與合成、音樂、雷達(dá)、ct 成像、彩色復(fù)

4、印、流體湍流、模式識(shí)別、機(jī)器視覺、機(jī)械故障診斷與監(jiān)控以及數(shù)字電視等科 技領(lǐng)域。最近幾年,一些學(xué)者將小波變換與人工智能及其它理論相結(jié)合進(jìn)行研究,并 且已經(jīng)取得了重要的成果。 小波分析是科學(xué)家，工程師和數(shù)學(xué)家們共同創(chuàng)造的，反映了大科學(xué)時(shí)代學(xué) 科之間的綜合、滲透的優(yōu)勢(shì)。小波理論來自 fourier 分析，思想也來源于 fourier 分析，它不能完全取代 fourier 分析，它是 fourier 分析的新發(fā)展。 小波理論與 fourier 分析的互補(bǔ)優(yōu)勢(shì)和相輔相成的良好效果已被科研實(shí)踐所證 實(shí)。小波分析的發(fā)展一方面需要從理論上提高和豐富，尤其是三維和三維以上 的小波理論（因?yàn)樗鼈冞€很不成熟） ；另

5、一方面，需要在應(yīng)用中提出更多的研究 課題，使小波應(yīng)用的深度和廣度得到進(jìn)一步拓展。由于小波理論處理問題特殊 技巧和特殊效果，小波分析不僅為純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)提供了強(qiáng)有力的工具， 而且是多媒體、信息高速公路某些核心技術(shù)的理論保證。 二、小波變換的理論基礎(chǔ)二、小波變換的理論基礎(chǔ) 2.1 連續(xù)小波變換連續(xù)小波變換 定義 1 設(shè) ，其傅里葉變換為，當(dāng)滿足容許條件 2 tlr w w （完全重構(gòu)條件）： （1） 2 ( ) cd 時(shí)，則稱為一個(gè)基小波或母小波。將母函數(shù)經(jīng)伸縮和平移后得到： t t （2） , 1 ( ), a b tb t a a ,0a br a 稱為一個(gè)小波序列，其中 a 為伸縮因子，

6、b 為平移因子。 對(duì)于任意的函數(shù)的連續(xù)小波變換為： 2 f tlr （3） , 1 ( , ),( ) fa b tb wa bf ttf tdt a a 其重構(gòu)公式為： （4） , 2 00 11 ( , )( ) fa b f twa bt dbda ca 由于基小波生成的小波在小波變換中對(duì)小波分析的信號(hào)起著觀測(cè)窗 t , ( ) a b t 的作用，所以還應(yīng)該滿足一般函數(shù)的約束條件： t （5） t dt 因此是一個(gè)連續(xù)函數(shù)。所以，式（1）所要滿足的完全重構(gòu)條件是：當(dāng) w =0 時(shí)，=0。零頻處的零值同時(shí)也說明了小波在時(shí)域的均值為零： w （6） (0)0t dt 為了使信號(hào)重構(gòu)的實(shí)現(xiàn)在

7、數(shù)值上使穩(wěn)定的，還要求小波函數(shù)的傅里葉變換 t 滿足下面的穩(wěn)定條件： 2 2 j awb （7） 上式中。0ab 注意（2）式中加因子的作用是，在不同的 a 值下的能量保持相等。 1 a , ( ) a b t 設(shè) 是基本小波的能量，則的能量為 2 =tdt （） , ( ) a b t （8） 2 2 11 = tt dtdt aaa a 2.2 離散小波變換離散小波變換 在實(shí)際應(yīng)用中，尤其是在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，連續(xù)小波必須加以離散化。因此， 有必要討論一下連續(xù)小波和連續(xù)小波變換的離散化。需要指出 , ( ) a b t( , ) f wa b 的是，這一離散化都是針對(duì)連續(xù)的尺度參數(shù) a 和連續(xù)

8、平移參數(shù) b 的，而不是針 對(duì)時(shí)間變量 t 的，這一點(diǎn)與以前習(xí)慣的時(shí)間離散化不同。在連續(xù)小波中，考慮 函數(shù) 這里，是容許的。為方便，在離散化中， , 1 ( )() a b tb t a a ,0a br a 總限制 a 只取正值，這樣相容性條件就變?yōu)椋?（9） 0 ( ) t cdw w 通常把連續(xù)小波變換中尺度參數(shù) a 和連續(xù)平移參數(shù) b 的離散化公式分別取 作為，這里。擴(kuò)展步長為是固定值，為方便起見， 000 , jj aa bka bjz 0 1a 總是假設(shè)，則所對(duì)應(yīng)的離散小波函數(shù)為： 0 1a (10) /2/2 00 ,0000 0 ( )() j jjj j k j tka b

9、taaa tkb a 離散化小波變換系數(shù)則可表示為： (11) , 2 00 1 ( , )( ) j kfa b cwa bt dbda a 其重構(gòu)公式為： (12) , ( )( ) j kj k jk f tct 2.3 二進(jìn)小波變換二進(jìn)小波變換 在實(shí)際應(yīng)用中，常用下面的等價(jià)形式來定義小波變換。 定義 2 設(shè)，滿足容許性條件，記 2 ( )t( )f tr，（）lt（） ，則稱： s 1 t( ),0 t s ss （）= (13) , 1 ,*( ) fs b r bt ws bftf tdt ss 為的小波變換。上述小波變換也稱為卷積型小波變換。 2 ( )( )f trl 定義 3

10、 設(shè)，滿足容許性條件，稱 2 ( )t( )f tr，（）lt（） （14） j 2 , 1 2 ,*( )( ) () 22 j f jj b r bt wbftf tdt 為的二進(jìn)小波變換。( )f t 二進(jìn)小波變換介于連續(xù)小波變換和離散小波變換之間,它只是對(duì)尺度參量進(jìn) 行了離散化,而在時(shí)間域參量仍保持連續(xù)變化,因此二進(jìn)小波變換仍具有連續(xù)小 波變換的時(shí)移不變性,這使它同離散小波變換相比具有的獨(dú)特優(yōu)點(diǎn)，二進(jìn)小波變 換可以大大減少小波系數(shù)的冗余度。 2.4 多分辨分析與二尺度方程多分辨分析與二尺度方程 多分辨分析(multi 一 resolutionanalysis,簡記為 mra),又稱為多

11、尺度分 析,是建立在函數(shù)空間概念上的理論,但其思想的形成來源于工程上其創(chuàng)立者 mallat 是在研究圖象處理問題時(shí)建立這套理論的,當(dāng)時(shí)人們研究圖象的一種很 普遍的方法是將圖象在不同尺度下分解,并將結(jié)果進(jìn)行比較,以取得有用的信息 ，meyer 提出正交小波基后,mallat 想到是否能用正交小波基的多尺度特性將 圖象展開,以得到圖象不同尺度間的“信息增量。這種想法導(dǎo)致了多分辨分析 理論的建立。多分辨分析不僅為正交小波基的構(gòu)造提供了一種簡單的方法,而且 為正 交小波變換的快速算法即 mallat 算法提供了理論依據(jù)。 2.4.1 多分辨分析多分辨分析 關(guān)于多分辨分析的理解，我們?cè)谶@里以一個(gè)三層的分

12、解進(jìn)行說明，其小波 分解 樹如圖 1 所示： s a2 a1d1 d2 a3d3 圖 1 三層多分辨分析樹結(jié)構(gòu)圖 從圖 1 可以明顯看出，多分辨分析只是對(duì)低頻部分進(jìn)行進(jìn)一步分解，而高 頻部分則不予考慮。分解的關(guān)系為。這里只是以一個(gè)層分解 3321 saddd 進(jìn)行說明，如果要進(jìn)一步分解，則可以把低頻部分分解成低頻部分和高頻 3 a 4 a 部分，以下再分解依此類推。我們必須牢牢把握一點(diǎn)，其分解的最終目的是 4 d 力求構(gòu)造一個(gè)在頻率上高度逼近空間的正交小波基，這些頻率分辨率不 2 lr 同的正交小波基相當(dāng)于帶寬各異的帶通濾波器。從上邊的多分辨分析樹型結(jié)構(gòu) 圖 1 可以看出，多分辨分析只對(duì)低頻空

13、間進(jìn)行進(jìn)一步的分解，使頻率的的分辨 率變得越來越高。 定義 4 空間中的多分辨分析是指)中滿足如下條件的一個(gè)空間序 2 lr 2 lr 列： 2 j j z lrv （1） 單調(diào)性：。 1,jj vvjz （2） 逼近性：。 2 = 0close jj j z vvlr ， （3） 伸縮性：。伸縮性體現(xiàn)了尺度的變化，逼 1 ( )(2 ) jj f tvftvjz 近正交小波函數(shù)的變化和空間的變化具有一致性。 （4） 平移不變性：對(duì)任意，有。kz /2/2 22 jj jj tvtkv （5） riesz 基存在性：存在，使得構(gòu)成的 riesz 基。 0 tvtk kz j v 2.4.2 二

14、尺度方程二尺度方程 二尺度方程是多分辨分析賦予尺度函數(shù)和小波函數(shù)的最基本的 tt（） 特征，它描述的是兩個(gè)相鄰尺度空間和以及尺度空間和小波空間 1j v j v 1j v 的基本函數(shù)和以及和)之間的內(nèi)在本質(zhì)聯(lián)系。由 j w 1,jk t , j k t 1,jk t , j k t 多分辨分析的概念得知：和分別為尺度空間和小波空間的一 tt（） 1j v j w 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基函數(shù)，又由于，所以和也必然屬 12jj vv 1jj ww tt（） 于空間，也即和可以用空間的正交基線性展開： 2j v tt（） 2j v 1,jk t 01,0 ( )2(2) jk k zk z thkthktk

15、（15） 11,1 ( )2(2) jk k zk z th kth ktk （16） 其中展開系數(shù)和不隨尺度 j 的變化而變化。 0 hk 1 h k 2.5 mallat 算法算法 在小波變換中,mallat 算法占有非常重要的地位,相當(dāng)于 fourier 變換中的 快速 fourier 算法。1987 年,mallat 將計(jì)算機(jī)的多尺度分析思想引入到小波分 析中,提出了多分辨分析的概念,統(tǒng)一了在此之前的所有具體正交小波基的構(gòu)造, 并且提出了相應(yīng)的分解和重構(gòu)的快速算法,即 mallat 算法。 2.5.1 mallat 算法的綜述算法的綜述 多分辨分析是構(gòu)造正交小波基的有力工具,下面從多分

16、辨分析出發(fā),我們 可以得到正交小波變換和反變換的快速算法。 由多分辨分析和二尺度方程的理論,設(shè)是)中的正交小波 , , ( ) j k j k z t 2 lr 基,則對(duì)任意的信號(hào)有如下的無窮級(jí)數(shù)展開式: 2 f tlr （17） , , , j kj kj kj k j k z f tdtdf tt 因?yàn)橐话愕牟痪哂谐醯冉馕霰磉_(dá)式,直接用公式求展開系數(shù)是很不方 , j k t , j k d 便的。任取，設(shè)為空間到空間的正交投影算子，為 2 ( )f tlr m p 2 lr m v m q 空間到空間的正交投影算子,則有: 2 lr m w （18） , , jj kj kjj kj k

17、k zk z p fcq fd 其中： , , j kjj kj kj kjj kj k cp ffdq ff 小波系數(shù)實(shí)際上就是離散二進(jìn)網(wǎng)格上的小波變換,這樣多分辨分析和小波分 , j k d 析就聯(lián)系起來了。 由得到：，也即下面的燈飾成立： j 1jj vvw 1jjj pfp fq f 1,1,jkjkj kj kj kj k k zk zk z ccd （19） 2.5.2 mallat 分解算法分解算法 以下要解決的問題是,若尺度系數(shù)已知，給出計(jì)算尺度系數(shù) 1, cj k k z 和小波系數(shù)的算法，即 mallat 分解算法。為了簡化分析,總是 , cj k k z , j k k

18、z d 假設(shè)都是實(shí)函數(shù),在數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程中忽略積分式中的復(fù)共扼。 ttf t、 由二尺度方程得到: 2 , 1 1 2 0 1 1 2 0 01, 22 =222 =222 =2 j j j k j j n z j j n z jm n z ttk hntkn hmktm hmkt 從而有： , 01, 01, 01, =2 =2 =2 j kj k r jm r n z jm r n z jm n z cf tt dt f thmktdt hmkf tt dt hmk c （20） 同理可以推出： ,11, =2 j kjm n z dh mk c （21） 數(shù)學(xué)表達(dá)式(20)和(21)就是

19、mallat 算法分解公式。 mallat 算法的分解過程可以用一個(gè)金字塔式逐次分解的圖來表示,其中令 ，系數(shù)的塔式分解用圖 2 來表示： , jj k k z cc ,jj k k z dd c0 c1c2 .cn-1cn d1d2d3 dn 圖 2 2.5.3 mallat 合成算法合成算法 下面來推導(dǎo) mallat 合成算法,也就是在上面系數(shù)的塔式分解圖中,如何由 來求出。 n21n c 、d、 d、d 0 c 由上面的推導(dǎo),我們知道: （22） 1,1, mmm jmjmj mj mj mj m zzz ccd 將等式（22）兩邊同時(shí)與作內(nèi)積得： 1,jk （23） 1,0,1 m 2

20、2 jmj mj m z cchkmdh km 數(shù)學(xué)表達(dá)式(23)就是 mallat 算法的合成公式。 2. 6 小波基和小波函數(shù)的選取小波基和小波函數(shù)的選取 2.6.1 小波基選擇的標(biāo)準(zhǔn)小波基選擇的標(biāo)準(zhǔn) 在小波分析中,如何選取最佳的小波基函數(shù)目前還沒有一個(gè)理論標(biāo)準(zhǔn)。一般 是依照小波基函數(shù)的屬性、被檢信號(hào)的特征和所作分析的具體要求而定。在小 波變換過程中,如果信號(hào)所含波形和所選取的小波基函數(shù)形狀相近,那么這個(gè)信 號(hào)中所包含的和小波基函數(shù)波形相近部分的信號(hào)特征將被放大,而不同形狀特征 的其他部分信號(hào)將被抑止。而小波變換后的小波系數(shù)表明了小波與被處理的信 號(hào)之間的相似程度。如果小波變換后的小波系數(shù)

21、比較大,就表明小波和信號(hào)的波 形相似程度比較大,反之則比較小。另外,還要根據(jù)信號(hào)處理的目的來決定尺度 的大小,如果小波變換僅僅要反映信號(hào)整體的、近似的特性,則往往選用較大的 尺度,反映信號(hào)細(xì)小、細(xì)節(jié)上的變化選用尺度較小的小波。在實(shí)際應(yīng)用中有一些 經(jīng)驗(yàn),對(duì)于具有高階奇異性的暫態(tài)信號(hào),必須選擇具有相當(dāng)消失矩的小波基;低頻 信號(hào)中檢測(cè)弱暫態(tài)信號(hào),應(yīng)盡量選擇中心頻率較高的小波基,以防止低頻成分的 影響和滲入,可有效抑制低頻分量,提取暫態(tài)成分;窄帶干擾中提取暫態(tài)信號(hào),應(yīng) 選擇過度帶窄、具有良好分頻能力的高階小波,有利于去除高頻干擾,提取頻帶 較寬的暫態(tài)。 2.6.2 小波基選擇的五要素小波基選擇的五要素

22、 小波基的選取不同,特征值的結(jié)果就不同。在不同的應(yīng)用領(lǐng)域,小波基的選 取標(biāo)準(zhǔn)不同,不同的小波基適用不同的具體情況。小波基選取應(yīng)從一般原則和具 體對(duì)象 2 個(gè)方面進(jìn)行考慮。對(duì)于小波函數(shù)的選擇一般考慮以下幾個(gè)特征:正交性,緊 支性,對(duì)稱性, 正則性,消失矩。 (1)正交性:正交性保證了小波變換之間不存在關(guān)聯(lián),即頻率不混疊,消除了 信息的冗余度,使變換結(jié)果能更清晰的反映信號(hào)本身的性質(zhì)。 (2)緊支性:如果小波有緊支集,稱小波是緊支的,它是小波的重要性質(zhì)。小 波 具有緊支性,從數(shù)學(xué)上講,它保證了函數(shù)是收斂的,有利于算法的實(shí)現(xiàn)。如當(dāng)時(shí)間 時(shí)小波基函數(shù)快速衰減或具有指數(shù)規(guī)律衰減則稱小波函數(shù)急衰或急降t 的

23、。緊支性與衰減性是小波的重要性質(zhì)。緊支寬度越窄或衰減越快,小波的局部 化特性越好。如果要分析的信號(hào)屬于變換較平緩的信號(hào),則可選擇支集長度寬的 小波函數(shù),對(duì)于變化劇烈的信號(hào)選擇支集窄的小波函數(shù);緊支寬度越窄,小波的局 部化特性越好,但是一個(gè)函數(shù)不可能在時(shí)域和頻域都是緊支的,最多有一個(gè)是緊 支的。 (3)對(duì)稱性:它關(guān)系到小波的濾波特性是否具有線性相位,這與失真問題密切 相關(guān)。如果尺度函數(shù)和小波函數(shù)是對(duì)稱的,那么可以構(gòu)造緊支的正則小波基,而 且濾波器具有產(chǎn)生線性相位,沒有這種性質(zhì)會(huì)導(dǎo)致相位扭曲。但是構(gòu)造一個(gè)既具 有正交性,又具有緊支集以及對(duì)稱性的小波函數(shù)實(shí)際上是難以做到的。若要保證 對(duì)稱性,就會(huì)影響

24、到正交性。同樣,若要保證小波的正交性,就會(huì)影響到小波的對(duì) 稱性。 (4)正則性:正則性也被稱為光滑度,關(guān)系到頻率分辨率的高低。如果小波正 則 性越高,函數(shù)越光滑,對(duì)于大部分正交小波基正則性越高就意味著更高的消失矩。 (5)消失矩:消失矩的物理意義可以看作是利用小波函數(shù)逼近某一個(gè)信號(hào)時(shí)的 收斂率。在信號(hào)作小波變換時(shí),要求小波在時(shí)域和頻域都具有緊支性或者急衰性,而 且需要緊支寬度窄或者衰減速度快。分析突變信號(hào)時(shí),為了能夠有效地檢測(cè)出奇 異點(diǎn),所選的小波基必須具有足夠高的消失矩。 三、小波變換的應(yīng)用三、小波變換的應(yīng)用 3.1 圖像、信號(hào)壓縮圖像、信號(hào)壓縮 小波在圖像處理中的應(yīng)用始于 1989 年，是

25、 jpeg2000 的核心技術(shù)。圖象是 二維信號(hào)，其小波變換相當(dāng)于二次一維信號(hào)的小波變換：。 （1）第一次一維信號(hào)的小波變換相當(dāng)于圖象的行變換。 （2）第二次一維信號(hào)的小波變換相當(dāng)于圖象的列變換。 小波變換用于圖象壓縮有良好的效果，已形成圖象壓縮的標(biāo)準(zhǔn)如 jpeg2000。 1、小波變換用于圖象特征抽?。?2、小波變換用于圖象壓縮； 3、小波變換用于無損數(shù)據(jù)隱藏； 4、數(shù)據(jù)嵌入核磁共振醫(yī)學(xué)圖象 (可無損恢復(fù)) ； 5、水可印圖象； 6、小波變換用于無損數(shù)據(jù)隱藏（交通圖象） ； 7、小波變換用于圖象水?。?3.2 小波降噪小波降噪 小波降噪主要包括：小波模極大值降噪、基于小波系數(shù)尺度間相關(guān)性的去

26、 噪法、小波閾值去噪法。其中以小波閾值降噪方法最為經(jīng)典。小波閾值降噪法 的基本原理是，經(jīng)小波變換后得到的小波系數(shù)，包含信號(hào)本身信息和噪聲信息， 一般情況下，隨機(jī)噪聲的小波系數(shù)非常小，這樣可以設(shè)定一個(gè)閾值，對(duì)小于該 閾值的小波系數(shù)置零，然后利用處理后的小波系數(shù)重構(gòu)原信號(hào)即可實(shí)現(xiàn)降噪。 根據(jù)閾值選擇方法的不同，可以分為硬閾值、軟閾值和自適應(yīng)閾值，也有些研 究者在此基礎(chǔ)上對(duì)閾值函數(shù)進(jìn)行了改進(jìn)，提出了改進(jìn)閾值函數(shù)。工作流程如圖 3： 預(yù)處理 用小波變換作 多尺度分解 分尺度去噪 反演小波 變換 含噪信號(hào)去噪后的信號(hào) 圖 3 小波分析是一種處理非平穩(wěn)信號(hào)的有力武器，兼顧了高頻分析對(duì)時(shí)間分辨 率的要求和低

27、頻分析對(duì)頻率分辨率的要求，因此非常適合處理頻譜特性隨時(shí)間 變化的非平穩(wěn)語音信號(hào)。使用離散小波變換將原信號(hào)分解，用多分辨率系數(shù)表 示信號(hào)的高頻部分和低頻部分，然后將每個(gè)分辨率下的小波系數(shù)的頻譜拼接成 完整的頻譜，再用 mel 頻域?yàn)V波器組將頻譜轉(zhuǎn)變成維數(shù)較低的特征參數(shù)。在小 波變換后 對(duì)不同分辨率的系數(shù)各自作 fit 變換，再通過一級(jí)量化后，根據(jù)它們的分辨率 級(jí)數(shù)將它們的頻譜拼接成完整的頻譜。 3.3 小波在信號(hào)處理中的應(yīng)用小波在信號(hào)處理中的應(yīng)用 信號(hào)的非連續(xù)性包括信號(hào)的間斷、突變、變形等等，這些非連續(xù)信號(hào)對(duì)分 析和提取突發(fā)短信號(hào)非常有用。小波變換可用于奇異性檢測(cè)、信號(hào)的分解與重 構(gòu)、去噪與數(shù)據(jù)

28、壓縮。 3.4 小波變換在故障診斷中的應(yīng)用小波變換在故障診斷中的應(yīng)用 小波可用于機(jī)械故障診斷，比如轉(zhuǎn)子裂紋故障。在單跨轉(zhuǎn)子實(shí)驗(yàn)臺(tái)上，對(duì) 含有裂紋的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，模擬現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)中旋轉(zhuǎn)機(jī)械出現(xiàn)的轉(zhuǎn)子裂紋故障， 把采集到的故障信號(hào)，利用三維譜振圖和小波尺度圖結(jié)合進(jìn)行分析。三維譜振 圖可以粗略地提取裂紋故障特征，而重分配小波尺度圖可以對(duì)故障特征進(jìn)行精 確提取，二者相互補(bǔ)充，可以更好地揭示裂紋故障信號(hào)的頻率結(jié)構(gòu)，特別是在 12 臨界轉(zhuǎn)速下能檢測(cè)出能量相對(duì)較小的二倍頻分量；系統(tǒng)在 2 倍臨界轉(zhuǎn)速時(shí)， 會(huì)產(chǎn)生 12 次諧波共振，隨著裂紋的加深，會(huì)產(chǎn)生高次諧波，這些頻率特征可 以作為診斷裂紋故障的一個(gè)依據(jù)。

29、 3.5 小波變換在邊界檢測(cè)中的應(yīng)用小波變換在邊界檢測(cè)中的應(yīng)用 計(jì)算機(jī)圖像處理和視覺識(shí)別中的一個(gè)重要問題是邊界檢測(cè)，它是有效劃分 圖像組成部分的前提，可認(rèn)為是信號(hào)中的瞬態(tài)變化，即與相鄰元素的強(qiáng)度相比 具有較大的改變，在數(shù)學(xué)中，邊界點(diǎn)有最高的一階導(dǎo)數(shù)并且其二階導(dǎo)數(shù)為零， 目前圖像邊界檢測(cè)方法 是利用空間域和頻率域中的濾波器，也稱為算子或面具， 常用的算子有 so-bel 算子和 laplacian 算子。這兩種算子運(yùn)算都很簡單，但主 要缺陷是不能分辨噪音信號(hào)。在小波變換檢測(cè)邊界的應(yīng)用中，小波函數(shù)選用的 是一種具有高斯形狀脈沖的一階導(dǎo)數(shù)，與 sobel 算子類似，在使用小波技術(shù)時(shí) 也需將小波函數(shù)分

30、別用于檢測(cè)橫向和縱向的邊界，再相加以得到整個(gè)邊界?？?而言之，小波變化在檢測(cè)圖像邊界時(shí)具有如下優(yōu)點(diǎn)：小波的多分辨率特性可以 從不同的尺度分析邊界；小波變換還可以算邊界的相位角信息，為圖像劃分提 供方便；可以有效地壓縮信息，但其主要缺點(diǎn)是計(jì)算復(fù)雜，耗時(shí)較長。 3.6 小波變換的結(jié)合應(yīng)用小波變換的結(jié)合應(yīng)用小波網(wǎng)絡(luò)等小波網(wǎng)絡(luò)等 隨著小波的發(fā)展，目前小波在工程上與其他學(xué)科交叉應(yīng)用變得普遍，小波 變換與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)合（1990 年張清華） ，實(shí)現(xiàn)精確的函數(shù)擬合和預(yù)測(cè)；多小 波的快速發(fā)展（二代小波、三代小波） ；正交小波變換在濾波領(lǐng)域的應(yīng)用（對(duì)濾 波信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理，得到一組正交信號(hào)，利用正交信號(hào)的優(yōu)良性質(zhì)在濾波處理 后重構(gòu)回原信號(hào)） ；小波變換與 ica 算法的結(jié)合（解決了單通道混合信號(hào)的分離 問題） ；小波變換還用于